ÉTUDE DU CHAMP IMPULSIONNEL RÉFLÉCHI PAR UN DIOPTRE PLAN

(1)

HAL Id: jpa-00230547

https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00230547

Submitted on 1 Jan 1990

HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are published or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

ÉTUDE DU CHAMP IMPULSIONNEL RÉFLÉCHI PAR UN DIOPTRE PLAN

D. Cassereau, D. Guyomar

To cite this version:

D. Cassereau, D. Guyomar. ÉTUDE DU CHAMP IMPULSIONNEL RÉFLÉCHI PAR UN DIOPTRE PLAN. Journal de Physique Colloques, 1990, 51 (C2), pp.C2-949-C2-952. �10.1051/jphyscol:19902221�.

�jpa-00230547�

(2)

COLLOQUE DE PHYSIQUE

Colloque C2, supplément au n°2, Tome 51, Février 1990 C2-949 1er Congrès Français d'Acoustique 1990

ÉTUDE DU CHfiMP IMPULSIONNEL RÉFLÉCHI PAR UN DIOPTRE PLSN

D. CASSEREAU et D. GUYOMAR*

Groupe de Physique des Solides de l'E.N.S., Equipe Ondes et Acoustique, 2 Place Jussieu, F-75252 Paris Cedex 05, France

* Thomson Sintra A.S.M., Route des Dolines, BP. 38, F-06S61 valbonne, France

R é s u m é - Nous proposons une méthode de calcul du champ acoustique réfléchi par un dioptre plan séparant deux milieux fluides en formalisme impulsionnel. Cette méthode de calcul permet de mettre en évidence l'existence dans certains cas d'ondes de surface qui semblent en contradiction avec le principe de causalité. En réalité, ces ondes de surface sont directement liées au contraste de vitesse entre les deux milieux. Le champ réfléchi sera représenté en différents points en fonction du temps, ainsi qu'une carte d'amplitude à un instant donné.

A b s t r a c t - We propose a method to compute the acoustic field reflected by a plane infinite interface separating two lossless fluids in the impulse domain. The proposed method illustrates the existence of surface waves propagating along the interface ; these waves are directly related to the velocity contrast. The reflected field is represented for different observation points as a function of time. We also show a spatial mapping of the field at a specific time.

1 - Introduction

Dans cet article, nous proposons une méthode de calcul en régime impulsionnel du champ acoustique réfléchi par une interface plane infinie séparant deux milieux fluides homogènes et sans pertes. Ce problème a déjà été traité dans la littérature sur la base de la méthode de Cagniard.1 - 3 La méthode que nous proposons consiste à utiliser une transformée de Fourier sur le temps plutôt qu'une transformée de Laplace. Cette méthode équivalente à celle de Cagniard fait appel à une mathématique plus simple et plus classique.

Nous considérons deux milieux fluides sans pertes, dont les vitesses de propagation et densités sont respectivement clt c2, p\ et p2. L'interface séparant les deux milieux est située dans le plan z = 0, le point source dans le milieu 1 à l'altitude z — hT > 0. Dans tout ce qui suit, le symbole y/- s'entend au sens large, il est défini par \fx = j-\/—x pour x < 0. H(-) et S(-) sont respectivement les fonctions de Heaviside et signe. On définit également les rapports entre les deux vitesses ci:J- = Cj/cy, et entre les deux densités pi3- = pi/ pj. Par convention, les transformées de Fourier directes et inverses sont prises avec les noyaux respectifs exp(±j-)/\/27r.

2 - Calcul des champs réfléchis et transmis

On considère que le point source situé en z = hT émet une onde sphérique impulsionnelle caractérisée par un potentiel scalaire de vitesse

•<<'•••'> = ï â i ' ( ' - £ ) •

⁽¹⁾

avec R = s/r2 + (z — hT)'2 et r = \Jx2 + y2. Compte tenu de la symétrie radiale du problème, la décomposition du champ incident en spectre angulaire (transformée de Fourier spatiale sur x et y) se ramène à une transformée de Hankel avec un noyau en fonction de Bessel J0. La transformée de Fourier sur le temps se calcule de façon élémentaire. Quant à la décomposition d'une onde sphérique monochromatique en spectre angulaire, les formules sont données dans les tables4. Définissant p2 = kl + k2 et Fx {p, u) définie par

Fi(p><»>) = S{u), si w2 > p21'cl et F1(p,u) = 1, siw2<p2/c2, on peut aisément vérifier que le champ incident s'écrit dans l'espace dual de Fourier-Bessel de la façon

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:19902221

(3)

COLLOQUE DE PHYSIQUE C2-950

suivante :

jF1(p'W) exp [jFl (pi W)UI lz

- Ih 11,

@i(p>z'w) = --

,&

4rv1 où l'on a posé ul =

d w .

L'interface entre les deux milieux est située dans le plan z = O, il en résulte que le champ incident s'écrit au voisinage immédiat de l'interface :

Suivant le même principe, les champs réfléchi et transmis dans les deux milieux sont écrits dans l'espace de Fourier-Bessel sous la forme

où v, et F, (p, w) sont définis pour le milieu 2 de la même façon que pour le milieu 1, en remplqant cl par c,. Ces deux ondes se propagent respectivement dans les demiespaces z

>

O et z

<

0.

Les conditions aux limites à satisfaire au niveau de l'interface sont la continuité de la pression acoustique et du déplacement normal. Nous donnons ici l'amplitude réfléchie en fonction de l'amplitude incidente :

3

-

R e t o u r d a n s l'espace rdel

L'inconvénient majeur de la transformée de Fourier est que l'on oublie souvent la causalité et la réalité des grandeurs calculées. Ces deux propriétés sont importantes dans la mesure où elles permettent de simplifier les calculs, et de justifier pleinement notre approche. La transformée de Hankel étant réelle, il est classique que la réalité du champ refléchi se ramène à l'hermicité du champ complexe dans l'espace dual. Le champ réfléchi dans l'espace de Fourier-Bessel s'écrit :

Le premier terme (1) de cette équation est clairement hermitique puisqu'il correspond à la décomposition d'une onde sphérique impulsionnelle divergente issue d'un point source virtuel, symétrique à travers l'interface du point source réel. Quant à l'hermicité du second terme (II), il est aisé de vérifier qu'elle résulte directement de la présence des deux fonctions FI et F,. Cette propriété de réalité du champ réfléchi n'est pas toujours bien mise en évidence dans la littérature.' Cette difficulté .est en général contournée en ne considérant que la partie réelle du champ complexe calculé, sans toutefois justifier un tel abus mathématique. On peut alors montrer que le champ réfléchi s'écrit encore :

CDr (r, Z, t) = - 4H(t)

1'- 1'-

^Re

^1%

(p, z, w)] pJo (pr)dp cos(wt)dw.

6

⁽⁶⁾

4

-

Calcul d u ch am^ réfléchi

Nous ne présentons pas ici tous les détails mathématiques permettant de calculer le champ numérique ment. On peut montrer que l'expression ci-dessus se réduit à une intégrale simple, la transformée de Fourier inverse sur le temps pouvant être obtenue analytiquement. Le champ réfléchi se comporte principalement comme une distribution, c'est pourquoi nous ne calculons pas le champ, mais plutôt sa primitive par rapport au temps.

Les figures 1 et 2 représentent le champ réfléchi pour un milieu fluide 2 plus impédant que le milieu fluide 1.

(4)

Figure 1 : Champ réfléchi

*

cl =1500 m/s, pl = l

*

c2 =2400 m/s, pz =2.4 Epaisseur normale :

*

^r=50mm, z=5 mm et hT=10 mm Epaisseur double :

*

^r=10mm, z=40 mm et hT=10 mm

N m -

&

^oi

$ 8 -

z N -

5 s -

61

!Y-

m - d

*

- d

O ,

Pour r=50 mm, on constate que le champ prend des valeurs non nulles au voisinage de 29 ,us, atteint son maximum vers 36 ,us puis décroit. La valeur maximale correspond à l'instant d'observation du champ réfléchi pour un second milieu infiniment impédant. Les valeurs précédant ce maximum correspondent aux ondes de surface liées au contraste de vitesse entre les deux milieux. Pour r=10 mm, il n'y a plus de précurseur, les ondes de surface n'étant pas observables à l'intérieur du cône critique de réflexion totale.

Le champ commence par une discontinuité, puis décroit continuement dans le temps.

1

La figure 2 représente une carte instantanée du champ réfléchi à t=40 ,us. Nous avons ici calculé le champ réfléchi, et non sa primitive temporelle. A l'intérieur du cône critique, le champ réfléchi présente le profil d'une onde quasi sphérique. Au delà de ce cône, le champ présente une extension spatiale importante, avec apparition des ondes de surface. Cette figure illustre les conditions d'existence et d'observation des ondes de surface.

0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 B D

Temps (mie-)

Figure 2 : Champ réfléchi

*

cl =1500 m/s, pl = l

*

^{c2 =2400}m/s, p, =2.4

*

^t=40^,us

Les mêmes calculs ont été effectués en intervertissant les vitesses et densités des deux milieux par rapport au cas précédent.

Pour r=50 mm, il n'y a plus de précurseur. Le champ présente une discontinuité négative (contraste d'impédance inversé par rapport au cas précédent). Ensuite, le champ croît et devient stationnaire avec le temps. Pour r=10 mm, on observe les mêmes effets que précédemment.

La figure 4 représente une carte instantanée du champ réfléchi à t=40 ,us. Le champ présente partout un profil d'onde sphérique. Un effet inverse du précurseur est visible à l'intérieur de l'onde sphérique.

(5)

C2-952 COLLOQUE DE PHYSIQUE

Figure 3 : Champ réfléchi

*

cl =2400 m/s, pl =2.4

*

c2=1500 m/s, p 2 = l Epaisseur normale :

*

^r=50mm, 2=5 mm et hT =10 mm Epaisseur double :

*

r=10 mm, z=40 mm et hT =10 mm

Figure 4 : Champ réfléchi

*

cl =2400 m/s, pl =2.4

Il résulte de ces différents résultats que le précurseur, ou encore onde conique ou onde de surface, n'existe que si le milieu fluide 2 a une vitesse de propagation supérieure à celle du milieu 1 où se trouve le point source et où l'on calcule le champ réfléchi. Ces ondes de surface n'existent pas partout dans l'espace, mais dans le domaine situé à l'extérieur du cône critique de réflexion totale suivant la loi de Snell.

5

-

Conclusion

Nous avons présenté une méthode de calcul du champ réfléchi par une interface plane séparant deux milieux fluides en régime impulsionnel. Cette méthode de calcul illustre les conditions d'existence des ondes de surface. Cette méthode fournit un outil de calcul de la fonction de Green et ouvre de nombreuses applications, en particulier dans le domaine des champs diffractés par les transducteurs ultrasonores. Cette méthode peut également être étendue au cas d'une interface entre un fluide et un solide. L'utilisation de la causalité et la réalité du champ permet de simplifier le calcul du champ, elle justifie pleinement notre approche.

Références

G. Lindh, "Transmission of a transient spherical wave a t a plane interfacen, Acoustica 12,108-112 (1962).

D.H. Towne, "Pulse shapes of spherical waves reflected and refracted a t a plane interface separating two homogeneous fluids", J. Acoust. Soc. Am. 44, 65-76 (1968).

A.T. De Hoop et J. van der Hijden, "Generation of acoustic waves by an impulsive point source in a fluid/solid configuration with a plane boundary", J. Acoust. Soc. Am 75, 1709-1715 (1984).

H. Bateman, Table of integral transforms (Mc. Graw Hill, 1954), Volumes 1 et 2.

L.M. Brekhovskikh, Waves in layered media (Academic Press, 1980), 2nd edition.