Dans l'approximation des milieux continus, la dimension entre les atomes, ions ou molécules (notée a ) et la longueur d'onde λ des ondes acoustiques qui s'y propagent sont telles que

Les points du cours à connaître

I- Etablissement de l'équation de D'Alembert

1. Onde le long d'une corde

2. Propagation du son dans un solide Approximation des milieux continus

Dans l'approximation des milieux continus, la dimension entre les atomes, ions ou molécules (notée a ) et la longueur d'onde λ des ondes acoustiques qui s'y propagent sont telles que

a λ Loi de Hooke et module de Young

La loi de Hooke stipule que la force pour faire varier la longueur ` d'une barre solide de section S est proportionnelle à l'allongement ∆` :

F = E S ∆`

`

où E est le module de Young (ou module d'élasticité), typiquement de l'ordre de E ≈ 10 ¹¹ N · m ⁻² .

3. Généralisation : équation de d'Alembert Equation de d'Alembert

à une dimension, ψ (x, t) suit l'équation de d'Alembert 1

c ² ₀

∂ ² ψ

∂t ² = ∂ ² ψ

∂x ² La célérité de l'onde c ₀ s'exprime en m · s ⁻¹

A trois dimensions, on peut généraliser : 1

c ² ₀

∂ ² ψ

∂t ² = ∆ψ = ∂ ² ψ

∂x ² + ∂ ² ψ

∂y ² + ∂ ² ψ

∂z ²

II- Ondes planes stationnaires

1. Ondes planes stationnaires monochromatiques Onde stationnaire plane

Dans le cas d'une onde stationnaire plane,

ψ(x, t) = F (x) G(t)

(les dépendances d'une onde stationnaire vis-à-vis des variables d'espace et de temps sont découplées.)

Forme mathématique des ondes stationnaires planes monochromatiques (OSPM) En utilisant la méthode de la séparation des variables, on peut réécrire les solutions stationnaires de l'équation de D'Alembert sous la forme

ψ (x, t) = ψ ₀ . cos (k.x + ϕ _F ) . cos (ω.t + ϕ _G )

avec _c

.

N÷uds de vibration

Les n÷uds de vibration sont les endroits où ψ(x, t) = 0∀t . Ventres de vibration

Les ventres de vibration sont les endroits où l'amplitude est maximale.

Espace entre deux n÷uds de vibration successifs ou deux ventres Deux n÷uds de vibration successifs sont éloignés de ^λ ₂ .

Deux ventres de vibration successifs sont éloignés de ^λ ₂ . 2. Modes propres

Modes propres d'une corde vibrante xée à ses deux extrémités

Les conditions aux limites pour une corde de longueur L xée à ses deux extrémités imposent des solutions de types OPSM telles que

L = n λ

2 ⇒ f = n c ₀ 2 L

où n est un entier non nul. Ces solutions sont appelées modes propres de la corde.

3. Spectre Spectre

La représentation de |C _n | en fonction de n , ω _n ou de la fréquence f _n = ^ω _2π

est le spectre de f . Exemple de spectre :

III- Ondes planes progressives

1. Ondes planes progressives monochromatiques Forme d'une OPPM

Une onde plane progressive monochromatique (ou harmonique, ou encore OPPM)

• vers les x croissants :

On peut généraliser avec la forme :

ψ = A cos h

ω t − ~k · ~ r − ϕ ₀ i

Grandeurs temporelles d'une OPPM : pulsation, fréquence, période

• ω : pulsation (en rad · s ⁻¹ ) ;

• ν = _2π ^ω : fréquence (en Hz ) ;

• T = ¹ _ν = ^2π _ω : période (en s ).

Grandeurs spatiales d'une OPPM : vecteur d'onde, longueur d'onde, nombre d'onde

• ~k : vecteur d'onde (en rad · m ⁻¹ ) ;

• σ = | ^{~ k} |

2π : nombre d'onde (en m ⁻¹ ) ;

• λ = ¹ _σ = ^2π

| ^{~ k} | : longueur d'onde (en m ).

Relation entre OPPM complexe et réelle

une onde plane progressive monochromatique a pour amplitude : ψ(~ r, t) = Re

ψ(~ ˜ r, t) où ψ ˜ est l'OPPM complexe associée.

L'amplitude complexe (en ~ r , à l'instant t ), associée à une onde plane monochromatique de pulsation ω et de vecteur d'onde ~k est :

ψ ˜ = ψ 0 e ^j ( ^{~ k} · ~ r−ω t+ϕ

)

où ψ ₀ et ϕ sont des constantes.

2. Lien entre ondes progressives et ondes stationnaires 3. Ondes progressives en général et paquet d'ondes

Forme d'une onde plane progressive en général Une onde plane progressive vers les x croissants peut s'écrire :

ψ(x, t) = h

t − x c ₀

Une onde plane progressive vers les x décroissants peut s'écrire : ψ(x, t) = m

t + x

c ₀

Forme mathématique d'un paquet d'onde

La décomposition continue d'une onde plane complexe se propageant suivant Ox par une su- perposition d'OPPM peut s'écrire

ψ ˜ = Z ∞

0

A ˜ (ω) e ^{j (ω t−k x)} dω

où A ˜ (ω) est le spectre de cette onde.

Exercice traité en n de cours

exo 10.1) Modélisation d'un instrument à corde

Les cordes des instruments de musique sont des objets cylindriques homogènes, tendus entre deux points séparés par une longueur L . Le rayon du cylindre est a avec a L .

1) La corde de masse linéique µ est tendue avec la tension T

. Au repos la corde est rectiligne et parallèle à l'axe horizontal (Ox) .

On étudie les mouvements de la corde autour de sa position d'équilibre. On note y (x, t) le déplacement (ou ébranlement) du point de la corde à l'abscisse x à l'instant t . L'axe Oy est l'axe vertical ascendant.

1.a) Déterminer l'équation aux dérivées partielles que vérie l'ébranlement y(x, t) .

1.b) Calculer la célérité c pour une corde de piano de masse volumique ρ = 7800 kg · m

, de tension T

= 850 N , de diamètre φ = 1, 2 mm .

2) La corde est xée à ses deux extrémités, x = 0 et x = L . On cherche une solutions de l'équation diérentielle précédente sous la forme d'une onde harmonique caractérisée par la pulsation ω et la norme du vecteur d'onde k .

2.a) Quelle doit être la forme de cette onde harmonique ?

2.b) Montrer que seulement certaines fréquences sont possibles, qu'on appellera fréquences propres de la corde.

2.c) Pour un mode propre donné, dénir les ventres et les n÷uds de vibration. Quelle est la distance entre deux ventres consécutifs ? entre deux n÷uds consécutifs ? entre un ventre et un n÷ud consécutifs ?

3) Solution générale

On écrit la solution correspondant aux conditions aux limites y(0, t) = y(L, t) = 0 comme une superposition des modes propres :

y(x, t) =

∞

X

n=1

a

cos

n π c t L

+ b

sin

n π c t L

sin n π x L

On donne les spectres calculés pour une corde pincée à la moitié de sa longueur puis au cinquième de celle-ci, où c

= p

a

+ b

:

3.a) Comment peut-on expliquer l'absence de certains harmoniques dans ces spectres ?

On peut montrer que les coecients a

associés à la corde pincée décroissent globalement comme 1/n

. En revanche les amplitudes des diérents harmoniques de la corde frappée décroissent plutôt en 1/n (au moins à partir d'une certaine valeur de n ).

3.b) Comparer alors les sons d'un clavecin (instrument à corde pincées) et d'un piano (instrument à

corde frappées). Quel caractère du son est alors ressenti à l'oreille ?

Techniques à maîtriser

I- Etablir une équation d'onde

Établir l'équation d'onde pour des ondes transversales sur une corde vibrante inniment souple dans l'approximation des petits mouvements transverses en utilisant un système innitésimal.

Relier la raideur des ressorts ctifs à l'énergie de liaison et évaluer l'ordre de grandeur du module d'Young.

Établir l'équation d'onde dans une tige solide dans l'approximation des milieux continus en utilisant un système innitésimal

Reconnaître une équation de d'Alembert.

Associer qualitativement la célérité d'ondes mécaniques, la raideur et l'inertie du milieu support.

ce qu'il faut savoir faire capacités

On part de l'étude d'un petit élément de longueur dx , et on prend garde à faire la diérence entre les actions qui s'exercent à gauche ( − F ~ (x) ) et à droite ( + F ~ (x + dx) ).

Equation de propagation dans un milieu continu méthode

On part de l'étude d'un élément n , on observe l'équilibre, puis ce qui se passe hors équilibre, ce qui donne une équation de récurrence sur les déformations. Ensuite, on utilise l'hypothèse des milieux continus en faisant un développement limité au deuxième ordre des déformations pour les éléments n , n − 1 et n + 1 . On réinjecte dans la relation de récurrence pour trouver l'équation de propagation.

Equation de propagation dans un milieu discontinu ^méthode

II- Chercher des solutions sous la forme d'ondes stationnaires

Diérencier une onde stationnaire d'une onde progressive par la forme de leur représentation réelle.

Décrire les modes propres.

En négligeant l'amortissement, associer mode propre et résonance en régime forcé.

ce qu'il faut savoir faire capacités

On injecte dans l'équation de propagation des ondes stationnaires. Cela donne la relation de dispersion entre k et ω . Puis on utilise les deux conditions aux limites pour déterminer la partie spatiale.

Ondes stationnaires sur une corde ^méthode

III- Chercher des solutions sous la forme d'OPPM

Diérencier une onde stationnaire d'une onde progressive par la forme de leur représentation réelle.

ce qu'il faut savoir faire capacités

On cherche une onde de la forme :

ψ ˜ = ψ

.e

= ψ

e

On repasse ensuite aux réels.

Forme de l'onde solution méthode

IV- Pour aller plus loin

On réécrit la solution sous forme de séries de Fourier de l'onde stationnaire : y (x, t) =

∞

X

n=1

A

. cos

n π.c.t

L

+ B

. sin

n π.c.t L

sin

n π.x L

On écrit les conditions initiales en position et vitesse :



 

 

y (x, t = 0) =

∞

P

n=1

A

. sin n

dy

dt

(x, t = 0) =

∞

P

n=1

B

L

sin n

On invente ensuite une fonction périodique (de période 2L ) qui est telle que :

s (x) = A

2 +

∞

X

n=1

A

. cos

n 2π.x

2L

+

∞

X

n=1

B

. sin

n 2π.x

2L

On se sert ensuite de l'expression des coecients de Fourier :

A

= 1 L

L

Z

−L

s (x) . cos n π.x

L

.dx et B

= 1 L

L

Z

−L

s (x) . sin n π.x

L

.dx

On pourra utiliser un logiciel pour calculer les coecients !

Calcul d'un spectre d'une onde stationnaire méthode

Les techniques mathématiques à connaître

Fonction périodique

Toutes les fonctions périodiques peuvent être écrites comme une somme de fonctions trigonométriques.

f (t) = C

+

∞

X

n=1

[C

cos (n ω t + φ

)]

est une fonction périodique de période T =

(cf. exemple ci-contre).

Autre présentation puisque

cos (n ω t + φ

) = cos (n ω t) cos (φ

)−sin (n ω t) sin (φ

) on peut réécrire

f (t) = A

2 +

∞

X

n=1

[A

cos (n ω t)] +

∞

X

n=1

[B

sin (n ω t)]

avec

•

= C

,

• A

= C

cos (φ

) ∀n > 0 ,

• B

= −C

sin (φ

) ∀n > 0 . Dénitions physiques

• le continu, la moyenne, l'oset : f

= C

;

• l'ondulation : f

(t) =

∞

P

n=1

[C

cos (n ω t + φ

)] ;

• le fondamental : f

(t) = C

cos (ω t + φ

) ;

• l'harmonique de rang n : f

(t) = C

cos (n ω t + φ

) ;

• la valeur ecace : f

= p

hf

(t)i = s

C

+

∞

P

n=1

C

(formule de Parseval).

Suite C

La représentation de |C

| en fonction de n , ω

ou de la fréquence f

=

est le spectre de f .

La série converge ⇒ lim

n→∞

C

= 0 .

Si f est continue (mathématiquement), C

≈

si n → +∞ ;

Si f est discontinue (mathématiquement), C

≈

si n → +∞ .

Il apparaît parfois une déformation du signal, connue sous le nom de phénomène de Gibbs. Ce phénomène est un eet de bord qui se produit à proximité d'une discontinuité : pour représenter convenablement une fonction discontinue, il faudrait une innité d'harmo- niques.

Synthèse de Fourier méthode

1. Techniques mathématiques - Synthèse de Fourier

Programmation en python

exo 10.2) Résolution de conditions aux limites

Une corde inextensible de longueur L = 1 m , de masse linéique µ

= 10 g · m

, avec une tension T

= 10 N est xée en x = 0 . En x = L , elle est liée à un anneau de masse M = 10 g pouvant glisser sans frottement sur une tige.

L'équation d'onde admet des solutions d'ondes stationnaires de la forme y (x, t) = y

sin (k x) cos (ω t) où la pulsation ω de ces ondes stationnaires obéit à

tan

π ω ω

= b ω où c

= q

T0

µ_`

, ω

=

et b =

0

:

1) Proposer une solution pour trouver les pulsations ω .

Résolution de problème

Les cordes d'une guitare électrique

extrait de l'article wikipédia Corde de guitare

Changer l'épaisseur pour changer la note.

Accord des cordes

L'accord de référence, pour les six cordes à vide, est Mi, Si, Sol, Ré, La, Mi de l'aigu au grave.

Tirant de cordes

Le tirant des cordes, c'est leur diamètre. Cette valeur est exprimée en millièmes de pouces.

Exemple en corde souples : le pack 8/38 (.008/.038 : .008/.011/.014/.022/.030/.038 - Extra light) où il faut comprendre :

• tirant du mi grave = 38 ( 0, 97 mm )

• tirant du mi aigu = 8 ( 0, 2 mm )

L'âme et le lage

Une corde de guitare possède une âme (c'est-à-dire un l principal) autour de laquelle vient s'enrouler un second l, qui formera le lage.

Les cordes de guitare d'une guitare électrique sont souvent en acier plaqué nickel. L'acier permet une inter- action très forte avec les aimants des micros, pour un son plus fort en sortie de guitare, tandis que le nickel protège la corde de la corrosion et améliore le toucher.

exo 10.3) Enoncé

Combien d'octaves séparent les notes mi de la plus ne et de la plus épaisse corde de guitare électrique pour l'accord de référence ?

Données :

• Longueur d'une corde de guitare : 25,5 pouces

• Masse volumique du nickel : 8, 9 g · cm

• Masse volumique de l'acier : 7, 8 g · cm

• 1 pouce =2,54 centimètres

Exercices d'oral pour s'entraîner

exo 10.4) Chaîne de pendules couplés

On réalise une chaîne de pendules simples couplés par des ressorts de torsion, schématisée sur la gure ci-contre.

Chaque pendule n , accroché en O

, d'abscisse x

= n a , est constitué d'une barre homogène de masse m , de lon- gueur ` et de moment d'inertie J =

par rapport à l'axe Ox .

Il oscille dans un plan zO

y par rapport à l'axe horizontal Ox . On repère par θ

la position angulaire du pendule par rapport à sa position d'équilibre verticale. Les liaison entre les pendule et l'axe sont supposées de type pivot parfaites.

Chaque pendule est relié à ses voisins par un l de tor- sion de constante K , confondu avec Ox . Ainsi, le pendule n − 1 exerce un couple Γ

= −K (θ

− θ

) sur le pendule n qui tend à ramener le l vers une torsion nulle.

On néglige tout frottement avec l'air.

1) Quelle est l'équation diérentielle liant les petits angles θ

, θ

, θ

?

2) Montrer que, dans l'approximation des milieux continus, l'équation d'onde est

+ ω

ψ = c

. On donnera les expressions de c

et ω

.

3) Quelle est la relation de dispersion ?

4) Préciser la bande permise pour les pulsations d'oscillations libres de la chaîne de pendules couplés.

5) Calculer en fonction de ω , ω

et c

: 5.a) la vitesse de phase v

, 5.b) la vitesse de groupe v

. 6) Exprimer v

en fonction de c et v

. 7) Comparer chacune des vitesses à c

.

exo 10.5) Ondes dans un ressort

Un ressort à spires non jointives de longueur L et de masse linéique µ a une raideur K . Le ressort est placé sur un axe horizontal. Le déplacement des spires se fait sans frottement.

On étudie une longueur élémentaire dx du ressort au repos qui, au passage d'une onde de déformation, voit ses extrémités se déplacer de ξ(x, t) et ξ(x+

dx, t) .

1) On considère deux ressorts associés en série de raideur k . L'ensemble est considéré comme un ressort unique de raideur K .

1.a) Déterminer la relation entre k et K .

1.b) En déduire que l'expression de la raideur d'une longueur dx du ressort est k

= K

. 2) On s'intéresse à un élément de ressort de longueur dx .

2.a) Exprimer l'allongement de cet élément de ressort en fonction de

. 2.b) Exprimer les forces de rappel s'exerçant aux extrémités de cet élément.

2.c) En déduire l'équation diérentielle vériée par ξ(x, t) ainsi que la vitesse de propagation des ondes dans le ressort.

3) On considère le ressort xé en x = 0 et relié à une masse ponctuelle m , libre de se déplacer en x = L .

3.a) Déterminer la forme des solutions d'ondes stationnaires.

exo 10.6) Phonons dans une barre

On s'intéresse à une tige solide de section S , de masse volumique µ , suivant la loi de Hooke avec le module de Young E . On néglige la pesanteur.

1) Etablissement de la forme des ondes 1.a) Rappeler la loi de Hooke.

1.b) Montrer que dans l'approximation continue, l'équation suivie par la déformation est celle de D'Alembert avec la célérité c

dont on donnera l'expression.

La tige est libre (sans contraintes à ses extrémités x = 0 et x = ` ).

1.c) Montrer que les solutions de l'équation d'onde sont de la forme ξ (x, t) = ξ

cos

px c₀

cos (ω

t) où l'on donnera l'expression de ω

.

2) Etude énergétique.

2.a) Exprimer l'énergie cinétique due à la vibration dans la tige.

2.b) En déduire la moyenne temporelle de l'énergie totale, sachant que le théorème d'équipartition stipule que l'énergie potentielle est égale à l'énergie cinétique.

L'énergie de vibration du réseau est quantiée, la quantum d'énergie est appelé phonon par analogie au photon de la mécanique quantique. On démontre en mécanique quantique que l'énergie d'un mode élastique de pulsation ω est E = n +

~ ω lorsque le mode est dans l'état excité caractérisé par le nombre n , c'est à dire lorsque le mode est occupé par n photons.

2.c) Exprimer le carré de l'amplitude du phonon ξ

.

exo 10.7) Corde attachée à un point matériel oscillant

Une corde inextensible de longueur innie, de masse linéique µ

, avec une tension T

est xée en x = 0 à un point matériel de masse m en S d'ordonnée y

(t) qui peut se mouvoir suivant Oy sans frottement. S subit la force de deux ressorts parallèles à Oy de raideur k . Lorsque S est en O , la force des ressorts est nulle.

1) Etude de la corde

On néglige la pesanteur. On note y(x, t) les déplacements transversaux, supposés petits et T ~ (x, t) la tension qu'exerce à l'instant t la partie de l d'abscisse supérieure à x sur la partie de l d'abscisse inférieure à x . Le petit élément de longueur dx entre les abscisses x et x + dx est à l'altitude y(x, t) à l'instant t . Cet élément fait avec l'axe Ox un angle α(x, t) petit.

1.a) Déterminer l'équation diérentielle vériée par y(x, t) ainsi que la vitesse de propagation des ondes dans la corde.

1.b) Montrer que Z

=

y

est indépendant de la position x sur la corde et de la date t . 1.c) Vérier l'équation locale suivante et en donner la signication physique :

∂

∂t 1

2 µ

v

+ T

2 T

!

= ∂

∂x (v

T

) 2) Etude du point matériel en S

2.a) Exprimer la force exercée par la corde sur le point matériel en S en fonction de µ

, T

et

. 2.b) Montrer que S suit l'équation d'un oscillateur : y ¨

+

y ˙

+ ω

y

= 0 .

2.c) En donner une solution si l'amortissement est faible.

Approche documentaire (DNS)

Chevaucher les ondes

Jean-Michel COURTY et Roland LEHOUCQ Idées de physique c Pour la Science.

Un mobile rattrapant les ondes qu'il émet au cours de son mouvement en subit les rudes eets. Au contraire, quand il les dépasse, il peut en proter. De violents mouvements agitaient la carlingue d'un avion transsonique qui dépassait le mur du son ; ce phénomène t courir de graves dangers aux pilotes d'essais qui franchirent en premier le mur du son après la Seconde guerre mondiale.

Actuellement, la conception des avions supersoniques modernes permet d'atténuer considérablement tous ces eets.

Un avion qui vole à la vitesse du son vibre tant qu'il est dicile à piloter. Depuis 1947, date à laquelle le mur du son fut vaincu par l'aviateur américain Charles Yeager, les pilotes savent que les fortes vibrations qui, au passage du mur du son, secouent la carlingue d'un avion non préparé à cette n, disparaissent dès que sa vitesse excède celle du son.

L'apparition de vibrations au passage de la vitesse de propagation d'une onde est un phénomène général.

Il existe ainsi un mur de l'onde pour chaque type : un mur de l'onde mécanique, un mur de la vague etc. Quand la vitesse du mobile a dépassé celle de l'onde qu'il vient de chevaucher, celui-ci reprend une allure paisible.

Le mur de la caténaire

En 1990, les ingénieurs de la SNCF qui préparaient le record de vitesse du TGV furent confrontés au phénomène : le train ne pouvait dépasser 500 kilomètres par heure car, à cette vitesse, le captage du courant devient dicile à cause des mouvements qui agitent la caténaire (le câble tendu, suspendu à l'horizontale au- dessus du train où circule le courant).

Ce courant alimentant en énergie la motrice est prélevé par le pantographe, un bras ar- ticulé situé sur le toit.

Telle une corde de piano, la caténaire vibre verticale- ment dans une direction per- pendiculaire à son axe : des ondes transverses s'y pro- pagent. Leur vitesse est d'au- tant plus grande que la caté- naire est légère et qu'elle est tendue (cette vitesse est égale à la racine carrée du quotient de la tension par la masse par unité de longueur de la caté- naire).

À titre de comparaison, la

corde de piano qui donne le

exactement 440 aller et retour par seconde.

Le problème des ingénieurs de la SNCF était que les ondes transverses qui parcourent une caténaire sont plus lentes que sur une corde à piano et deviennent comparables aux vitesses des trains les plus rapides. Une caténaire de TGV est constituée d'un câble prolé de cuivre pur d'une section de 150 millimètres carrés, soutenu par un câble porteur en bronze. Comme la densité du cuivre est de 8,9, la masse par unité de longueur d'un tel câble est de quelque 1,4 kilogramme par mètre soit environ 200 fois plus que celle de la corde à piano déjà évoquée ; il est mis sous une tension 30 fois plus forte que celle de cette corde, soit 2 600 décanewtons. La vitesse de propagation des ondes transverses le long de la caténaire est, par conséquent, seulement deux fois et demie plus faible que le long de la corde à piano. Elle vaut environ 500 kilomètres par heure.

Toutefois, contrairement au marteau du piano, le pantographe ne frappe pas la caténaire, mais la soulève.

An de créer le bon contact électrique recherché, il pousse le câble de cuivre vers le haut. Lorsque le train est à l'arrêt, le pantographe soulève le câble avec une force d'environ cinq décanewtons ; la caténaire adopte la forme d'un V renversé dont la pointe est soutenue par le pantographe. La situation est similaire lorsque le train se déplace lentement. La vitesse augmentant, le V renversé dû au pantographe se déforme et des ondulations sont transmises dans la caténaire.

L'amplitude de ces déformations augmente avec la vitesse d'autant plus que l'on s'approche de la vitesse de propagation des ondes. Le soulèvement de la caténaire atteint alors 30 à 35 centimètres par endroits : tout se passe comme si le câble se dérobait devant le pantographe. Le phénomène dégrade le captage du courant jusqu'à entraîner la disjonction des engins de traction, voire des avaries sur les installations !

Ainsi, la vitesse de propagation de ce type d'onde apparaît comme une vitesse limite. Il existe un mur de la caténaire analogue au mur du son. Sur une voie de TGV normale, où la vitesse de propagation des ondes mécaniques est proche de 500 kilomètres par heure, un bon captage de l'électricité n'est possible que si le TGV ne dépasse pas 470 kilomètres par heure. La SNCF a d'ailleurs spécié que, lors des trajets normaux, la vitesse de ses TGV ne devait jamais excéder 70 pour cent de la vitesse de propagation des ondes le long de la caténaire. Pour franchir la barre symbolique des 500 kilomètres sur rails il faut donc augmenter la vitesse de propagation des ondes mécaniques le long de la caténaire. Pour y parvenir, les ingénieurs avaient le choix entre deux solutions : abaisser la masse par unité de longueur de la caténaire ou augmenter sa tension. La première solution imposait de changer de matériau ; moins dense que le cuivre, le cadmium aurait fait l'aaire. Cependant, le temps disponible pour préparer le record de vitesse ne susait pas pour concevoir, fabriquer et tester des caténaires d'un nouveau type. Aussi, les ingénieurs ont-ils choisi d'augmenter la tension de la caténaire. Après des tests de résistance des installations en place, la caténaire a été retendue sous une plus forte tension, 3 000 décanewtons. Cette précaution a porté la vitesse de propagation des ondes mécaniques à 532 kilomètres par heure sur tout le tronçon du record. Finalement, le 18 mai 1990, la rame 325 a pu atteindre la vitesse record de 515,3 kilomètres par heure. Conformément à ce qu'avaient prévu les ingénieurs, la caténaire ne se souleva pas plus de 30 centimètres.

Le mur des ondes de gravité

Si le mur de la caténaire semble infranchissable, la plupart des murs d'ondes ne le sont pas. Bien avant le mur du son, un autre mur, moins célèbre avait été franchi, dès le début du XIXe siècle, sur les canaux anglais : le mur des ondes de gravité. Les ondes de gravité sont, par exemple, les vagues sur la mer ou celles que crée un bateau sur une surface d'eau. Leur formation est un phénomène d'analyse délicate, car la vitesse de propagation de telles vagues varie avec leurs longueurs d'onde, lesquelles dépendent à leur tour de leurs conditions de création.

La situation se simplie toutefois dans un canal peu profond car la vitesse de propagation de toutes les

vagues dont la longueur d'onde est supérieure à la profondeur du canal y est constante ; elle est égale à la racine carrée du produit de la profondeur du canal par l'accélération de la pesanteur.

Dans les canaux de faible profondeur (1,2 mètre) en usage en Angleterre au XIXe siècle pour la navigation de barges à fond plat, cette vitesse excède à peine 12 kilomètres par heure. Si le canal est étroit, les ondes en occupent toute la largeur, et le sillage en V habituellement observé à l'arrière des bateaux ne se développe pas. Les ondes prennent naissance à l'avant du bateau et forment plusieurs ondulations qui suivent la poupe de l'embarcation. Ces ondes se déplacent avec la barge, leurs crêtes restant quasi perpendiculaires au bord du canal. Elles ralentissent le bateau qui doit en permanence gravir la vague qu'il crée devant lui, contrairement au surfeur qui prote de l'énergie de la vague qu'il chevauche en la descendant continuellement.

Comme les déformations d'une caténaire, ces ondulations de la surface de l'eau augmentent en amplitude quand s'accroît la vitesse de l'embarcation. Ces oscillations commencent à se briser et à écumer quand le bateau approche de la vitesse de propagation des ondes dans le canal (12 kilomètres à l'heure). Ce phénomène dissipe de l'énergie, ce qui freine encore plus le bateau. Cet eet est toutefois beaucoup moins gênant que les oscillations de la caténaire ou que les eets aérodynamiques à l'approche du mur du son. Le bateau peut continuer à naviguer malgré l'apparition de ces vagues turbulentes, et si l'on dispose d'un bon cheval, il est même possible de lui faire dépasser la vitesse des vagues.

Dans un savoureux texte de 1844, l'Anglais Scott Russel raconte comment le phénomène fut découvert par hasard dans le canal de Glasgow à Ardrossan. Un cheval fougueux tirant une barge de William Houston, l'un des propriétaires du canal, prit peur et partit au galop, tirant le bateau avec lui. Il fut observé par Monsieur Houston à son grand étonnement, que les vagues pleines d'écume de la poupe qui dévastaient les rives habituellement avaient disparu ; le bateau semblait porté sur une eau bien plus lisse qui freinait beaucoup moins le bateau.

Monsieur Houston eut l'intelligence de reconnaître l'intérêt de cette découverte pour la société exploitant le canal, dont il était actionnaire. Il s'occupa lui-même d'introduire sur le canal des bateaux naviguant à des vitesses pouvant atteindre neuf miles par heure, ce qui augmenta considérablement les bénéces des propriétaires du canal.

Une fois le mur de l'onde passé, les vagues créées par le bateau sont désordonnées et ont une amplitude très faible. L'eau est à nouveau plate devant le bateau et la résistance à l'avancement fortement réduite.

Le grand physicien Rutherford, à qui l'on demandait s'il suivait la mode dans ses recherches en physique, avait déjà répondu : Je crée la vague, je ne la suis pas ?. Comme le batelier de William Houston.

exo 10.8) Enoncé 1) Corde de piano

On s'intéresse à une corde de piano en acier suivant l'axe Ox , soumise à une tension T

, de masse linéique µ

, de longueur ` . Vérier :

1.a) qu'une telle corde "de densité 7, 86 d'un diamètre d'un millimètre pèse 6, 2 g · m

".

1.b) que sur une telle corde, soumise à une tension "d'environ 85 kg ", les ondes se propagent à la vitesse de 1330 km · h

(on donnera l'équation diérentielle suivies par les ondes transverses).

1.c) qu'une telle corde "de longueur 42 cm donne le la du diapason à 440 Hz " (on donnera la forme des solutions de l'équation diérentielle pour ce "la").

2) Caténaire

2.a) Vérier qu'une caténaire "de section 150 mm

de densité 8,9 tendue à 2 600 décanewtons" voit des ondes se déplacer à 500 kilomètres par heures.

2.b) Que devient cette vitesse si les caténaires sont tendues à "3 000 décanewtons" ?

Problème (DNS)

Propagation d'ondes sismiques

Les vibrations sismiques se composent, d'une part d'ondes de compression, et d'autre part d'ondes de ci- saillement. Ces ondes ne se propagent pas à la même vitesse, ce qui permet de les distinguer. Enn, il y a également des ondes de surface .

La source de ces ondes peut être naturelle (tremblement de Terre), ou articielle (explosion souterraine de forte puissance, camion vibreur). L'étude du temps de propagation de ces ondes apporte des renseignements précieux sur la nature du sous-sol et des couches internes de la Terre. Dans cette partie, on montre dans un cas simple comment le temps de propagation de ces ondes permet de connaître la vitesse de propagation en profondeur.

Dans ce qui suit, le sous-sol est modélisé comme une succession de couches horizontales, au sein desquelles la vitesse de propagation de l'onde sismique V (z) , dépend de la profondeur z , supposée positive. L'axe Oz caractérise la verticale orientée vers le bas.

Pour étudier la propagation des vibrations dans le sous-sol, on a recours à une analogie avec l'optique. Une source de vibration émet à la surface du sol, en un point O, un train d'ondes sismiques. On appelle rai sismique la trajectoire normale à toutes les surfaces de l'onde émise. Le rai sismique est l'analogue du rayon lumineux.

1) Rappeler la loi de Snell-Descartes pour la réfraction d'un rayon lumineux à l'interface de deux milieux transparents d'indice de réfraction respectivement égaux à 1 et n > 1 . Illustrer votre réponse par un schéma.

Par analogie avec l'optique, on dénit l'indice de réfraction des ondes sismiques comme égal à l'inverse de la vitesse : n(z) =

. L'indice de réfraction ainsi déni a donc la dimension de l'inverse d'une vitesse, contrairement à l'indice optique qui est sans dimension.

2) Dénir pour les ondes sismiques, l'analogue du chemin optique dans un milieu d'indice variable, et montrer que cette quantité τ est égale au temps de propagation de l'onde sismique le long du rai sismique.

Le rai sismique peut être vu comme une trajectoire z(x) . On introduit i , angle en radian entre la tangente à la trajectoire et la verticale dénie par ~ e

.

3) En raisonnant sur un milieu constitué de couches horizontales d'indice n

(cf. gure précédente), et en appelant i

l'angle du rai avec la verticale dans la couche m , montrer que le produit n

sin(i

) reste constant le long du rai (les lois sont les mêmes qu'en optique).

En déduire que dans un sol où l'indice dépend continûment de la profondeur z , la grandeur

reste constante le long de la trajectoire.

Exprimer sin (i(x)) en fonction de la dérivée

de la trajectoire du rai sismique.

On considère un rai OA issu d'une source O située à l'origine x = 0 , z = 0 du repère. Ce rai est incurvé de

façon à revenir vers la surface en un point A situé à une distance ∆ = x

de la source des ondes, après être passé par un point A

de profondeur maximale z = h (cf. gure précédente).

4) Quel doit être le sens de variation de l'indice avec la profondeur, et par voie de conséquence, de la vitesse V (z) , pour qu'une telle situation soit observée ?

A quel phénomène optique fréquent dans les régions chaudes et désertiques du globe, la situation ci-dessus est-elle comparable ?

5) Si A

est le point de profondeur maximale h , la quantité

reste égale à

le long de la trajectoire. Donner en fonction de V (z) et de V (h) , l'équation diérentielle à laquelle obéit la trajectoire z(x) du rai sismique.

6) En supposant que la vitesse de propagation des vibrations sismiques obéit à la loi V (z) = V

+ κ.z , et en se limitant aux rais sismiques dont la profondeur h reste susamment faible pour que la quantité

soit petite devant 1, vérier que la trajectoire d'équation

z(x) = h − √

h − x r κ

2 V

est solution de l'équation diérentielle obtenue.

Quelle est la forme géométrique de ce rai sismique ? Pour quelle valeur de x , z(x) s'annule-t-il ?

Remarque : la constante V

n'est autre que la vitesse de propagation des ondes au voisinage de la surface, et κ le premier coecient du développement limité de V (z) au voisinage de la surface.

La gure précédente représente deux rais issus de O sous des incidences très proches de i

(angle entre le rai et la verticale), émergeant en deux points voisins A et B , et contenus dans un même plan vertical. Le point C appartenant au rai émergeant en B , forme avec A et B un triangle (presque) rectangle. Il en résulte que A et C appartiennent à la même surface d'onde, vibrent en phase, et que le temps de propagation de l'onde depuis la source est identique pour A et C .

7) Exprimer la distance CB en fonction des coordonnées x

et x

des points A et B et de sin i

. Sachant que dans cette zone proche de la surface du sol, la vitesse reste quasi égale à V

= V (z = 0) , exprimer la diérence entre le temps de propagation τ(A) le long du rai OA et τ(B) le long du rai OB .

8) Montrer que la vitesse apparente des ondes en surface, dénie comme V

=

pour deux rais sismiques émergeant en deux points A et B proches, est égale à la vitesse de l'onde au point A

de profondeur maximale z = h .

9) Cette question peut être traitée indépendemment des questions précédentes. Le résultat de la question précédente suggère qu'il doit être possible de déduire la vitesse de propagation des ondes en profondeur V (h) , à partir de mesures faites en surface. Malheureusement, la profondeur h du rai reste inconnue. Le principe de la détermination de la vitesse V (z) , fonction de la profondeur z , repose sur la formule d'inversion de Herglotz- Wiechert :

h(∆) = 1 G

Z

ArgCh

V

(∆) V

(u)

du

où ArgCh est la fonction réciproque du cosinus hyperbolique, ∆ la distance à la source, V

(∆) la vitesse apparente des ondes en surface, fonction de la distance ∆ , u une variable muette d'intégration, et G une constante qui reste à déterminer.

D'autre part, le résultat d'une question précédente permet d'établir facilement la relation entre h et ∆ . On trouve que :

h(∆) = κ 8 V

∆

En substituant à V

(∆) , l'expression V

(∆) = V (h(∆)) = V

+ κ h = V

+

0

, puis V

(u) = V (h(u)) = V

+ κ u = V

+

0

dans la formule de Herglotz-Wiechert, et en ne retenant que les termes d'ordre les plus bas en

et

, calculer la valeur numérique de la constante G .

Données : ArgCh(x) ≈ p

2 (x − 1) au voisinage de x ≈ 1 .