UNE MODÉLISATION NUMÉRIQUE DU DIOPTRE ACOUSTIQUE LIQUIDE SOLIDE

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Submitted on 1 Jan 1990

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UNE MODÉLISATION NUMÉRIQUE DU DIOPTRE ACOUSTIQUE LIQUIDE SOLIDE

J. Laurens

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J. Laurens. UNE MODÉLISATION NUMÉRIQUE DU DIOPTRE ACOUSTIQUE LIQ- UIDE SOLIDE. Journal de Physique Colloques, 1990, 51 (C2), pp.C2-1219-C2-1222.

�10.1051/jphyscol:19902286�. �jpa-00230619�

COLLOQUE DE PHYSIQUE

Colloque C2, supplément au n°2. Tome 51, Février 1990 C2-12I9 1er Congrès Français d' A c o u s t i q u e 1990

UNE MODÉLISATION NUMÉRIQUE DU DIOPTRE ACOUSTIQUE LIQUIDE SOLIDE

J. LAURENS

Ecole Normale Supérieure de Lyon, 46 Allée d'Italie, F-69364 Lyon Cedex 07, France

RESUME : Nous présentons une modélisation numérique de la diffusion acoustique par un prisme solide plongé dans un liquide.

ABSTRACT : We present a numerical modelling of the acoustic diffusion by a solid prism in a liquid.

0. INTRODUCTION

Nous présentons ici une méthode de simulation numérique de la propagation d'une onde acoustique dans un milieu liquidé homogène où se trouve un obstacle solide. Nous insistons sur une nouvelle manière de traiter les interfaces, ici entre liquide et solide, qui permet de considérer indifféremment les points sans plan tangent ( sommet d'un cône, arête d'un dièdre ) et les points avec plan tangent, où elle redonne les bonnes conditions de passage. Elle est directement inspirée de résultats mathématiques d'existence et d'unicité établis dans [ 1 ].

La modélisation mathématique du phénomène sera d'abord précisée, puis nous envisagerons la modélisation numérique. Les résultats de simulations numériques étayeront le bon comportement de la méthode, et nous terminerons par les perspectives envisagées.

1 . MODELISATION MATHEMATIQUE 1.1 Dans les milieux liquide et solide

Nous nous plaçons dans le cadre de l'acoustique linéaire et prenons les équations en variables de lagrange ( x ) établies dans [ 2 ] sur les quantités acoustiques.

Pour le cas liquide, nous obtenons :

où p est la pression, U la vitesse, piiq est la densité du liquide et qiq la vitesse des ondes infinitésimales.

Et pour le cas solide :

où S est le tenseur des contraintes, U est la vitesse, pSol est la densité du solide et X et [i en sont les coefficients de Lamé.

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:19902286

COLLOQUE DE PHYSIQUE

Ii sera pratique de parler des vitesses d'ondes longitudinales ( cl ) ou transverses ( ct ) dans le solide selon : 2 h

+

C l =- ² P

Ct =-.

Psol Psol

Toutes les vitesses considérées sont du même ordre de grandeur, tout comme Ies densités. Il est possible après changement de variable, de ramener cet ordre de grandeur à l'unité : on utilise pour se faire la linéarité des équations.

D'autre part, les deux systèmes écrits sont équivalents lorsque p est nul et h vaut ~ ~ q . ~ l i ~ , c'est-à- dire, le liquide acoustique est un cas particulier du solide acoustique.

1.2 Aux interfaces entre liauide et solidg

La dernière remarque permet de considérer un milieu unifié de type solide, à caractéristiques constantes par morceaux : la densité de ce milieu est une fonction discontinue, donc mal définie à l'interface.

Un cadre d'étude convenable est celui des fonctions généralisées de COLOMBEAU, c'est lui qui permet de s'affranchir des conditions de passage : une fonction généralisée peut présenter des sauts de discontinuité ou chocs, mais ceux-ci ont une certaine "épaisseur" qu'il faut comparer à leur épaisseur physique, et nous pouvons préciser les valeurs des fonctions à l'intérieur des chocs. Dès lors, nous disposons de résultats d'existence et d'unicité, qui justifient notre étude [ 3 1. Ce travail fait suite à l'étude du dioptre fluide / fluide

r

1.

2 . MODELTSATION NU-OUE ET RESULTATS 2.1 Dans les milieux homogènes

Pour la simulation numérique, nous conservons le distingo liquide / solide, et nous traitons chaque milieu séparément. Nous utilisons un schéma aux différences finies reposant sur des estimations d'ordre 2 en temps et en espace. L'aspect des équations en rend la programmation peu coûteuse et la condition de stabilité est très avantageuse.

2.2 Aux interfaces

Nous donnons aux courbes de discontinuité une épaisseur de l'ordre du pas d'espace, et nous choisissons une interpolation de la densité et des coefficients de Lamé. Nous traitons ces régions avec les mêmes schémas, mais un maillage 5 à 10 fois plus fin.

2.3 Résultats

Notre problème modèle est plan, il consiste à étudier la réflection sur un triangle rectangle d'une onde plane infinie. Pour simplifier nous avons imposé une symétrie par rapport à la bissectrice de l'angle droit et nous ne représentons que la moitié supérieure. L'onde incidente est un demi-plan, bordé par une droite verticale, qui se propage horizontalement de la gauche vers, à droite, la pointe du triangle. A gauche de cette ligne, la pression acoustique est un, alors qu'à droite elle est nulle. Pour des instants successifs, nous donnons les courbes isovaleurs correspondant à la pression dans le liquide et à l'opposé de la composante Li, 1 du tenseur des contraintes dans le solide. Nous donnerons aussi une représentation des vecteurs vitesses autour du solide.

Nous voyons apparaitre une onde réfléchie circulaire centrée sur la pointe gauche du triangle. Les imperfections de la représentation graphique sont dûs au logiciel utilisé. Si on remplaçait le demi-pian par une onde de longueur finie, faible par rapport à la taille du triangle, on observerait des pics de pression acoustique comme dans [ 4 1.

fig 1.1 à 1.4 : représentation des courbes isobares pour

Piiq = cliq = 1

pso1 = 2, = 2, p = l

COLLOQUE DE PHYSIQUE

fig2 : représentation des vitesses correspondant à figl.4

3 . ÇONCLUSION

D'un point de vue qualitatif, une telle méthode parait tout à fait adaptée à l'étude des dioptres acoustiques. Elle permettrait de mieux simuler les interactions entre liquide et solide, et par là de mieux les modéliser. Même si nous n'avons parlé ici que d'acoustique linéaire, il est possible d'utiliser une démarche analogue pour des comportements non linéaires tels que des tourbillons

...

Pratiquement, le mise en œuvre numérique est facile. Le coût en calcul et mémoire est modeste, et ne sera pas prohibitif en dimension 3. ii est d'ores et déja raisonnable de concevoir des simulations dans l'espace, avec des objets réels, un schéma plus performant ( d'ordre 4 ) : l'organisation des calculs se prête à l'emploi de machines multi-processeur et vectorielles.

References ;

[ 1 ] Barka, Y.A., Colombeau, J.F., Perrot, B. A numerical modelling of the fluid / fluid acoustic dioptra. J. d'Acoustique, sous presse.

[ 2 ] Poirée, B, Les équations de l'acoustique linéaire dans les fluides hétérogènes au repos, Dans N.GESPA, La Diffusion Acoustique par des cibles élastiques de forme géométrique simple, Théorie et expériences. CEDOCAR Section diffusion 26 BD Victor, 75996 Paris Armées.

[ 3 ] Lafon, F., Oberguggenberger, M. Generalized solutions to syrnmetric hyperbolic systems with discontinuous coefficients : the multidimensional case. Preprint 1988.

[ 41 Colombeau, J.F., Laurens, J., Perrot, B., Une méthode numérique de résolution des équations de l'acoustique dans un d i e u à caractéristiques Cm par morceaux. Article dans ce volume.

[ 5 ] Laurens, J..Etude du dioptre acoustique. Rapport de stage de D.E.A. Université Claude Bernard LYON 1, D.E.A. d'analyse numérique, de calcul scientifiqueet de modélisation mathématique Année 1988 /

1989.