Les vibrations sismiques se composent, d'une part d'ondes de compression, et d'autre part d'ondes de ci-saillement. Ces ondes ne se propagent pas à la même vitesse, ce qui permet de les distinguer. Enn, il y a également des ondes de surface .
La source de ces ondes peut être naturelle (tremblement de Terre), ou articielle (explosion souterraine de forte puissance, camion vibreur). L'étude du temps de propagation de ces ondes apporte des renseignements précieux sur la nature du sous-sol et des couches internes de la Terre. Dans cette partie, on montre dans un cas simple comment le temps de propagation de ces ondes permet de connaître la vitesse de propagation en profondeur.
Dans ce qui suit, le sous-sol est modélisé comme une succession de couches horizontales, au sein desquelles la vitesse de propagation de l'onde sismique V(z), dépend de la profondeur z, supposée positive. L'axe Oz caractérise la verticale orientée vers le bas.
Pour étudier la propagation des vibrations dans le sous-sol, on a recours à une analogie avec l'optique. Une source de vibration émet à la surface du sol, en un point O, un train d'ondes sismiques. On appelle rai sismique la trajectoire normale à toutes les surfaces de l'onde émise. Le rai sismique est l'analogue du rayon lumineux.
1) Rappeler la loi de Snell-Descartes pour la réfraction d'un rayon lumineux à l'interface de deux milieux transparents d'indice de réfraction respectivement égaux à 1 etn >1. Illustrer votre réponse par un schéma.
Par analogie avec l'optique, on dénit l'indice de réfraction des ondes sismiques comme égal à l'inverse de la vitesse : n(z) = V1(z). L'indice de réfraction ainsi déni a donc la dimension de l'inverse d'une vitesse, contrairement à l'indice optique qui est sans dimension.
2) Dénir pour les ondes sismiques, l'analogue du chemin optique dans un milieu d'indice variable, et montrer que cette quantitéτ est égale au temps de propagation de l'onde sismique le long du rai sismique.
Le rai sismique peut être vu comme une trajectoire z(x). On introduiti, angle en radian entre la tangente à la trajectoire et la verticale dénie par~ez.
3) En raisonnant sur un milieu constitué de couches horizontales d'indicenm(cf. gure précédente), et en appelantiml'angle du rai avec la verticale dans la couche m, montrer que le produitnmsin(im)reste constant le long du rai (les lois sont les mêmes qu'en optique).
En déduire que dans un sol où l'indice dépend continûment de la profondeur z, la grandeur sin(i(x))V(z(x)) reste constante le long de la trajectoire.
Exprimersin (i(x))en fonction de la dérivée dzdx de la trajectoire du rai sismique.
On considère un rai OAissu d'une sourceO située à l'originex= 0,z= 0 du repère. Ce rai est incurvé de
façon à revenir vers la surface en un point A situé à une distance∆ = xA de la source des ondes, après être passé par un pointA0 de profondeur maximalez=h(cf. gure précédente).
4) Quel doit être le sens de variation de l'indice avec la profondeur, et par voie de conséquence, de la vitesse V(z), pour qu'une telle situation soit observée ?
A quel phénomène optique fréquent dans les régions chaudes et désertiques du globe, la situation ci-dessus est-elle comparable ?
5) Si A0 est le point de profondeur maximale h, la quantité sin(i(x))V(z(x)) reste égale à V1(h) le long de la trajectoire. Donner en fonction deV(z)et deV(h), l'équation diérentielle à laquelle obéit la trajectoirez(x) du rai sismique.
6) En supposant que la vitesse de propagation des vibrations sismiques obéit à la loi V(z) =V0+κ.z, et en se limitant aux rais sismiques dont la profondeurhreste susamment faible pour que la quantité κ.zV0 soit petite devant 1, vérier que la trajectoire d'équation
z(x) =h−
est solution de l'équation diérentielle obtenue.
Quelle est la forme géométrique de ce rai sismique ? Pour quelle valeur de x,z(x)s'annule-t-il ?
Remarque : la constante V0 n'est autre que la vitesse de propagation des ondes au voisinage de la surface, etκle premier coecient du développement limité deV(z)au voisinage de la surface.
La gure précédente représente deux rais issus deOsous des incidences très proches dei0 (angle entre le rai et la verticale), émergeant en deux points voisinsAet B, et contenus dans un même plan vertical. Le pointC appartenant au rai émergeant enB, forme avecA etB un triangle (presque) rectangle. Il en résulte queAet C appartiennent à la même surface d'onde, vibrent en phase, et que le temps de propagation de l'onde depuis la source est identique pourAetC.
7) Exprimer la distanceCB en fonction des coordonnéesxA et xB des pointsA etB et de sini0. Sachant que dans cette zone proche de la surface du sol, la vitesse reste quasi égale à V0 = V(z = 0), exprimer la diérence entre le temps de propagation τ(A)le long du raiOAetτ(B)le long du raiOB.
8) Montrer que la vitesse apparente des ondes en surface, dénie comme Va = τ(B)−τ(A)xB−xA pour deux rais sismiques émergeant en deux points AetB proches, est égale à la vitesse de l'onde au pointA0 de profondeur maximalez=h.
9) Cette question peut être traitée indépendemment des questions précédentes. Le résultat de la question précédente suggère qu'il doit être possible de déduire la vitesse de propagation des ondes en profondeurV(h), à partir de mesures faites en surface. Malheureusement, la profondeurhdu rai reste inconnue. Le principe de la détermination de la vitesseV(z), fonction de la profondeurz, repose sur la formule d'inversion de Herglotz-Wiechert :
où ArgCh est la fonction réciproque du cosinus hyperbolique, ∆ la distance à la source, Va(∆) la vitesse apparente des ondes en surface, fonction de la distance ∆, u une variable muette d'intégration, et G une constante qui reste à déterminer.
D'autre part, le résultat d'une question précédente permet d'établir facilement la relation entrehet∆. On trouve que :
0 dans la formule de Herglotz-Wiechert, et en ne retenant que les termes d'ordre les plus bas en κ2V∆02 et κ2V0u2, calculer la valeur numérique de la constanteG. situation dans le plan d'incidence.
2) En optiqueL=R
n.ds, on peut dénir l'analogue par τ=
Z ds V(z)=
Z dt
qui est bien la durée de propagation de l'onde sismique le long du rai sismique.
3) Le rayon réfracté à chaque interface reste dans le plan d'incidence déni par le premier rayon et la normale à la première interface (Oxz ici). D'autre part, pour chaque dioptre,
n1.sini1=n2.sini2=...=nm.sinim=cste Il vient donc en remplaçant npar sa valeur, si la variation est continue :
sin (i(x)) V (z(x)) =cste
On peut exprimer la dérivée dzdx de la trajectoire du rai sismique en fonction de l'angle ipar :
dz
relation qu'il s'agit d'inverser : dzdx2
sin2i(x) = 1−sin2i(x), soit : sini(x) = 1
q
1 + dzdx2
4) iaugmente avec z, doncndiminue avecz et ainsi V(z)augmente avecz. On peut comparer cette situation à celle d'un mirage optique.
5) On a vu que sin(i(x))V(z(x)) =cste= V1(h) etsini(x) = q 1
0 . L'équation diérentielle à vérier
est donc : s
On donne la solution de l'équation, il s'agit donc simplement de dériver pour vérier que ça marche ! dzdx =
−2.√
q
Aussi, la fonctionz(x)donnée est bien solution de l'équation diérentielle.
z(x)est une parabole.
On remplace maintenant dans la formule de Herglotz-Wiechert : h(∆) = 2.Vκ
0.G
R∆ 0
√∆2−u2du=.
Pour calculer cette intégrale, on fait le changement de variablesu= ∆ sinθ: R∆