1. Le dioptre plan n’est pas stigmatique, mais pour l’œil qui regarde la pièce, on pourra considérer un stigmatisme approché au centre de l’image.

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OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE

I. Réfraction sur un ou plusieurs dioptres plans

1. Le dioptre plan n’est pas stigmatique, mais pour l’œil qui regarde la pièce, on pourra considérer un stigmatisme approché au centre de l’image.

2. On commence par établir, comme en TD, la relation de conjugaison du dioptre plan entre l’objet A et son image A ⁰ , situé la normale au dioptre passant par A (schéma à faire). En notant H le projeté orthogonal de A sur le dioptre, on obtient

HA ⁰ 1 = HA

n e

⇒ h ⁰ = h n e

= 75, 2 cm.

3. On note maintenant A ⁰ l’image de A par le dioptre eau-benzène, et H son projeté orthogonal sur ce dioptre. On note A ⁰⁰ l’image de A ⁰ par le dioptre benzène-air, et H ⁰ son projeté orthogonal sur ce dioptre.

Les deux relations de conjugaison successives s’écrivent h ⁰⁰ = H ⁰ A ⁰⁰ = H ⁰ A ⁰

n _b = 1

n _b (H ⁰ H + HA ⁰ ) = 1

n _b (H ⁰ H + n _b

n _e HA) d’où h ⁰⁰ = d

h _b + h − d

n _e = 73, 5 cm

II. Étude d’un microscope

1. Modélisation d’un microscope 1. L’objectif

a)

b) En utilisant la relation de conjugaison de Descartes, on obtient : γ 1 = A 1 B 1

AB = O 1 A 1

O 1 A = O 1 A f ₁ ⁰ + 1

! −1

= −2, 0

1

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c)

Prenons un objet AB dont la position sur l’axe varie. Le support du rayon 1 issu de B (parallèle à l’axe qui émerge en passant par F ₁ ⁰ ) est indépendant de la position de l’objet. L’image A 1 B 1 est donnée par l’intersection de sa partie émergente avec le rayon 2 passant par 0 1 , non dévié. Ce second rayon dépend de la position de AB. Il y a trois possibilités :

1. F 1 A < 0, alors l’image est réelle et inversée.

2. 0 ≤ F 1 A ≤ f ₁ ⁰ , alors l’image est virtuelle, droite et agrandie.

3. F 1 A > f ₁ ⁰ , alors l’objet est virtuel et l’image est réelle, droite, et rapetissée.

Donc seule la situation 1. est possible. Pour avoir une image agrandie, la formule de Newton donne : γ 1 = f ₁ ⁰

F 1 A < −1 ⇒ F 1 A > −f ₁ ⁰ .

On doit donc placer l’objet à gauche de F 1 mais à une distance inférieure à f ₁ ⁰ (ce qui n’est pas le cas dans la figure).

2. L’oculaire

a) L’œil ne fait pas la différence entre une image virtuelle et réelle puisqu’il en fait une image sur la rétine. Donc une image réelle est visible à l’œil nu.

b) Un œil normal voit à l’infini sans accomodation. Donc pour que A ⁰ B ⁰ soit à l’infini, il est nécessaire que A 1 soit au foyer F 2 .

c)

O 1 O 2 = O 1 A 1 + F 2 O 2 = 1

f ₁ ⁰ + 1 O 1 A

−1

+ f ₂ ⁰ = 35 mm

∆ = F ₁ ⁰ O 1 + O 1 O 2 + O 2 F 2 = −f ₁ ⁰ + 1

f ₁ ⁰ + 1 O 1 A

−1

= 10 mm

On note que ces valeurs ne sont pas très réalistes. Ceci est du à la position trop éloignée de l’objet, pour des raisons de commodité de tracé graphique.

3. Doublet de lentilles minces

a) On se trouve dans la configuration suivante : F ^L →

F 2 L

→ A ⁰ (∞) et A(∞) → ^L

F ₁ ^{0 L} →

F ⁰ . La formule de conjugaison de Newton donne donc dans chaque cas :

F 1 F .F ₁ ⁰ F 2 = −f ₁ ⁰² = ⇒ F 1 F = − f ₁ ⁰²

∆ = −2.5 mm F 2 F ₁ ⁰ .F ₂ ⁰ F ⁰ = −f 2 ⁰² = ⇒ F ₂ ⁰ F ⁰ = f ₂ ⁰²

∆ = 40 mm

2

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b)

2. Caractéristiques d’un microscope 1. Grossissement commercial

a) Pour un œil normal, le P.R. est à l’infini. Donc l’objet intermédiaire A 1 B 1 est dans le plan focal objet de l’oculaire. L’angle α ⁰ est alors donné par le rayon issu de B 1 passant par O 2 non dévié. Donc

tan α ⁰ = A 1 B 1

f ₂ ⁰ ≈ α ⁰ et tan α _ref = A 1 B 1

d _pp ≈ α _ref d’où G _c2 = d _pp f ₂ ⁰

b) A la différence du calcul précédent, on a cette fois : α _ref ≈ AB

d _pp donc G _c =

A 1 B 1

f ₂ ⁰ d _pp AB

= |γ 1 |.G _c2 = 25

c) D’où P i = |γ 1 | f ₂ ⁰ = 100 δ.

d) Il faut augmenter le grossissement |γ 1 | = _F ^f

1

A donc rapprocher A de F 1 . 2. Notion de profondeur de champ

On est replacé dans la situation de la question 1.2.1.a, pour laquelle on a trouvé ∆ = 10mm (question 1.2.2.c). On a les conjugaisons suivantes : A _R ^L →

A _1R → ^L

A ⁰ _R (∞) et A _P → ^L

A _1P ^L →

A ⁰ _P .

a) Donc les points A 1 visibles nets par l’œil à travers l’oculaire (donc l’œil voit leur image A ⁰ ) sont situés entre A _1R et A _1P . Or A _R est à l’infini donc A _1R = F 2 , et la formule de conjugaison de Newton donne dans le second cas :

F 2 A _1P .F ₂ ⁰ A ⁰ _P = −f ₂ ⁰² = ⇒ F 2 A _1P = f ₂ ⁰² d _pp .

b) De même, l’application de la formule de Newton conduit à : F 1 A _R = − f ₁ ⁰²

F ₁ ⁰ A _1R = − f ₁ ⁰²

∆ et F 1 A _P = − f ₁ ⁰²

F ₁ ⁰ A _1P = − f ₁ ⁰²

∆ + F 2 A _1P = − f ₁ ⁰²

∆ + ^f _d

pp

d’où

3

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l = A _R A _P = f ₁ ⁰²

∆





 1 − 1 1 + _∆d ^f

pp





 ≈ f ₁ ⁰² f ₂ ⁰²

∆ ² d _pp ≈ 0.34 mm.

La profondeur de champ est donc faible. Avec des valeurs réalistes elle est encore beaucoup plus faible (de l’ordre de 0.001mm).

4