ÉTUDE DE LA TRANSMISSION D'UNE SPHÈRE DE MOUSSE DE POLYURETHANE EN RÉGIME IMPULSIONNEL

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HAL Id: jpa-00230720

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Submitted on 1 Jan 1990

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ÉTUDE DE LA TRANSMISSION D’UNE SPHÈRE DE MOUSSE DE POLYURETHANE EN RÉGIME

IMPULSIONNEL

G. Deprez, R. Hazebrouck, A. Sfaoui

To cite this version:

G. Deprez, R. Hazebrouck, A. Sfaoui. ÉTUDE DE LA TRANSMISSION D’UNE SPHÈRE DE

MOUSSE DE POLYURETHANE EN RÉGIME IMPULSIONNEL. Journal de Physique Colloques,

1990, 51 (C2), pp.C2-411-C2-414. �10.1051/jphyscol:1990297�. �jpa-00230720�

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ETUDE

DE LA TRANSMISSION D'UNE SPHÈRE DE MOUSSE DE POLYURETHANE EN

REGIME

IMPULSIONNEL

G. DEPREZ, R. H A Z E B R O U C K et A. SFAOUI

Laboratoire d'Acoustique, UFR de Physique, Université de Lille 1, F-59655 Villeneuve d'Ascq Cedex, France

Résumé

-

Nous mesurons la réponse acoustique d'une sphère absorbante, en régime impulsionnel, à partir d'une technique expérimentale qui associe filtrage temporel et trans- formée de Fourier rapide. Nous montrons que la pression acoustique au centre de la sphère est la superposition de deux ondes transmises et d'ondes multiples réfléchies ; l'analyse théorique faite suivant le formalisme de Biot, dans le cadre de la théorie modale, nous permet de préciser dans quelle mesure la réponse dépend des deux ondes de dilatation.

Abstract - An experimental technique using time filtering and fast Fourier transform allows us to measure the acoustic response of an absorbing spherical body subjected to a broad band acoustic pulse. We point out that the acoustic pressure at the center of the foam sphere is the superimposition of two transmitted waves and of multireflected waves ; we perform the theoretical analysis using the Biot formalism and by using a modal theory we show how acoustic response depends on two dilatational waves.

1

-

INTRODUCTION

La propagation acoustique dans ce milieu hétérogène, formé de deux phases continues qui s'in- terpénètrent, est décrite dans le cadre de la théorie de Biot /1/ ; elle prend en compte les propriétés viscoélastiques du polyuréthane qui est dans l'état élastomère et les propriétés viscothermiques de l'air. Nous utilisons une onde aérienne impulsive large bande pour exci- ter une sphère taillée dans le matériau étudié ; la réponse, mesurée par un microphone intro- duit au centre de la sphère, permet de mettre en évidence les deux ondes de dilatation de Biot, analysée dans le domaine des fréquences elle nous donne une fonction de transfert fil- trée, couvrant l'intervalle (0,2 ; 20 kHz). La confrontation entre l'étude expérimentale et l'analyse numérique permet de préciser le comportement acoustique du milieu, notamment l'im- portance du couplage fluidelmatrice dans l'absorption.

2

-

CONDITIONS EXPERIMENTALES 121

Une onde sonore sphérique, impulsive, est émise de façon récurrente par la source ponctuelle S placée à la distance ro = 1 mètre. Le microphone placé en O recueille l'onde directe pi (t, O) ou l'onde transmise pT (t, O) - (figure 1) ; compte-tenu de la géométrie de la sal- le, on peut isoler ces signaux à travers une fenêtre temporelle de durée 5 ms. Les spectres sont calculés par TDF à partir des formes d'ondes échantillonnées sur 4 kilopoints à intervalle de 2 ps ; on note :

(1) pi (t, 0-.1 :P = P"' eikro/ro,

PT (t, O) et H (w ) caractérisent la réponse de la sphère étudiée.

3

-

DECOMPOSITION EN SERIES MODALES DES POTENTIELS SCALAIRES EN M (r, 9 1.

Milieu extérieur.

Pour une composante harmonique (exp ( - i w t)), si la source émet l'onde de pression eikR/~, il lui correspond :

( 2 ) y,

,

=

ik ^, ^, ^,

~ ~ = 4 z n + i ) h ~ ~ ) ( k r ~ ) ^m j n ( k r ) ~ n ( ~ o s ~ ) , r < ro et pour l'onde diffractée

(3) y = =

ko

(2n

+

1) hL1) (kr.1 hL" (kr) Bn Pn (cos 91,

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:1990297

(3)

COLLOQUE DE PHYSIQUE

soit pour l'onde totale P = pw2 ( Y i +

Viç) ,

jll (Z), 1 1 ~ 1 ) ( Z ) sont les fonctions de Bessel spliériques de première et de troisième esphce.

Céoniétrie et formes d'otidea : [IirecLe (a). Lraiisi~iises : iiiLerface libre ( I I ) . IiiLeriace occultée (c).

Milieu intérieur ; structure de l'onde.

Les poteiitiels de dêplacement des ondes de dilatation dans la pliase fluide (O) et dans la phase solide ($) s'expriment par combinaisorl de deux potentiels Y+ qui vérifient les équations de

Helmholtz : -

( 4 ) AY,

+

^{k f Y,}= 0 ;

-

les constantes de propagation sont solution d'une équation bicarrée :

O 2 0 2 0 2 0 2

(5) k 4

-

{ k F ( l + * p l p , ) + k M ( l + * p / p , ) } k 2 + k M k F ( l + * p l p , + * p / p 2 ) 2 0 kF : constante de propagation dans le fluide seul

,

: coiistante de propagation dans la matrice seule,

1% 1

>

1

^ki

1

;

sont les masses volumiques du fluide, du solide. de la matrice et du contenu fluide ;

* p = p

+

i b F(w)/w

est un acoefficient qui prend en compte l'entraînement d'une phase par l'autre sous l'effet des forces d'inertie ( P,) et de friction oscillatoire

.

-

les potentiels scalaires s'écrivetit :

( 7 ) r'

"

^(k:^-

-

k ° F ) / (k:-

-

^kM2).

En général l'onde qui se propage dans une phase a une structure composite ; si kt # k-. dalis la réponse temporelle à une excitation impulsive, on peut distinguer les deux coritributions à con- dition que la dispersion ne soit pas trop forte.

Compte-tenu de la symétrie de l'excitation, ( 8 ) Y, = n_o cm jn (k+r) - Pli (COS 8 ) .

L'onde de cisailleme~it n'intervient pas dans le calcul développé ici.

(4)

lnlerface llbre ltderlace llbre

Interface occultée Itilerlace occultée

Flg.2

-

^népotisa~eli friiltrrtices mesurées (A) et calculées (B) : cotitributioii de I'oiide

+

^{! a )}^et

Je l'oiide

-

t b ) . R l'oiide totale (c).

4

-

ONDE TRANSMISE AU CENTRE DE LA SPHERE

- Conditions aux limites (pour le mode d'ordre n = 0).

cas 1

-

L'interface spliérique (r = a) présente la porosité

f3(;

1); on écrit qu'il y a conti- nuité de la cotitrainte iiortnale s'exerçant sur chaque phase, de la composante radiale du dé- placement moyen. En première approximation la déformation du solide est négligeable : ( 9 ) A I $ - O . A$ a A Y -

,

k+* Y +

=

^k

f

' Y - l r = a

cas 2

-

L'interface est couverte par un film sans raideur de masse surfacique ms ; on écrit que la charge normale est supportée conjointement par les deux phases et qu'il y a égalité du déplacement radial dans chaque phase ; en première approximation, en BF, cette égalité s'écrit :

2

(10) (1

-

^{r+) k -}^{Y o -} z (1

-

^r-)k2+ ^Yo+

- La réponse H( w ).

Suivant Biot, la pre,ssion acoustique moyenne est (11) p = -Q V.u +

-

^{R V .}

8

Les coefficients R et Q s'expriment en fonction des modules de compressibilité du solide, de la matrice et du fluide (Kf)/3/ ; ici :

La mesure de p est faite en r = O ; d'après (8) seul le terme II = O subsiste et il vient compte-tenu des relations (11, 6) :

-ikr

(13) H(w) = roe O/(r- - r+) { ( Q

+

Rr-) kf Yo+

-

(Q

+

Rr+) k-Z Yo-

1 .

Approximation : d'après ( 9 ) . dans le cas 1. on peut écrire :

(14) ~ ( w ) e R k + Y jo (k+ a) / (r-

-

r+) {r-/jo (k+ a)

-

r+/jo (k- a)

1 ,

en explicitant les forictions de Bessel, il vient : ik+a

(15) { } =-2ia { k+r-e (1

+

^e2ik+a

+ . .

^.)

-

^k-r+e ik-a

(1

+

^.2ik.-3

+ . .

^{. )}

1 ,

(5)

COLLOQUE DE PHYSIQUE

Fig.3

-

Formes d'ondes calculées pour l'interface libre : onde

+

(a), onde

-

(b), onde totale (c) ; coiirbes de dispersion de vitesses et atténuation.

Cette expression traduit la superposition d'ondes directes ?et d'ondes multiples réflé- chies ; leur effet, à cause de l'atténuation est négligeable pour l'onde

+

en dehors des très basses fréquences où il apparaît suivant (14) que les deux ondes totales contri- buent de façon additive dans le rapport :

-

^r-/r+= P/R des coefficients viscoélastiques de la matrice et du contenu fluide

-

^l'onde

+,

diffusive, est dominante (figure 2).

5

-

ETUDE EXPERIMENTALE : signaux p (t.0) et réponses H(w)

-

(figures 1 et 2) T

Comparés à l'incident, les signaux transmis (cas 1 et 2) révèlent par leur élargissement l'effet d'un milieu à forte dispersion ; dans chaque cas, on peut identifier deux ondes de dilatation (k) suivies de plusieurs répliques qui représentent des ondes multiples réfléchies filtrées (figure 3). La modification des conditions aux limites (cas 2) se traduit par une forte réduction de la transmission TBF et une augmentation de l'atté- nuation au delà de 5 kHz.

-

Les résultats de l'analyse numérique.

On a représenté (figure 3) la célérité c + et l'exposant ak'; qui exprime l'atténuation des ondes dans (15) ; en comparant aux vitesses limites, on-reconnaît que la solution

"+"

présente le caractère d'onde diffusive en BF et le caractère d'onde de matrice en HF;

11-11

,

à l'inverse, présente le caractère d'onde de matrice en BF, et d'onde fluide en HF.

Dans le calcul de fi (13)

-

cas 1

-

(figure 2). nous avons séparé la contribution des deux ondes :

II+II

,

diffusive et majoritaire en BF interfère avec l'onde

"-"

puis s'atténue jusqu'à devenir négligeable ;

"-"

présente trois pics pour k' a q ii

,

q = 1, 2 , 3.

De la même façon, en séparant la contribution des deux ondes dans le calcul par traris- formée de Fourier inverse, on établit (figure 3) que le premier pic se rapporte à l'onde

11-11

,

le second à l'onde

"+"

alors que les ondulations représentent les réflexions multi-

ples de l'onde

"-".

6

-

CONCLUSION

L'étude en spectrométrie impulsionnelle de la transmission d'une sphère de mousse de pol yiiréttiane permet <le caractériser le comportemetit. acoiist i qiie dii matériau, qu' i 1

s'agisse d'une mousse à forte, ou à faible résistivité /4,5/. On vérifie qiie la propagation acoustique est exactement décrite par la théorie de Biot.

REFERENCES

/1/ Biot M.A. J. Acoust. Soc. Amer. 28 (1956) pp 168, 191

/2/ Déprez G.

-

Cliap. XVIII

-

La ~iffusioii ~co&ti~iie - N. Geçpa - Ed. Cedocar 1987 /3/ Biot M.A. et Willis D.G. J. Appl. Mecli. (1957) pp 594, 601

/ 4 / Béprez G.

.

Bassery L., flazebrouck R. Rev. CETfIEDEC

18

(1984) pp 135, 148