I- Etablissement de l'équation de D'Alembert

Ondes mécaniques

Les points du cours à connaître

I- Etablissement de l'équation de D'Alembert

1. Onde le long d'une corde

La gure 1 représente On s'intéresse à une corde inextensible principalement suivant un axe Ox tendue avec la tension T

, de masse linéique µ

. On néglige la pesanteur. On note T ~ (x, t) la tension qu'exerce à l'instant t la partie de l d'abscisse supérieure à x sur la partie de l d'abscisse inférieure à x . Le petit élément de longueur dx entre les abscisses x et x + dx est à l'altitude y(x, t) à l'instant t . Cet élément fait avec l'axe Ox un angle α(t) petit.

Modélisation d'une corde tendue horizontalement ^schéma

Figure 1 Modélisation d'une corde tendue horizontalement

Montrer que l'altitude y(x, t) à l'instant t suit l'équation

∂

y

∂t

= c

∂

y

∂x

avec c

= s

T

µ

1 Etablissement de l'équation de propagation pour une corde vibrante tendue horizontalement exercice

Le théorème du centre de masse s'écrit : µ

dx d

~ r

dt

= T ~ (x + dx, t) − T ~ (x, t) dont la projection suivant ~ u

donne :

µ

dx ∂

x

∂t

≈ 0 = T

(x + dx, t) − T

(x, t) = ∂T

∂x dx Aussi, on pourra considérer T

=

T ~

cos α ≈ T ~

= T

, constante. Donc, la projection suivant

~

u

de la tension est T

= T ~

sin α ≈ T

α , ce qui permet d'exprimer la projection suivant cet

axe du théorème du centre de masse : µ

dx ∂

y

∂t

= T

α (x + dx, t) − T

α (x, t) = T

∂α

∂x dx

Comme l'angle est α(t) ≈

on en déduit l'équation

= c

avec la célérité de l'onde c

= q

T0

µ`

.

2. Propagation du son dans un solide

Dans l'approximation des milieux continus, la dimension entre les atomes, ions ou mo- lécules (notée a ) et la longueur d'onde λ des ondes acoustiques qui s'y propagent sont telles que

a λ Approximation des milieux continus dénition

La gure 2 représente l'élasticité d'un solide. Une barre solide de section S de longueur au repos ` voit cette longueur varier de ∆` sous l'action d'une force F ~ .

Elasticité d'un solide schéma

Figure 2 Elasticité d'un solide

La loi de Hooke stipule que la force pour faire varier la longueur ` d'une barre solide de section S est proportionnelle à l'allongement ∆` :

F = E S ∆`

`

où E est le module de Young (ou module d'élasticité), typiquement de l'ordre de E ≈ 10

N · m

.

Loi de Hooke et module de Young à retenir

La gure 3 représente On s'intéresse à une tige solide de section S , de masse volumique µ , suivant la loi de Hooke avec le module de Young E . On néglige la pesanteur.

Modélisation d'une tige solide par un milieu continu déformable schéma

Figure 3 Modélisation d'une tige solide par un milieu continu déformable

Montrer que dans l'approximation continue, l'équation suivie par la déformation peut s'écrire :

∂

ξ

∂t

= c

∂

ξ

∂x

avec c

= s

E µ

2 Etablissement de l'équation de D'Alembert dans le cas de la tige déformable

exercice

La longueur du système à vide est

` = [(x + dx)] − [x] = dx La longueur du système allongé est

`

= [(x + dx) + ξ(x + dx, t)] − [x + ξ(x, t)] = ` + ∂ξ

∂x dx ⇒ ∆` = ∂ξ

∂x dx Le théorème de la résultante cinétique donne

µ S dx ∂

x

∂t

= µ S dx ∂

ξ

∂t

F

(x + dx, t) − F

(x, t) = ∂F

∂x dx Enn la loi de Hooke donne

∂F

∂x = ∂

∂x

E S ∆`

`

= E S ∂

∂x ∂ξ

∂x

= E S ∂

ξ

∂x

En remplaçant, on trouve µ S dx

= E S

dx . On a donc bien c

= q

E µ

.

La gure 4 représente On s'intéresse à une chaîne horizontale (d'axe Ox ) de ressorts sans masse, tous identiques, de longueur à vide l

, de constante de raideur k , séparés par des particules ponctuelles toutes identiques, de masse m . La masse numéro n est à l'abscisse x

(t) . On négligera la pesanteur.

Modélisation d'un solide par une chaîne innie de ressorts ^schéma

Figure 4 Modélisation d'un solide par une chaîne innie de ressorts

Montrer que dans l'approximation continue, l'équation suivie par la déformation peut s'écrire :

∂

ξ

∂t

= c

∂

ξ

∂x

avec c

= a r k

m

3 Établissement de l'équation de D'Alembert dans le cas de la chaîne innie de ressorts exercice

Le théorème de la résultante cinétique donne m d

x

dt

= m d

ξ

dt

= −k. (X

+ ξ

− X

− ξ

− l

) + k. (X

+ ξ

− X

− ξ

− l

) En prenant en compte ce qui se passe à l'équilibre, on trouve :

d

ξ

dt

= k

m (ξ

+ ξ

− 2.ξ

)

Dans l'approximation des milieux continus, on va pouvoir écrire que la déformation ξ

varie lentement devant a : ξ

(t) = ψ(x ≈ n.a, t) . Aussi, on pourra déterminer la déformation en x ≈ (n − 1) a et en x ≈ (n + 1) a

(

ξ

(t) = ψ (x ≈ (n + 1) a, t) ≈ ψ(x ≈ n a, t) +

a +

ξ

(t) = ψ(x ≈ (n − 1) a, t) ≈ ψ(x ≈ n a, t) −

a +

a² 2

L'équation de la déformation devient alors

= c

avec c

= a q

m

.

Le tableau 1 présente des vitesses du son dans diérents solides.

Valeurs de la vitesse du son dans diérents solides ^tableau

solide plomb plexiglass cuivre aluminium fer granit

c

en km/s 1,2 1,8 3,8 5,1 5,1 6,0

Table 1 Vitesse du son dans diérents solides

3. Généralisation : équation de d'Alembert

à une dimension, ψ (x, t) suit l'équation de d'Alembert 1

c

∂

ψ

∂t

= ∂

ψ

∂x

La célérité de l'onde c

s'exprime en m · s

A trois dimensions, on peut généraliser :

1 c

∂

ψ

∂t

= ∆ψ = ∂

ψ

∂x

+ ∂

ψ

∂y

+ ∂

ψ

∂z

Equation de d'Alembert dénition

l'équation de d'Alembert est une équation de propagation d'onde. Il s'agit d'une équation aux dérivées partielles en x , y , z et t .

La linéarité de cette équation induit le théorème de superposition. Si ψ

et ψ

sont solu- tions de l'équation de D'Alembert, alors a

.ψ

+ a

.ψ

est aussi solution (avec n'importe quelles constantes a

et a

).

L'équation de D'Alembert est réversible. En eet t → −t laisse invariante l'équation. En optique, on parle de la loi du retour inverse de la lumière.

Propriétés de l'équation de D'Alembert s'y retrouver

II- Ondes planes stationnaires

1. Ondes planes stationnaires monochromatiques

Dans le cas d'une onde stationnaire plane,

ψ(x, t) = F (x) G(t)

(les dépendances d'une onde stationnaire vis-à-vis des variables d'espace et de temps sont découplées.)

Onde stationnaire plane dénition

ψ(x, t) = F (x).G(t) vérie l'équation de D'Alembert

=

∂²ψ

∂t²

, qui devient F ”(x) G(t) = 1

c

F (x).G”(t) ⇔ c

F ”(x)

F (x) = G”(t)

G(t) = cste

en eet, le premier terme ne dépend que de x , le second que de t : il ne peut s'agir que d'une constante. Si cette constante est positive, les fonctions sont exponentielles, et divergent à l'inni : ce n'est pas physiquement acceptable. Aussi, cette constante est négative, et on la notera −ω

. On trouve la solution de

= −ω

: G(t) = G

. cos (ω.t + ϕ

) . De même, la solution de

= −

0

est : F (x) = F

. cos

ω

c0

.x + ϕ

.

⇒

4 Forme mathématique des ondes stationnaires planes monochromatiques

(OSPM) théorème

En utilisant la méthode de la séparation des variables, on peut réécrire les solutions stationnaires de l'équation de D'Alembert sous la forme

ψ (x, t) = ψ

. cos (k.x + ϕ

) . cos (ω.t + ϕ

) avec k =

0

.

Les n÷uds de vibration sont les endroits où ψ(x, t) = 0∀t . N÷uds de vibration dénition

Les ventres de vibration sont les endroits où l'amplitude est maximale.

Ventres de vibration ^dénition

cos (k.x

+ ϕ

) = cos (k.x

+ ϕ

) = 0 si

k.x

+ ϕ

=

+ n.π k.x

+ ϕ

=

+ (n + 1) .π soit k. (x

− x

) = π , ou bien encore x

− x

=

.

de même pour les ventres : cos (k.x

+ ϕ

) = cos (k.x

+ ϕ

) = ±1 si k.x

+ ϕ

= k.π

k.x

+ ϕ

= (k + 1) .π soit k. (x

− x

) = π , ou bien encore x

− x

=

. ⇒ Deux n÷uds de vibration successifs sont éloignés de

. Deux ventres de vibration successifs sont éloignés de

.

5 Espace entre deux n÷uds de vibration successifs ou deux ventres théorème

Les fuseaux sont séparés par deux n÷uds de vibration. Ils contiennent chacun un ventre de vibration.

La largeur d'un fuseau est la distance entre deux n÷uds de vibration consécutifs, donc elle vaut

.

Fuseaux s'y retrouver

La gure 5 représente un fuseau avec un n÷ud et un ventre de vibration.

Fuseau avec un n÷ud et un ventre de vibration schéma

2. Modes propres

Figure 5 Fuseau avec un n÷ud et un ventre de vibration

Les conditions aux limites pour une corde de longueur L xée à ses deux extrémités imposent un n÷ud aux deux extrémités donc un nombre entier de fuseaux donc

L = n λ

2 ⇒ f = n c

2 L

⇒

Les conditions aux limites pour une corde de longueur L xée à ses deux extrémités imposent des solutions de types OPSM telles que

L = n λ

2 ⇒ f = n c

2 L

où n est un entier non nul. Ces solutions sont appelées modes propres de la corde.

6 Modes propres d'une corde vibrante xée à ses deux extrémités théorème

Une extrémité de la corde vibre, tandis que l'autre est xe. Les vibrations sont importantes uniquement si la fréquence d'excitation est une fréquence propre de la corde.

Vous pouvez retrouver la vidéo de cette expérience sur le site alain.lerille.free.fr.

Résonances sur la corde de Melde vidéo

3. Spectre

La solution générale de l'équation d'onde est y(x, t) =

∞

X

n=1

sin (k

x) (A

cos (ω

t) + B

sin (ω

t))

où k

=

et ω

=

. On admet que A

= 2

L Z

0

y(x, t = 0) sin (k

x) dx

B

= 2 ω

L

Z

0

dy

dt (x, t = 0) sin (k

x) dx

Synthèse de Fourier en OPSM pour une corde xée à ses deux extrémités s'y retrouver

• le continu, la moyenne, l'oset : f

= C

;

• l'ondulation : f

(t) =

∞

P

n=1

[C

cos (n ω t + φ

)] ;

• le fondamental : f

(t) = C

cos (ω t + φ

) ;

• l'harmonique de rang n : f

(t) = C

cos (n ω t + φ

) ;

• la valeur ecace : f

= p

hf

(t)i = r

C

+

∞

P

n=1

C

(formule de Parseval).

Dénitions physiques relatives à la décomposition de Fourier s'y retrouver

La représentation de |C

| en fonction de n , ω

ou de la fréquence f

=

est le spectre de f .

Exemple de spectre :

Spectre dénition

III- Ondes planes progressives

1. Ondes planes progressives monochromatiques

Une onde plane progressive monochromatique (ou harmonique, ou encore OPPM)

• vers les x croissants :

h

= A cos [ω t − k x − ϕ

]

• vers les x décroissants :

m

= A cos [ω t + k x − ϕ

] avec k =

.

On peut généraliser avec la forme : ψ = A cos h

ω t − ~k · ~ r − ϕ

i Forme d'une OPPM dénition

Sous quelle condition A. cos [ω.t − k.x − ϕ

] , A. cos [ω.t + k.x − ϕ

] et A. cos h

ω.t − ~k.~r − ϕ

i sont-elles solutions de l'équation de D'Alembert ?

7 Vérication qu'une OPPM est solution de l'équation de D'alembert ^exercice

Il faut que k~kk =

.

• ω : pulsation (en rad · s

) ;

• ν =

: fréquence (en Hz ) ;

• T =

=

: période (en s ).

Grandeurs temporelles d'une OPPM : pulsation, fréquence, période dénition

• ~k : vecteur d'onde (en rad · m

) ;

• σ = |

|

2π

: nombre d'onde (en m

) ;

• λ =

=

|

| : longueur d'onde (en m ).

Grandeurs spatiales d'une OPPM : vecteur d'onde, longueur d'onde, nombre d'onde dénition

une onde plane progressive monochromatique a pour amplitude : ψ(~ r, t) = Re

ψ(~ ˜ r, t) où ψ ˜ est l'OPPM complexe associée.

L'amplitude complexe (en ~ r , à l'instant t ), associée à une onde plane monochromatique

Relation entre OPPM complexe et réelle dénition

de pulsation ω et de vecteur d'onde ~k est :

ψ ˜ = ψ

e

(

·

) où ψ

et ϕ sont des constantes.

on aurait pu choisir le complexe conjugué ψ

e

(

·

) qui a la même partie réelle.

Mais, une fois choisie la convention, il faut s'y tenir.

remarque

Si l'OPPM se propage suivant ~ u

, ~k = k.~ u

, et on peut réécrire : ψ ˜ = ψ

.e

remarque

On pourra remplacer l'OPPM réelle ψ par sa forme complexe associée ψ ˜ dans toute équation suivie par ψ , pour peu que cette équation soit linéaire. L'intérêt est de rendre, avec les complexes, les calculs... plus simples qu'avec des fonctions trigonométriques ! Intérêt des OPPM complexes s'y retrouver

Sous quelle condition ψ

.e

(

) est-elle solution de l'équation de D'Alembert ? 8 Vérication qu'une OPPM complexe est solution de l'équation de D'alem- bert exercice

Il faut que ~k

=

.

2. Lien entre ondes progressives et ondes stationnaires

ψ ˜ = ψ

.e

.e

semble être de la forme F (x) · G(t) , cependant seule compte l'onde réelle ψ = Re( ˜ ψ) = ψ

cos (ω.t − k.x) . On voit ainsi qu'il ne s'agit pas d'une onde stationnaire.

remarque

Montrer que l'onde stationnaire apparaît comme la superposition

• d'une onde plane progressive monochromatique ψ

= ψ

2 cos (ω.t − k.x + ϕ

− ϕ

) qui se propage vers les x croissants ;

9 Onde stationnaire comme somme d'ondes progressives exercice

• et d'une onde plane progressive monochromatique ψ

= ψ

2 cos (ω.t + k.x + ϕ

+ ϕ

) de même amplitude qui se propage vers les x décroissants.

ψ = ψ

. cos (k.x + ϕ

) . cos (ω.t + ϕ

) peut se réécrire

ψ = ψ

2 [cos (ω.t − k.x + ϕ

− ϕ

) + cos (ω.t + k.x + ϕ

+ ϕ

)]

cette onde stationnaire peut donc naître en particulier de la réexion totale d'une OPPM incidente, du fait de la superposition de l'OPPM se propageant vers les x croissants (onde incidente) et de l'OPPM se propageant vers les x décroissants (onde rééchie).

Ondes stationnaires et réexion s'y retrouver

3. Ondes progressives en général et paquet d'ondes

une OPPM n'est pas physique car elle a une extension innie dans l'espace et dans le temps. Elle ne nit jamais, et a débuté il y a un temps inni !

L'OPPM est un outil mathématique intéressant car on peut décomposer une onde sous la forme de superposition d'OPPM.

Nécessité d'une superposition d'OPPM s'y retrouver

On cherche des solutions à l'équation de D'Alembert : ∂

∂t − c

∂

∂x

∂

∂t + c

∂

∂x

ψ(x, t) = 0 Si on pose u = t −

0

,

=

=

et

=

= −

0

dh du

. De même, si v = t +

0

,

=

=

et

=

=

0

dm dv

. h

t −

0

et m t +

0

sont donc solutions de l'équation de D'Alembert. ⇒ Une onde plane progressive vers les x croissants peut s'écrire :

ψ(x, t) = h

t − x c

Une onde plane progressive vers les x décroissants peut s'écrire : ψ(x, t) = m

t + x

c

10 Forme d'une onde plane progressive en général théorème

La décomposition continue d'une onde plane complexe se propageant suivant Ox par une superposition d'OPPM peut s'écrire

ψ ˜ = Z

0

A ˜ (ω) e

dω où A ˜ (ω) est le spectre de cette onde.

Forme mathématique d'un paquet d'onde dénition

Bien souvent A ˜ (ω) 6= 0 dans un domaine très limité, de largeur ∆ω : on parle de paquet d'ondes.

Dans le domaine des fréquences, le paquet d'ondes a une extension ∆ν =

. Extension d'un paquet d'ondes s'y retrouver

La gure 6 représente un paquet d'ondes. Il a été généré en superposant une vingtaine d'OPPM.

Paquet d'ondes schéma

Figure 6 Paquet d'ondes

On peut montrer que le paquet d'onde a, en un endroit, une durée ∆t telle que

∆t ∆ω ≈ 1

De la même façon, un instantané montrerait que l'extension spatiale de l'onde est ∆x , reliée à la largeur en vecteur d'onde ∆k par :

∆x ∆k ≈ 1

Spectre et transformée de Fourier s'y retrouver

Exercice traité en n de cours

exo 10.1) Modélisation d'un instrument à corde

Les cordes des instruments de musique sont des objets cylindriques homogènes, tendus entre deux points séparés par une longueur L . Le rayon du cylindre est a avec a L .

1) La corde de masse linéique µ est tendue avec la tension T

. Au repos la corde est rectiligne et parallèle à l'axe horizontal (Ox) .

On étudie les mouvements de la corde autour de sa position d'équilibre. On note y (x, t) le déplacement (ou ébranlement) du point de la corde à l'abscisse x à l'instant t . L'axe Oy est l'axe vertical ascendant.

1.a) Déterminer l'équation aux dérivées partielles que vérie l'ébranlement y(x, t) .

1.b) Calculer la célérité c pour une corde de piano de masse volumique ρ = 7800 kg · m

, de tension T

= 850 N , de diamètre φ = 1, 2 mm .

2) La corde est xée à ses deux extrémités, x = 0 et x = L . On cherche une solutions de l'équation diérentielle précédente sous la forme d'une onde harmonique caractérisée par la pulsation ω et la norme du vecteur d'onde k .

2.a) Quelle doit être la forme de cette onde harmonique ?

2.b) Montrer que seulement certaines fréquences sont possibles, qu'on appellera fréquences propres de la corde.

2.c) Pour un mode propre donné, dénir les ventres et les n÷uds de vibration. Quelle est la distance entre deux ventres consécutifs ? entre deux n÷uds consécutifs ? entre un ventre et un n÷ud consécutifs ?

3) Solution générale

On écrit la solution correspondant aux conditions aux limites y(0, t) = y(L, t) = 0 comme une superposition des modes propres :

y(x, t) =

∞

X

n=1

a

cos

n π c t L

+ b

sin

n π c t L

sin n π x L

On donne les spectres calculés pour une corde pincée à la moitié de sa longueur puis au cinquième de celle-ci, où c

= p

a

+ b

:

3.a) Comment peut-on expliquer l'absence de certains harmoniques dans ces spectres ?

On peut montrer que les coecients a

associés à la corde pincée décroissent globalement comme 1/n

. En revanche les amplitudes des diérents harmoniques de la corde frappée décroissent plutôt en 1/n (au moins à partir d'une certaine valeur de n ).

3.b) Comparer alors les sons d'un clavecin (instrument à corde pincées) et d'un piano (instrument à corde frappées). Quel caractère du son est alors ressenti à l'oreille ?

1) Mouvements de la corde autour de sa position d'équilibre

1.a) Puisque le poids est négligé, l'élément de corde, de longueur d` ≈ dx , de masse dm = µd` , est soumis à :

• la tension de la portion de l située à droite : T ~ (x + dx, t) ;

• la tension de la portion de l située à gauche : − T(x, t) ~ .

Le mouvement de la corde ayant lieu selon Oy , le théorème de la résultante cinétique appliqué à cet élément de corde s'écrit :

dm ∂

y

∂t

~ e

= T(x ~ + dx, t) − T(x, t) ~ La projection sur Ox donne

0 = T (x + dx, t) cos α(x + dx, t) − T (x, t) cos α(x, t) ≈ T (x + dx, t) − T (x, t) ⇒ T (x, t) = T

car les angles sont petits. La projection sur Oy donne µdx ∂

y

∂t

= T

sin α(x + dx, t) − T

sin α(x, t) ≈ T

[α(x + dx, t) − α(x, t)] = T

∂α

∂x dx = T

∂

y

∂x

dx On trouve donc

(1) ∂

y

∂t

= c

∂

y

∂x

où c = q

T0

µ

.

1.b) Pour la corde de piano : c = r

850 7800×^π(1,2×10−3)²

4

⇒ c = 3, 1 × 10

m · s

. 2) Modes propres, fréquences propres

2.a) A cause des conditions aux limites, il faut prendre des ondes stationnaires : y(x, t) = y

cos (ω t + ϕ) cos (k x + ψ)

alors

∂

y

∂t

= −ω

y(x, t)

et ∂

y

∂x

= −k

y(x, t) (1) ⇒ ω

= c

k

, soit ω = c k .

2.b) Les conditions aux limites imposent :

∀t , y(0, t) = 0 ⇒ y(x, t) = y

cos (ω t + ϕ) sin (k x) et

∀t , y(L, t) = 0 ⇒ sin (k L) = 0 ⇔ k L = nπ ⇔ k = n π L

où n est entier. Or, comme on a vu que ω = c k , alors f

=

où n est entier sont les fréquences propres.

L'élongation correspondante, y(x, t) = y

cos

+ ϕ

sin

est le mode propre associé.

Un n÷ud de vibration est un point qui reste immobile : 2.c)

∀t , y(x, t) = 0 ⇔ sin n π x L

= 0 ⇔ n π x

L = p π ⇔ x = p n L = pλ

2 où p est entier.

Un ventre de vibration est un point où l'amplitude de vibration est maximale :

∀t sin n π x L

= ±1 ⇔ n π x

L = q π + π

2 = (2 q + 1) π

2 ⇔ x = (2 q + 1) L

2 n = (2 q + 1) λ 4 où q est entier.

Deux n÷uds (ou deux ventres) consécutifs sont donc distants de

. Un n÷ud et un ventre consécutifs sont distants de

.

3) Solution générale

3.a) Les harmoniques éteints sont ceux qui s'annulent là où α(x) est maximal : - harmoniques pairs pour le premier spectre ( L/2 ),

- harmoniques multiples de 5 pour le second spectre ( L/5 ). NB : pour la corde pincée en son milieu, il n'y a que des harmoniques impairs parce qu'une translation d'une demi-période (c'est-à-dire de L ) transforme la fonction en son opposé.

3.b) Le son d'un clavecin est moins riche en harmoniques que le son d'un piano puisque les amplitudes

des harmoniques élevés sont plus faibles que pour le piano, ce qui se traduit par une diérence de timbre.

Techniques à maîtriser

I- Etablir une équation d'onde

Établir l'équation d'onde pour des ondes transversales sur une corde vibrante inniment souple dans l'approximation des petits mouvements transverses en utilisant un système innitésimal.

Relier la raideur des ressorts ctifs à l'énergie de liaison et évaluer l'ordre de grandeur du module d'Young.

Établir l'équation d'onde dans une tige solide dans l'approximation des milieux continus en utilisant un système innitésimal

Reconnaître une équation de d'Alembert.

Associer qualitativement la célérité d'ondes mécaniques, la raideur et l'inertie du milieu support.

ce qu'il faut savoir faire capacités

On part de l'étude d'un petit élément de longueur dx , et on prend garde à faire la diérence entre les actions qui s'exercent à gauche ( − F ~ (x) ) et à droite ( + F ~ (x + dx) ).

A) Equation de propagation dans un milieu continu méthode

On part de l'étude d'un élément n , on observe l'équilibre, puis ce qui se passe hors équilibre, ce qui donne une équation de récurrence sur les déformations. Ensuite, on utilise l'hypothèse des milieux continus en faisant un développement limité au deuxième ordre des déformations pour les éléments n , n − 1 et n + 1 . On réinjecte dans la relation de récurrence pour trouver l'équation de propagation.

B) Equation de propagation dans un milieu discontinu méthode

10.1.1) Corde tendue horizontalement

On s'intéresse à une corde inextensible principalement suivant un axe Ox tendue avec la tension T

, de masse linéique µ

. Montrer que l'altitude y(x, t) à l'instant t suit l'équation

∂

y

∂t

= c

∂

y

∂x

On note T(x, t) ~ la tension qu'exerce à l'instant t la partie de l d'abscisse supérieure à x sur la partie de l d'abscisse inférieure à x . On négligera l'eet de la pesanteur. Le petit élément de longueur dx entre les abscisses x et x + dx est à l'altitude y(x, t) à l'instant t . Cet élément fait avec l'axe Ox un angle α(t) petit.

Le théorème du centre de masse s'écrit : µ

.dx d

~ r

dt

= T ~ (x + dx, t) − T ~ (x, t) dont la projection suivant ~ u

donne :

µ

.dx d

x

dt

≈ 0 = T

(x + dx, t) − T

(x, t) = ∂T

∂x dx Aussi, on pourra considérer T

=

T ~

cos α ≈ T ~

= T

, constante. Donc, la projection suivant ~ u

de la tension est T

=

T ~

sin α ≈ T

α , ce qui permet d'exprimer la projection suivant cet axe du théorème du centre de masse :

µ

.dx ∂

y

∂t

= T

α (x + dx, t) − T

α (x, t) = T

∂α

∂x dx

Comme l'angle est α(t) ≈

on en déduit l'équation

∂

y

∂t

= c

∂

y

∂x

avec la célérité de l'onde c

= q

T0

µ_l

.

10.1.2) Chaine de ressorts

On s'intéresse à une chaîne horizontale (d'axe Ox ) de ressorts sans masse, tous identiques, de longueur à vide l

, de constante de raideur k , séparés par des particules ponctuelles toutes identiques, de masse m . La masse numéro n est à l'abscisse x

(t) . On négligera la pesanteur.

1) Montrer que dans l'approximation continue, l'équation suivie par la déformation peut s'écrire :

∂

ψ

∂t

= c

∂

ψ

∂x

1) Le théorème de la résultante cinétique donne

m d

x

dt

= 0 = −k. (X

− X

− l

) + k. (X

− X

− l

) 2) Le théorème de la résultante cinétique donne

m d

x

dt

= m d

ξ

dt

= −k. (X

+ ξ

− X

− ξ

− l

) + k. (X

+ ξ

− X

− ξ

− l

) En prenant en compte ce qui se passe à l'équilibre, on trouve :

d

ξ

dt

= k

m (ξ

+ ξ

− 2.ξ

)

3) Dans l'approximation des milieux continus, on va pouvoir écrire que la déformation ξ

varie lentement devant a :

ξ

(t) = ψ(x ≈ n.a, t)

Aussi, on pourra déterminer la déformation en x ≈ (n − 1) .a et en x ≈ (n + 1) .a (

ξ

(t) = ψ(x ≈ (n + 1) .a, t) ≈ ψ(x ≈ n.a, t) +

a +

a² 2

ξ

(t) = ψ(x ≈ (n − 1) .a, t) ≈ ψ(x ≈ n.a, t) −

a +

a² 2

L'équation de la déformation devient alors

∂

ψ

∂t

= c

∂

ψ

∂x

avec c

= a

q

.

10.1.3) Echelle de perroquet

On s'intéresse à un l de torsion suivant un axe Oz vertical, le long duquel sont disposées à des distances a des barrettes horizontales identiques, de moment d'inertie J par rapport à Ox .

La barrette numéro n fait un angle θ

(t) avec un axe Ox horizontal. Le l entre les barrettes numéro n et n + 1 exerce sur la barrette numéro n le moment

M ~

= Γ. (θ

− θ

) ~ u

1) Montrer que dans l'approximation continue, l'équation suivie par la déformation peut s'écrire :

∂

ψ

∂t

= c

∂

ψ

∂z

1) A l'équilibre, le théorème du moment cinétique donne pour la barrette numéro n qui fait l'angle θ

(t) = α

avec Ox :

J d

θ

dt

= 0 = −Γ. (θ

− θ

) + Γ. (θ

− θ

) = Γ. (α

+ α

− 2.α

) = Γ. (α

+ α

− 2.α

) Hors équilibre, le théorème du moment cinétique donne pour la barrette numéro n fait maintenant l'angle θ

(t) = α

+ ξ

(t) :

J d

θ

dt

= J d

ξ

dt

= −Γ. (α

+ ξ

− α

− ξ

) + Γ. (α

+ ξ

− α

− ξ

) En prenant en compte ce qui se passe à l'équilibre, on trouve :

d

ξ

dt

= Γ

J (ξ

+ ξ

− 2.ξ

)

Dans l'approximation des milieux continus, on va pouvoir écrire que la déformation ξ

varie lentement devant a :

ξ

(t) = ψ(z ≈ n.a, t)

Aussi, on pourra déterminer la déformation en z ≈ (n − 1) .a et en z ≈ (n + 1) .a ( ξ

(t) = ψ(z ≈ (n + 1) .a, t) ≈ ψ(z ≈ n.a, t) +

a +

ξ

(t) = ψ(z ≈ (n − 1) .a, t) ≈ ψ(z ≈ n.a, t) −

a +

a² 2

L'équation de la déformation devient alors

∂

ψ

∂t

= c

∂

ψ

∂z

avec c

= a

q

.

II- Chercher des solutions sous la forme d'ondes stationnaires

Diérencier une onde stationnaire d'une onde progressive par la forme de leur représentation réelle.

Décrire les modes propres.

En négligeant l'amortissement, associer mode propre et résonance en régime forcé.

ce qu'il faut savoir faire capacités

On injecte dans l'équation de propagation des ondes stationnaires. Cela donne la relation de dispersion entre k et ω . Puis on utilise les deux conditions aux limites pour déterminer la partie spatiale.

C) Ondes stationnaires sur une corde méthode

10.2.1) Onde sur une corde xée à ses deux extrémités

Soit une corde horizontale tendue de x = 0 à x = L , deux extrémités où elle est xée, telle que l'élongation

verticale y(x, t) suit l'équation de D'Alembert avec la célérité c .

Montrer que les solutions possibles peuvent s'écrire

y(x, t) =

∞

X

n=1

y

. sin

2π x λ

. cos (2π.ν

.t + ϕ

)

On donnera λ

et ν

.

On peut chercher les solutions de l'équation de D'Alembert sous la forme d'onde stationnaires : y(x, t) = y

. cos (k.x + ϕ

) . cos (ω.t + ϕ

)

avec k =

0

à cause de l'équation de D'Alembert.

Les conditions aux limites imposent : y(x = 0, t) = y(x = L, t) = 0 , soit cos (k.x + ϕ

) = sin (k.x) avec k.L = n.π où n ∈ Z , soit λ =

.

Aussi, on peut réécrire en prenant en compte les conditions aux limites

y(x, t) =

∞

X

n=1

y

. sin

2π x λ

. cos (2π.ν

.t + ϕ

) avec

λ

= 2L

n et ν

= n.c

2L où n ∈ N Ce sont les modes propres de la corde xée aux deux extrémités.

10.2.2) Corde d'un violoncelle

Un violoncelle baroque joue le la

dont la fréquence est ν = 415Hz .

1) Quelle est la tension T de la corde de longueur l = 50, 0cm , de masse volumique µ = 8000kg.m

et de rayon r = 250µm ?

1) La longueur de la corde est reliée à la longueur d'onde par l =

(la corde est xée aux deux bouts).

La masse linéique de la corde est µ

= µ.π.r

. La célérité est c = q

µ_l

= ν.λ = 2.ν.l qui conduit à la tension T = µ.π.r

.4.ν

.l

= 67 N

10.2.3) Onde sur la corde de Melde

Soit une corde horizontale tendue de x = 0 à x = L , telle que l'élongation verticale y(x, t) suit l'équation de D'Alembert avec la célérité c . Une des extrémités est xée

y(x = L, t) = 0 ∀t

quant à l'autre limite, en x = 0 , un vibreur eectue des oscillations sinusoïdales d'amplitude a. cos (ω.t) , donc : y(x = 0, t) = a. cos (ω.t) ∀t

1) Donner la forme de la solution de l'équation de propagation pour la corde de Melde.

2) Déterminer les conditions de résonance de la corde de Melde.

1) On peut chercher les solutions de l'équation de D'Alembert sous la forme d'onde stationnaires : y(x, t) = y

. cos (k.x + ϕ

) . cos (ω.t + ϕ

)

avec k =

0

. La condition à la limite x = L impose d'une part k.L + ϕ

=

, ce qui donne cos (k.x + ϕ

) = sin (k. (L − x)) . D'autre part, la condition à la limite x = 0 impose :

y

. cos (ϕ

) . cos (ω.t + ϕ

) = a. cos (ω.t)

soit ϕ

= 0 et y

. cos (ϕ

) = y

. sin (k.L) = a . En prenant en compte les nouvelles conditions aux limites, y(x, t) = a

sin (k.L) sin (k. (L − x)) . cos (ω.t) avec k =

0

.

2) On constate que pour

k = k

= nπ

L où n ∈ N

l'amplitude tend -théoriquement - vers l'inni :

→ ∞ . On parle de résonance.

Bien entendu, du fait d'inévitables amortissements, l'amplitude de la corde ne tend en fait pas vers l'inni.

10.2.4) Onde sur la corde de Melde - le retour

1) Lors d'une manipulation avec la corde de Melde, pour une longueur L de la corde et une masse M accrochée à celle-ci, on obtient une fréquence de résonance à 19Hz pour deux fuseaux et une à 28Hz pour trois fuseaux.

1.a) Ces valeurs numériques sont-elles compatibles entre elles ? 1.b) Quelles seraient les fréquences de résonance suivantes ?

2) On donne la longueur de la corde : L = 117cm . Quelle est la vitesse c de propagation d'une perturbation sur cette corde ?

3) La masse accrochée à la corde est M = 25g . 3.a) Quelle est la tension T

de la corde ?

3.b) En déduire un ordre de grandeur de la masse linéique µ

de la corde.

1) 1.a) Les fréquences de résonance valent

ν

= n c 2.L Or ν

= 19Hz et ν

= 28Hz , ce qui donne :

ν

ν

= 1, 47 au lieu de 3 2 = 1, 5 Ces valeurs numériques sont donc compatibles entre elles.

1.b) Les fréquences suivantes sont données par la formule ν

= n

, soit : ν

= 38Hz

ν

= 47Hz 2)

c = 2.L.ν

n = 22m.s

3) 3.a) La tension de la corde est donc

T

= M.g = 0, 25N

3.b) La vitesse de propagation étant c = q

T₀

µl

, on en déduit la masse linéique de la corde : µ

= 5.10

kg.m

= 0, 5g/m

Cette valeur aurait pu être trouvée en pesant, par exemple, 10m de l sur une balance de précision.

10.2.5) Solutions de la corde de Melde

Dans l'expérience de la corde de Melde, le vibreur eectue des oscillations sinusoïdales d'amplitude a : ψ (0, t) = a. cos (ω.t)

La corde, de longueur L , est xée à l'autre extrémité, la tension de la corde étant T

. 1) Déterminer les déplacements ψ (x, t) de tout point de la corde à tout instant.

2) Donner les valeurs des fréquences de résonance.

1) La solution stationnaire sinusoïdale :

ψ (x, t) = ψ

. cos (ω.t + ϕ

) . cos (k.x + ϕ

) avec k =

convient si elle satisfait aux conditions aux limites, c'est-à-dire :

ψ (0, t) = a. cos (ω.t) ψ (L, t) = 0 Ceci est réalisé si nous prenons







ϕ

=

− k.L ϕ

= 0 ψ

=

Conclusion :

ψ (x, t) = a

sin (k.L) cos (ω.t) . sin (k. (L − x))

2) Nous constatons que, pour k = k

=

(avec n entier) l'amplitude devient (théoriquement !) innie : la corde entre en résonance.

À la résonance, a est très faible devant l'amplitude des ventres de vibration. De ce fait, le vibreur peut quasiment être considéré comme un n÷ud de vibration de la corde. Les fréquences de résonance valent

ν

= n c 2.L

III- Chercher des solutions sous la forme d'OPPM

Diérencier une onde stationnaire d'une onde progressive par la forme de leur représentation réelle.

ce qu'il faut savoir faire capacités

On cherche une onde de la forme :

ψ ˜ = ψ

.e

= ψ

e

On repasse ensuite aux réels.

D) Forme de l'onde solution méthode

10.3.1) Forme des ondes planes progressives 1) Montrer que ψ(t, x) = f (x − c

.t) ou h

t −

0

est solution de l'équation de D'Alembert.

2) De même, montrer que ψ(t, x) = g(x+c

.t) ou m t +

0

est aussi solution de l'équation de D'Alembert.

1) On va chercher f (t, x) = f (u) , où u est une fonction de x et de t . Comme f est telle que

∂

∂t

+ c

∂x

f (t, x) = 0 , on en déduit

+ c

∂x

du

= 0 . On voit que u = x − c

.t convient.

2) On va chercher maintenant g(t, x) = g(v) , où v est une fonction de x et de t . Comme g est telle que

∂

∂t

− c

∂x

g(t, x) = 0 , on en déduit

− c

∂x

dv

= 0 . On voit que v = x + c

.t convient.

10.3.2) Réécriture de l'équation de D'Alembert à une dimension

1) montrer que l'éqution de D'Alembert à une dimension peut se réécrire sous la forme :

∂

∂u

∂

∂v ψ = 0

où les solutions de l'équation de d'Alembert à une dimension sont de type :

• ψ = cste , qu'on exclut habituellement ;

• ψ = f (u) ;

• ψ = g(v) .

2) Quel sens donner à ces deux types de solutions ?

1)

− c

= 0 en

∂

∂t − c

∂

∂x

∂

∂t + c

∂

∂x

ψ = 0 Les solutions de l'équation de d'Alembert à une dimension sont de type :

• ψ = cste , qu'on exclut habituellement ;

• ψ = f (t, x) , telle que

+ c

∂x

f (t, x) = 0 ;

• ψ = g(t, x) , telle que

− c

∂x

g(t, x) = 0 .

2) Les premières sont des OPP se propageant vers les x croissants ; les secondes vers les x décroissants.

10.3.3) Vitesse de phase d'une onde plane progressive monochromatique

On dénit la vitesse de phase comme la vitesse à laquelle il faut se déplacer pour que la phase φ = ω t− ~ k · ~ r−ϕ soit constante.

1) Déterminer la vitesse de phase d'une onde plane progressive monochromatique vers la droite.

2) Même chose pour une onde plane progressive monochromatique vers la gauche.

1) Dans le premier cas, ψ(t + ∆t, x + ∆x) = ψ(t, x) , pour peu que ω t − k x − ϕ = ω (t + ∆t) − k (x + ∆x) − ϕ

Aussi, on retrouve la même forme (la même "photographie") à l'instant t + ∆t qu'à l'instant t , pour peu qu'on ait déplacé cette forme de +∆x , avec

∆x = ω

k ∆t = +c

.∆t

La phase de l'onde se propage vers les x croissants, avec une vitesse

= +c

2) Dans le deuxième cas, ψ(t + ∆t, x + ∆x) = ψ(t, x) , pour peu que x + c

.t = x + ∆x + c

. (t + ∆t) . Aussi, on retrouve la même forme (la même "photographie") à l'instant t + ∆t qu'à l'instant t , pour peu qu'on ait déplacé cette forme de ∆x , avec

∆x = −c

.∆t

La phase de l'onde se propage vers les x décroissants, avec une vitesse algébrique

= −c

.

10.3.4) Vitesse de phase d'une onde plane progressive

On dénit la vitesse de phase comme la vitesse ~ v

= v

~ u

à laquelle il faut se déplacer pour qu'on retrouve

la même forme (la même "photographie") à l'instant t + ∆t qu'à l'instant t , pour peu qu'on ait déplacé cette

forme de v

∆t .

1) Déterminer la vitesse de phase d'une onde plane progressive vers la droite.

2) Même chose pour une onde plane progressive vers la gauche.

1) Dans le premier cas, ψ(t + ∆t, x+ ∆x) = ψ(t, x) , pour peu que x −c

.t = x + ∆x− c

. (t + ∆t) . Aussi, on retrouve la même forme (la même "photographie") à l'instant t + ∆t qu'à l'instant t , pour peu qu'on ait déplacé cette forme de +∆x , avec

∆x = +c

.∆t

La phase de l'onde se propage vers les x croissants, avec une vitesse

= +c

2) Dans le deuxième cas, ψ(t + ∆t, x + ∆x) = ψ(t, x) , pour peu que x + c

.t = x + ∆x + c

. (t + ∆t) . Aussi, on retrouve la même forme (la même "photographie") à l'instant t + ∆t qu'à l'instant t , pour peu qu'on ait déplacé cette forme de ∆x , avec

∆x = −c

.∆t

La phase de l'onde se propage vers les x décroissants, avec une vitesse algébrique

= −c

.

10.3.5) Onde progressive sur une corde

Soit une corde horizontale tendue de x = 0 à x = L , telle que l'élongation verticale y(x, t) suit l'équation de D'Alembert avec la célérité c .

1) On excite la corde en x = 0 par y(0, t) = e(t) telle que :

• si 0 < t < τ , e =

;

• si τ < t < 3τ , e = a ;

• si 3τ < t < 5τ , e =

(5τ − t) ;

• si t > 5τ , e = 0 . Représenter e(t) .

On se place dans le cas où c.τ = 0, 1L . 2) On suppose d'abord que t = 6τ .

2.a) Représenter la corde à cette date.

2.b) Donner la valeur de la vitesse en x = 0, 2L , x = 0, 4L et x = 0, 55L . 3) On suppose maintenant que t = 7τ . Représenter la corde à cette date.

1) Deux pentes et un plateau.

2) 2.a) Une onde plane progressive suivant les x croissants se propage. Le graphique de e(t) est retourné.

2.b) En x = 0, 2L v = −

la corde redescend ! ; en x = 0, 4L , v = 0 et en x = 0, 55L , v =

la corde monte.

3) Une onde plane progressive suivant les x croissants se propage. Le graphique précédent est décalé de 0, 1L vers la droite. Comme le milieu est non dispersif, le paquet d'ondes ne se déforme pas !

10.3.6) Onde régressive sur une corde

Soit une corde horizontale tendue de x = 0 à x = L , telle que l'élongation verticale y(x, t) suit l'équation de D'Alembert avec la célérité c .

1) On excite la corde en x = L par y(0, t) = e(t) telle que :

• si 0 < t < τ , e =

;

• si τ < t < 3τ , e = a ;

• si 3τ < t < 5τ , e =

(5τ − t) ;

• si t > 5τ , e = 0 . Représenter e(t) .

On se place dans le cas où c.τ = 0, 1L . 2) On suppose d'abord que t = 6τ .

2.a) Représenter la corde à cette date.

2.b) Donner la valeur de la vitesse en x = 0, 8L , x = 0, 6L et x = 0, 45L .

3) On suppose maintenant que t = 7τ . Représenter la corde à cette date.

1) Deux pentes et un plateau.

2) 2.a) Une onde plane progressive suivant les x décroissants se propage. Le graphique de e(t) est dans le même sens.

2.b) En x = 0, 8L v = −

la corde redescend ! ; en x = 0, 6L , v = 0 et en x = 0, 45L , v =

la corde monte.

3) Une onde plane progressive suivant les x décroissants se propage. Le graphique précédent est décalé de 0, 1L vers la gauche. Comme le milieu est non dispersif, le paquet d'ondes ne se déforme pas !

IV- Pour aller plus loin

On réécrit la solution sous forme de séries de Fourier de l'onde stationnaire :

y (x, t) =

∞

X

n=1

A

. cos

n π.c.t

L

+ B

. sin

n π.c.t L

sin

n π.x L

On écrit les conditions initiales en position et vitesse :



 

 

y (x, t = 0) =

∞

P

n=1

A

. sin n

dy

dt

(x, t = 0) =

∞

P

n=1

B

L

sin n

On invente ensuite une fonction périodique (de période 2L ) qui est telle que :

s (x) = A

2 +

∞

X

n=1

A

. cos

n 2π.x

2L

+

∞

X

n=1

B

. sin

n 2π.x

2L

On se sert ensuite de l'expression des coecients de Fourier :

A

= 1 L

L

Z

−L

s (x) . cos n π.x

L

.dx et B

= 1 L

L

Z

−L

s (x) . sin n π.x

L

.dx

On pourra utiliser un logiciel pour calculer les coecients !

E) Calcul d'un spectre d'une onde stationnaire méthode

10.4.1) Spectre d'une guitare

On s'intéresse à une corde de guitare de longueur L (entre x = 0 et x = L ), sur laquelle se propagent des ondes avec la célérité c . On lâche cette corde sans vitesse initiale en la pinçant en son milieu (en x =

), après l'avoir éloignée de la distance h de l'axe Ox .

Déterminer le spectre de cette corde pincée.

Les conditions initiales en position et vitesse sont :



 

 

y (x, t = 0) =

∞

P

n=1

A

. sin n

dy

dt

(x, t = 0) =

∞

P

n=1

B

L

sin n

= 0

On en déduit déjà que tous les B

sont nuls. D'autre part, on crée une fonction s(x) périodique de période 2L , impaire, qui correspond à y (x, t = 0) pour x ∈ [0; L] , qui est :







si x ∈

−L;

s(x) = −

x − 2.h si x ∈

2

;

s(x) = +

x si x ∈

2

; L

s(x) = −

x + 2.h

Le calcul des coecients A

= B

donne : A

= 0 et A

= (−1)

. Les harmoniques décroissent comme

: le spectre est assez pur.

10.4.2) Spectre d'un piano

On s'intéresse à une corde de piano de longueur L (entre x = 0 et x = L ), sur laquelle se propagent des ondes avec la célérité c . On frappe cette corde initialement à l'équilibre avec un marteau de largeur e L (en x ∈ [x

; x

+ e] ), qui a une vitesse u .

Déterminer le spectre de cette corde frappée.

Les conditions initiales en position et vitesse sont :



 

 

y (x, t = 0) =

∞

P

n=1

A

. sin n

= 0

dy

dt

(x, t = 0) =

∞

P

n=1

B

sin n

= u pour x ∈ [x

; x

+ e] et 0 ailleurs

On en déduit déjà que tous les A

sont nuls. D'autre part, on crée une fonction s(x) périodique de période 2L , impaire, qui correspond à

(x, t = 0) pour x ∈ [0; L] , qui est :







si x ∈ [−x

− e; −x

] s(x) = −u si x ∈ [x

; x

+ e] s(x) = +u

autre part s(x) = 0 Le calcul des coecients A

= B

L

donne : B

=

sin

. Les harmoniques décroissent comme

1

n

: le spectre est riche. On peut s'arranger pour éliminer la 7ième harmonique si

= π , soit x

=

(par exemple).

10.4.3) Spectre d'une harpe

On s'intéresse à une corde de harpe de longueur L (entre x = 0 et x = L ), sur laquelle se propagent des ondes avec la célérité c . On lâche cette corde sans vitesse initiale en la frottant en son milieu (en x =

), après l'avoir éloignée de l'axe Ox , de telle sorte que la position initiale soit dénie par la fonction parabole : y (x, t = 0) =

x. (L − x) .

Déterminer le spectre de cette corde frottée.

Les conditions initiales en position et vitesse sont :







y (x, t = 0) =

x. (L − x)

dy

dt

(x, t = 0) =

∞

P

n=1

B

L

sin n

= 0

On en déduit déjà que tous les B

sont nuls. D'autre part, on crée une fonction s(x) périodique de période 2L , impaire, qui correspond à y (x, t = 0) pour x ∈ [0; L] , qui est :

s(x) = −

x. (L − x) si x ∈ [−L; 0]

s(x) = +

x. (L − x) si x ∈ [0; +L]

Le calcul des coecients A

= B

donne : A

= 0 et A

=

. Les harmoniques décroissent comme

: le spectre est très pur.

10.4.4) Propriétés d'une onde

On va étudier les propriétés d'une onde dont la forme en coordonnées cartésiennes est :

~ ξ (~ r, t) = ξ ~

. cos [k

. (x − c

.t)] . cos [k

.y + k

.z]

1) Donner les caractéristiques de cette onde.

2) Montrer que l'on peut comprendre cette onde comme la superposition de deux ondes progressives planes.

3) Comparer c

à la vitesse c qui apparaît dans l'équation de D'Alembert dont ~ ξ est solution.

1) Il s'agit d'une onde progressive monochromatique se déplaçant dans la direction des x croissants à la vitesse c

et de pulsation ω

= c

|k

| .

2) Elle peut s'écrire comme la superposition de deux ondes progressives planes de vecteurs d'onde (k

, k

, k

) et (k

, −k

, −k

) . En eet,

~ ξ (~ r, t) =

~ ξ

2 . cos [k

.x + k

.y + k

.z − ω

.t] + ξ ~

2 . cos [k

.x − k

.y − k

.z − ω

.t]

3) Les deux ondes planes se déplacent chacune à la vitesse c qui intervient dans l'équation de D'Alembert :

c = ω

q k

+ k

+ k

On a bien c

> c dès que k

ou k

sont non nuls.

10.4.5) Ondes sphériques

On donne le laplacien, en coordonnées sphériques, d'une fonction f (r, θ, ϕ) = f (r) :

∆f (r) = 1 r

∂

∂r

(r.f (r))

1) Etablir la forme générale des ondes sphériques, dont l'amplitude ne dépend que de t et de la distance r = OM au point origine O : ψ(x, y, z, t) = ψ(r, t) solutions de l'équation de propagation de D'Alembert.

2) Interpréter les termes intervenant dans cette expression.

3) Caractériser les surfaces d'onde.

4) Commenter énergétiquement l'intervention d'un facteur décroissant comme

dans l'amplitude de l'onde.

1) L'équation de D'Alembert à trois dimensions se ramène, dans le cas d'une onde sphérique, à l'équation de propagation unidimensionnelle : c

.∆ψ =

⇒

= c

, donc :

∂

F

∂r

= 1 c

∂

F

∂t

vériée par la fonction F(r, t) = r.ψ(r, t) . Les ondes sphériques, solutions de l'équation de propagation, sont donc de la forme :

ψ(r, t) = f t −

r + g t +

r

2) Les deux termes peuvent être interprétés comme deux ondes sphériques se propageant radialement à la vitesse c .

f

(

)

r

est une onde sphérique divergente issue du point O .

g

(

)

r

est une onde sphérique qui converge au point O .

3) Les surfaces d'ondes de l'onde sphérique sont des sphères centrées au point O . Leur surface croît comme le carré de la distance r = OM .

4) Les grandeurs énergétiques liées à l'onde sont liées à son amplitude de façon quadratique. Elles vont

donc décroître comme

, ce qui a pour eet de permettre la conservation de l'énergie véhiculée par l'onde

sur des surfaces qui augmentent comme r

.