Interaction matière-onde évanescente de Fresnel. - III. Diffusion Raman au voisinage d'un dioptre plan

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Submitted on 1 Jan 1975

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Interaction matière-onde évanescente de Fresnel. - III.

Diffusion Raman au voisinage d’un dioptre plan

J.M. Vigoureux, R. Payen

To cite this version:

J.M. Vigoureux, R. Payen. Interaction matière-onde évanescente de Fresnel. - III. Diffusion Raman au voisinage d’un dioptre plan. Journal de Physique, 1975, 36 (12), pp.1327-1340.

�10.1051/jphys:0197500360120132700�. �jpa-00208380�

INTERACTION MATIÈRE-ONDE ÉVANESCENTE DE FRESNEL III. Diffusion Raman

^au

voisinage ^d’un dioptre plan

J. M. VIGOUREUX

(*)

^{et R. PAYEN}

(**)

Faculté des Sciences de

Reims,

^{51062 Reims}

Cedex,

^France

(Reçu

^le

24 juin 1975, accepté

^{le 25 août}

1975)

Résumé. ²⁰¹⁴ Nous étudions la diffusion Raman non résonnante dans le cas d’un atome,

puis

^d’un liquide, placé ^{dans un} champ électromagnétique homogène ^ou évanescent au voisinage ^{d’un dié-} lectrique. Cette étude met en évidence l’excitation possible par ^un mode évanescent et la

possibilité

de diffusion d’un tel mode caractérisé par ^sa direction d’observation, ^{dans le} diélectrique ^{au-delà de} l’angle critique de la réflexion totale. Lorsque l’onde diffusée est homogène ^et observée du côté du

vide, ^on remarque ^une variation sinusoïdale de l’intensité en fonction de la distance Z0 de l’atome

au

dioptre.

Abstract. ²⁰¹⁴ We study ^{the Raman diffusion} by ^{an atom or a} liquid

placed

^{very close to the} plane

interface with a dielectric, ^{in a} homogeneous ^or évanescent electromagnetic ^{field. This} study brings

out the

possibility

^of exciting ^{an atom} by ^an évanescent mode and the

possibility

^of

diffusing

^such

a mode characterized by its direction of observation in the dielectric beyond ^{the critical} angle ^{of total}

reflection. When the diffused wave is homogeneous and observed from the empty

half-space,

^{we then}

notice a sinusoidal variation of the intensity ^{as a} function of the distance Z0 between the ^atom and the interface.

Classification

Physics ^Abstracts

5.235 ^- 8.850 ^- 3.300

1. Introduction. ^- Nous nous proposons

d’étudier,

loin de la

résonance,

^{la diffusion Raman au}

voisinage

d’un

dioptre plan

^{et en}

particulier

dans l’onde éva- nescente de .Fresnel. Ce travail a été effectué en liaison

avec J.

Cipriani,

^{S. Racine et R.}

Dupeyrat (1) qui

^ont

entrepris

^{une étude}

expérimentale

^{de ce}

problème.

Nous utilisons la

quantification

^du

champ

^électro-

magnétique

^en

présence

^d’un

diélectrique, proposée

par C. K.

Carniglia

^{et L. Mandel}

[1] :

les divers modes du

champ électromagnétique

^{sont des modes}

triplets

^{formés d’une}

partie incidente,

^d’une

partie

réfléchie et d’une

partie

transmise éventuellement évanescente. Ce type ^de

décomposition

^{est aisément}

interprétable puisqu’en construisant,

^en les superpo- sant

linéairement,

^un

paquet

^{de tels}

modes,

^{il est}

possible

^{de montrer}

qu’au temps t

^{= - oo} seul existe le paquet d’ondes incident et

qu’au

temps ^{t = + oo}

ce dernier a

disparu

pour

laisser place

^{à un}

paquet

d’ondes réfléchi et éventuellement

(si

la réflexion n’est _pas

totale)

^{à un}

paquet

d’ondes transmis.

La

position

^{de la} source, ou, ^ce

qui

^{revient au}

même,

du paquet ^{d’ondes au}

temps t

^{= - oc détermine}

sans

ambiguïté

^{l’état initial du}

champ

que

C. K.

Carniglia

^{et L. Mandel}

[1] appellent left

^ou

right

selon _{que leur}

partie

^{incidente est dans le}

diélectrique

ou dans le vide. Une telle

description

^du

champ électromagnétique

^{est donc bien}

adaptée

^{à des études}

telles _que

l’absorption (J.

^M.

Vigoureux,

^R.

Payen [2]).

Dans un

phénomène

d’émission ou de

diffusion,

cette

description

^{convient encore} pour l’état final si celui-ci

correspond

^{à une réflexion}

^{totale ;}

^{nous l’avons}

utilisé _pour étudier l’émission _par un électron libre se

déplaçant

^{avec une} vitesse uniforme

parallèlement

et au

voisinage

^d’un

dioptre (J.

^M.

Vigoureux

^et

R.

Payen [3]).

^{Par contre,} si le mode

triplet

^{final ne}

correspond

pas à ^une réflexion

totale,

^la

position

^du

paquet

d’ondes détecté au

temps t

^{= + oo ne}

permet

pas de savoir si le mode émis lors de l’interaction est

un mode

right

^ou

left.

L’état final doit donc être écrit

comme une combinaison linéaire de ces deux modes.

Pour calculer la

probabilité

^{d’avoir une détection}

certaine dans une direction

donnée,

^{nous sommes ainsi} amenés à définir de nouveaux modes

triplets

^inter-

prétables physiquement

^{dans leur branche sortante}

après

l’interaction. Ces

problèmes

^de

description

^de

l’état initial et de l’état final du

champ électromagné- tique

lors d’un processus de diffusion ^sont

exposés

dans le

chapitre

^2.

Nous étudions ensuite l’intensité Raman diffusée dans différentes directions de

l’espace.

^{Une onde}

homogène émise,

^se propageant ^{dans le}

diélectrique

(*) Laborâtoire de Recherches optiques.

(**) Département ^de Mathématiques.

(1) Département de Recherches Physiques, ^L.A. 71, ^Université de Paris VI.

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:0197500360120132700

selon un

angle

d’incidence

supérieur

^à

l’angle critique (Je

^{de la} réflexion totale

(défini

par no sin

0,,

⁼

1), implique

nécessairement _que l’onde diffusée _{par la} molécule

(placée

^{dans le vide au}

voisinage

^{du diélec-}

trique)

^est évanescente. Ce cas fait

l’objet

^du

chapitre 3,

pour les deux types

d’excitation, homogène

^ou

évanescente.

Si l’onde diffusée est

homogène,

^{nous sommes}

conduits à utiliser les nouveaux modes

triplets

pour décrire l’état final du

champ électromagnétique.

^Les

calculs sont

exposés

^au

chapitre

^{4. On notera} que pour

une observation effectuée du côté du

vide,

l’intensité diffusée est une fonction sinusoïdale de la distance _zo du centre diffusant au

dioptre.

Ce résultat peut ^s’inter-

préter

ainsi : le

photon

peut être émis soit directement dans la direction de

détection,

^{soit vers le}

diélectrique

et subir une réflexion. Comme dans

l’expérience

^des

fentes

d’Young

^{à un seul}

photon,

l’interférence est due à l’addition des

amplitudes

^de

probabilité

pour

ces deux directions d’émission

qui

^ne peuvent ^être différenciées.

Dans toute cette

étude,

^{les calculs sont effectués à} l’ordre le

plus

^{bas de manière à mettre en} évidence les

aspects

^les

plus significatifs

de la diffusion au

voisinage

d’un

diélectrique.

^{Afin de}

pouvoir

^{nous contenter}

d’une

description

^du

champ

^{diffusé en termes d’ondes}

planes progressives,

^nous supposons de

plus

que la détection se fait suffisamment loin du

dioptre.

2. Formalisme

général.

^{- 2.1 ETAT INITIAL DU}

CHAMP

ÉLECTROMAGNÉTIQUE.

^- On considère un

dioptre plan séparant l’espace

^{en deux}

demi-espaces,

l’un

vide,

^l’autre

rempli

^d’un

diélectrique

^non

dispersif,

d’indice _no,

homogène, isotrope,

^non

magnétique

^et

transparent.

^On rapporte

l’espace

^{à un} trièdre ortho- normé

Oxyz (Fig. 1)

^{dont le}

plan Oxy

^{constitue la}

surface du

dioptre.

^{L’axe Oz est}

dirigé

^{vers la}

partie

vide. L’atome

interagissant

^{avec le}

champ

^{est situé}

dans le vide à une distance _{zo du}

dioptre.

FIG. 1. ^- Description du référentiel. k est le vecteur d’onde _moyen du paquet d’ondes incident et le repère Oxyz ^{est déterminé en pre-}

nant Oz perpendiculaire ^au dioptre ^et Oy dans la direction de k Il - Nous utiliserons la

décomposition

^du

champ

^élec-

tromagnétique

^{en modes}

triplets proposée

par C. K.

Carniglia

^{et L. Mandel}

[1],

^{et nous} conserverons

les notations de ces auteurs. Ces modes sont dits

left

^ou

right

^selon que l’onde incidente

provient

^du

diélectrique

^{ou du}

demi-espace

vide. C’est dans le cas

du mode

left

que l’onde transmise peut être évanes- cente. Ces modes sont caractérisés _{par le} vecteur d’onde de leur

partie

^incidente

(soit

k pour le mode

left

^{dont la}

partie

^{incidente est dans le}

diélectrique

^et

K pour le mode

right

^{dont la}

partie

^{incidente est dans}

le

vide)

^{et leur}

polarisation s (soit s

⁼ 1 pour ^un mode transverse

électrique (T.E.)

^{et s} = 2 pour ^un mode transverse

magnétique (T.M.)).

Le

champ électrique EL(k, s, r)

^{relatif à un tel mode}

left

^se

décompose

^en

parties incidente,

^{réfléchie et}

transmise

(Fig. 2)

^{définies chacune dans un demi-}

espace :

FIG. 2. ^- Mode triplet left. Illustration des notations utilisées pour les différentes composantes ^{d’un mode} triplet. EL(k, s, r) ^est l’amplitude complexe ^du champ électrique ^et les indices supérieurs I, R, T, désignent respectivement ^les parties

incidente,

^{réfléchie et}

transmise. Le vecteur d’onde est noté K dans le vide, k dans le

diélectrique. Dl ^et D2 ^sont les directions de détection considérées

au paragraphe ^2.2.

(2.1)

dont les vecteurs

d’onde,

^notés

respectivement k, k’

et K ont pour module :

Pour ^{le vecteur K} dont l’une des composantes ^est

complexe

^{si l’onde est}

évanescente,

le module carré est défini _par K.K et non K . K *

puisque

^c’est

l’expression Ki + K22 + K32 qui

intervient dans

l’équation

^d’onde.

Notons

k la composante

^{de k}

parallèle

^au

dioptre

^{et 0}

l’angle

d’incidence défini _{par k} et Oz

(Fig. 1),

^{on a :}

Si

0,

^est

l’angle critique

^{de la} réflexion totale défini par no sin

0,,

⁼

^1,

^la

partie

^{transmise du mode est}

homogène

^ou évanescente selon que 0

0c

^ou

0

> 0,,,

^{et l’on a :}

Le

champ électrique FR(K,

^s,

r)

^{relatif à un mode}

right

^se

décompose

^{de même en trois}

parties ^incidente,

réfléchie et transmise

(Fig. 3)

(2.0)

Les vecteurs d’onde

qui

interviennent dans leur

développement

^{sont notés} K pour la

partie ^incidente,

KR _{pour la}

partie réfléchie,

k pour la

partie

^transmise.

FIG. 3. ^- Mode triplet right. ^{Les notations sont} analogues ^{à celles} de la figure ^2.

Nous noterons

F,’ (s), EL(s), EL(s)

^et

Ek(s), ERR(s), FTR(s)

les vecteurs de

polarisation

^{des trois}

parties ^incidente,

réfléchie et transmise

(indice supérieur I, R, T)

^des

modes

left

^et

right (indice

^{inférieur L ou}

R).

Dans le cas T.E.

(s

⁼

1)

^et pour chacun des modes

left

^ou

right,

^{les vecteurs de}

polarisation correspondant

à ces trois

parties

^sont

égaux

^{à un vecteur unitaire}

perpendiculaire

^au

plan

d’incidence _que nous noterons E1.

Dans le cas T.M.

(s

⁼

2)

^{chacun de ces six vecteurs}

est défini _par

(El

^A

K)/(K.K)1/2

^{où K est le vecteur}

d’onde éventuellement

complexe

^{de la}

partie

^corres-

pondante.

D’après (2.5) ETL(2)

^est

complexe

^{dans le cas d’un}

mode évanescent. Son module est alors

supérieur

^à

l’unité et vaut

A

l’exception

^{de ce cas}

précis,

^{le module de tous les}

vecteurs de

polarisation

^est

égal

à 1. Pour

simplifier

les

expressions

que nous aurons à

utiliser

par la suite

nous introduisons les notations suivantes où L et R

correspondent

^à

left

^et

right,

i, r, t, à

partie incidente, partie réfléchie

^et

partie

^{transmise et où s = 1 ou 2 :}

Avec ces notations les

parties incidente,

^{réfléchie et} transmise de la

décomposition

^{de C. K.}

Carniglia

^et

L. Mandel

[1]

^du

champ électromagnétique,

^au

point

r -

(x,

y,

z)

s’écriront _pour un mode

left :

En notant

û(k, s)

^et

û+(k, s)

^les

opérateurs

d’annihila- tion et de création du mode

left (k, s), v(K, s)

^et

v+(K, s)

les

opérateurs

d’annihilation et de création du mode

right (K, s),

^le

potentiel

^vecteur

indépendant

^du temps s’écrit dans le

système

d’unités M.K.S.A. :

Les seules relations de commutation non nulles sont :

On supposera que le

champ électromagnétique

^est

initialement dans un état

O;

^{à un seul}

photon repré-

senté _par un paquet ^{de modes}

triplets left (k, s)

^dont

le vecteur d’onde incident moyen

k,

situé dans le

plan Oyz, pointe

^{dans un} volume élémentaire G de

l’espace

^{des vecteurs d’onde. Dans la} limite de nos

calculs effectués à l’ordre le

plus bas,

il suffit de consi- dérer un

paquet

^{d’onde de la forme}

où

0.

^est l’état vide du

champ

^{et où}

G; désigne

^{à la}

fois le domaine élémentaire de

l’espace

^{des k et son}

volume. Le facteur constant a été choisi de manière à obtenir

01* Oi

^{= 1.}

Pour

simplifier

l’écriture et rendre

plus

^évidente

l’analogie

^{de nos calculs avec ceux de la} diffusion dans

un

champ libre,

^nous introduisons les notations :

ainsi

et l’on a :

2. 2 ETAT FINAL DU CHAMP

ÉLECTROMAGNÉTIQUE. -

Le

type left

^ou

right

^du

champ électromagnétique

^est

déterminé sans

ambiguïté

par la

position

^{de la source}

dans le

demi-espace

^{z 0 ou z} > 0. Une telle décom-

position

^du

champ

^en modes de C. K.

Carniglia

^et

L. Mandel

(que

^nous

désignerons

dans la suite _par modes de type

C.M.)

^{est donc bien}

adaptée

^{à la des-}

cription

de l’état initial du

champ.

^{Il n’en est} pas

toujours

^{de même}

lorsqu’il s’agit

de décrire son état final. Si l’on considère par

exemple

^une

expérience

de diffusion par ^{un atome}

placé

^{en A}

(Fig. 4),

^ce

qui

est détecté avec une

polarisation déterminée s

dans la direction

Dl (ou

dans la direction

D2 lorsque l’angle

^{0 de}

D2

^{avec Oz est} inférieur à

l’angle critique 0J peut

aussi bien

correspondre

^{à un mode}

left qu’à

^{un mode}

right,

^{tous deux de}

polarisation

^s.

L’état final doit donc être un

paquet

^{de nouveaux} modes

qui

^sont des combinaisons linéaires à coeffi- cients

complexes

^{d’un mode}

left

^{et d’un mode}

right :

Fm. 4. ^- Superposition de deux modes triplets k, s, r ) et K, .s, ^r ), de même plan d’incidence, ^{de même} polarisation, ^tels que

k

= ^K jj,

1 k = no K 1, ^ce qui nécessite 0 0,,. ^{Chacun de ces deux modes}

conduit à une détection dans la direction D1 ^{ou dans la direction} D2.

Nous avons indiqués ^{les vecteurs} £2 ^et Ez ^{utilisés au} chapitre ^4.

K et k étant associés de sorte

que k

⁼

no K 1,

Kii

II ⁼

kll*

^A

l’expression (2.18) correspond l’ampli-

tude

complexe

^du

champ électrique

qui,

^si l’on utilise les

décompositions (2.1)

^et

(2.6), comporte

quatre branches faisant intervenir les vec- teurs d’onde

k, kR, K,

^{KR où KR est} à la fois le réfléchi de K et le transmis de

k,

tandis _que kR est le réfléchi de k et le transmis de K

(Fig. 4).

^{Deux de ces}

quatre

branches sont des branches sortantes,

c’est-à-dire, correspondent

à des ondes

planes progressives

^s’éloi-

gnant de l’interface du

dioptre, respectivement

^dans

les directions

Dl

^et

D2.

Parmi toutes ces combinaisons

linéaires,

^{il est natu-} rel de considérer les deux combinaisons linéaires

particulières

FIG. 5. ^- Nouveau mode triplet il(K, s, r), correspondant ^{à une}

détection dans la direction D1. ^{Seule la branche sortante du} mode, de vecteur d’onde K’, qui intervient après ^sa création, ^{a été} indiquée

en trait plein.

-

FIG. 6. ^- Nouveau mode tripiet ’È2(k, s, r), correspondant ^{à une}

détection dans la direction D2. Seule la branche sortante du mode, de vecteur d’onde k’, qui intervient après ^sa création, ^{a été} indiquée

en trait plein.

où les

coefficients av

^et

by (v

⁼

1, 2)

^{sont déterminés}

de manière _{que la} branche sortante de

&1

^{dans la}

direction

D2

^et que la branche sortante de’

82

^dans

la direction

Dl,

soient nulles

(Fig.

^{5 et}

6).

Ce

qui,

compte ^{tenu de}

(2. 9)

^et

(2. 10),

^{s’écrit :}

En outre, ^nous

imposerons

^des conditions de nor-

malisation, qui

^seront

justifiées

^{dans la}

suite,

^de

l’amplitude complexe

des branches sortantes non

nulles de

81

^et

&2 :

v -

Il résulte des relations

(2. 8)

que pour ^tout

couple

de vecteurs

K,

^{k associés de manière} que

K,,

⁼

k"

^et

k = no 1 K 1, on a

Les solutions des

systèmes ((2.21), (2 . 23))

^et

((2 . 22), (2 . 24))

^sont

^donc,

^{en utilisant cette relation :}

Or,

^{en utilisant les relations}

d’orthogonalité

^de

C. K.

Carniglia

^{et L. Mandel}

(n(r) désignant

^{la fonc-}

tion valant 1 dans le vide et no dans le

diélectrique) :

on obtient _pour les fonctions

&1 (K, s, r)

^et

&2(k, s, r)

les mêmes relations

d’orthogonalité

que les relations

précédentes.

^En

effet,

^notons

a’

^et

b’1

les coefficients

qui

interviennent dans le mode

li (K’, s’, r),

^{on a :}

On démontre de même

l’analogue

des relations

(2.27)

et

(2.29).

^C’est pour

obtenir,

^{avec les nouveaux}

modes

triplets,

^{les mêmes} coefficients de normalisation

(2 n)3/2

que ^ceux

figurant

^aux seconds membres de

(2.27)

^et

(2.28),

pour les modes de

type C.M.,

que les valeurs

(2. 23)

^et

(2.24)

^{des branches sortantes}

ont été

respectivement ^choisies égales

^à

1 /2

^et

1/J2

^no.

Jusqu’ici

^{nous avons}

supposé

que la direction d’observation

D2 (Fig. 4)

^{faisait avec la}

perpendicu-

laire au

dioptre

^un

angle

0 inférieur à

l’angle

^d’inci-

dence

critique (Jc.

^{Si cet}

angle

^{(J 1 est}

supérieur

^à

0,,:,

le mode de

type

^{C.M. diffusé ne}

peut

^être

qu’un

^mode

left comportant

^une

partie

^transmise évanescente.

Un tel mode peut ^{donc être}

gardé

pour décrire l’état final et il est

orthogonal

^{à tous les nouveaux modes}

que ^{nous venons} d’introduire

puisque

ces nouveaux

modes sont des combinaisons linéaires de deux modes de

type

^{C.M. non} évanescents donc

orthogonaux

^à

tout mode

évanescent, d’après (2.27)

^et

(2.29).

Ce

qui précède s’applique également

^aux

ampli-

tudes

complexes

^du

champ magnétique,

^{en utilisant}

les mêmes

coefficients av

^et

bv,

^{et l’on} obtient pour les

nouveaux modes les mêmes relations

d’orthogonalité

des

amplitudes complexes

^du

champ magnétique

que C. K.

Carniglia

^{et L. Mandel.}

Le

champ qui, jusqu’ici,

^était

décomposé

^{en modes}

triplets orthogonaux

^du type

C.M., peut donc,

^{de la}

même

manière,

^être

décomposé

^{en nouveaux modes}

triplets représentés

^{sur les}

figures

^{5 et 6. Dans le cas}

de modes

comportant

^une

partie

évanescente les deux

types

de modes coïncident.

Il est intéressant de remarquer que ^ces nouveau modes

triplets

^{sont ceux} que l’on aurait obtenus

en

opérant

^une inversion du

temps

^{sur les modes de} type ^C.M.

représentés

^{sur les}

figures

^{2 et}

3,

c’est-à-dire

en y inversant le sens des flèches tout en conservant à chacune des branches la même

amplitude.

^{Ils ne}

doivent être

interprétés physiquement

que dans leur branche sortante

après

interaction ce

qui correspond

à la rétrodiction

statistique aveugle

^{au sens de}

Fock,

Wanatabe ^et 0. Costa de

Beauregard [4].

Les nouveaux modes

triplets

peuvent être caracté- risés par le vecteur d’onde de la

partie

^{sortante. En}

conservant les notations

précédentes,

^{ce vecteur}

d’onde est KR _pour un nouveau mode sortant dans le vide

(Fig. 5),

^kR pour un nouveau mode sortant dans le

diélectrique (Fig. 6).

^Posons

B..,.,J-I..j

Les relations

d’orthogonalité

s’écrivent ^-

(2. 32)

Ces relations permettent ^de décrire l’état final

ef

f

du

champ

^{à un}

photon,

^à l’aide des nouveaux modes

triplets,

de manière tout à fait

analogue

^à

(2.17),

en posant, ^{si la détection se fait dans le vide}

ou, si la détection se fait dans le

diélectrique :

2. 3 ETUDE GÉNÉRALE DE LA DIFFUSION. ^- Dans cet

article nous étudions la diffusion Raman d’un atome

ou d’une molécule

placé

dans le vide au

voisinage

^du

diélectrique lorsque

le faisceau

excitateur,

^{venant du} milieu d’indice _no, est décrit par ^un mode

left

^de

type

C.M. éventuellement

évanescent,

^de

pulsation

^coi.

Soient a > et b >

l’état initial et l’état final du

système diffusant, Ea

^et

Eb

^les

énergies respectives

^de

ces états. Nous

noterons i >

l’état initial du

système global champ-particule

^et

f »

^son état final.

Nous nous

placerons

loin de la

résonance,

c’est-à-dire à des

fréquences

^telles que

Ea

⁺

hcoi

^ne

corresponde

à aucun niveau

d’énergie

^du

système

^diffusant.

Nous utiliserons le formalisme de la résolvante

avec les notations usuelles : V est le hamiltonien

d’interaction, JCo

le hamiltonien du

système ^libre,

H =

Jeo + V, Pl

^{est le}

projecteur

^sur l’état initial

1 i >, QI

^{= 1}

-Plet

Les calculs étant effectués à l’ordre le

plus bas,

on peut ^{faire je =}

JCo

^dans

l’expression

ci-dessus de

R(z).

^La

probabilité

par unité de temps pour

qu’un photon

^décrit par

(2.17)

soit diffusé en un

photon

décrit _par

(2.33)

^ou

(2.33 bis)

^{est, en} posant Wba ⁼

(Eb - Ea)11i et en

^{notant Wc la}

pulsation

^du

photon

^{final :}

Si l’on observe du côté du

diélectrique (direction D2, Fig. 6), Gf s’écrit,

^{en notant}

dQr l’angle

solide élé- mentaire :

En

reportant

^cette

expression

^dans

(2.35)

^{et en inté-} grant ^selon cvf ^on obtient la

probabilité

de diffusion dans

l’angle

^solide

dQf :

où,

^dans

l’expression de « ^{f Il R(Ei)} i > /2,

^,

Si l’on observe du côté du vide

(direction D1, Fig. 5),

3. Etude de la diffusion Raman dans le cas où l’onde diffusée est évanescente. ^- Nous étudions la diffusion Raman loin de la résonance d’abord _par un seul centre diffusant

puis

par ^un

liquide.

Nous nous limitons dans ce

chapitre

^{au cas où}

l’onde diffusée est évanescente et donc observable du côté du

diélectrique

^{dans une direction}

D2

^faisant

avec l’axe Oz un

angle

⁰

supérieur

^à

l’angle critique (Jc.

Les calculs _y sont en effet

plus simples,

^en

particulier

parce que le ^nouveau mode

triplet

^{décrivant l’état}

final du

champ

^se réduit alors à un mode

left

^du type C.M.

Compte

^{tenu de cette} remarque, l’état final du

système

^dans

lequel

^{l’atome est dans}

l’état b >

s’écrit

simplement

^{sous la} forme d’un

paquet

^de modes

triplets

^du type

L’état initial du

champ

^{sera un} paquet ^{de modes}

left

du type

ce

qui permettra

d’étudier simultanément les deux

possibilités

d’excitation _par une onde évanescente

ou par ^une onde

homogène

provenant ^du

diélectrique.

3.1 CALCUL DE « f

I R(Ei) 1 i).

PROBABILITÉ

PAR UNITÉ DE TEMPS. ^- On calcule « f

R(E;) i >

pour (Df ^d Wi ⁺ coab ^en considérant tous les états intermédiaires à 0 ou 2

photons.

^{En utilisant}

(2.34)

on a, ^en notant r les états

atomiques intermédiaires, Er

^leur

énergie

^{et en} effectuant les calculs à l’ordre le

plus

^{bas :}

Dans l’étude de l’efi’et Raman où l’état final de l’atome est différent

de l’état initial,

le hamiltonien d’inter- action V se réduit au seul terme :

où

A(rJ

^{est le}

potentiel

^{vecteur défini par}

^(2.11).

^Le

^système

diffusant étant situé dans le

vide,

^{seule la}

partie

transmise

tl(k, s, r),

^donnée par

(2.9),

^du

champ électrique

intervient dans

l’expression (2.11)

^du

potentiel

vecteur. V s’écrit donc :

Puisque E;

⁼

Ea + h wi = Ef

⁼

Eb

⁺

nWr,

nous aurons avec la notation usuelle _Wbr ⁼

(Eb - E,)Ih :

L’opérateur

^{V ne} faisant intervenir

qu’un opérateur

^{de création ou}

d’annihilation, l’expression (3.1)

^se

simplifie

et s’écrit

Pour calculer les éléments de matrice intervenant dans

(3.5)

^{on se}

place

^dans

l’approximation dipolaire

^{où l’on}

néglige

^la

position

des électrons _par

rapport

^{au centre} de l’atome situé à la distance _z. du

dioptre.

^{Il reste alors}

un facteur

exp(jK3 z.)

dont le module est différent de l’unité

lorsque K3

⁼

jK3

^est

complexe

^{et vaut alors}

exp( - K3 zo). Compte

^{tenu de}

on a, ^en utilisant

l’expression (3.3)

du hamiltonien d’interaction

Notant D le moment

dipolaire électrique

^et

ET (au

^{lieu de}

tl(s¡))

^la

polarisation

^{de la}

partie

transmise du mode

incident,

^{on a :}

En prenant ^le

complexe conjugué

^{et en} permutant ^{b et} r, ^{on en}

déduit,

^en

soulignant

que

ET

peut éventuellement être

complexe :

En

reportant

^{ces deux} dernières relations dans le

développement (3.5)

^{on obtient :}

Soient el, e2, e3 les vecteurs unitaires du trièdre de référence ^et

les composantes ^{du tenseur de}

polarisabilité â

^du

système

diffusant. En utilisant la transformation

algébrique

l’expression (3 .10)

^{devient :}

En

portant

^cette

expression

^dans

(2. 37),

^{on obtient la}

probabilité

de transition _par unité de

temps lorsque

^le

vecteur d’onde incident

appartient

^{à un} volume élémentaire

G;

^de

l’espace

^{des vecteurs d’onde. Dans ce}

chapitre Kf3

⁼

jKf3

^est

complexe

^tandis que

Ki3

peut ^{être réel ou}

complexe.

^{On a donc}

3.2 INTENSITÉ DIFFUSÉE. ^- Pour obtenir l’intensité diffusée dans le cas d’un seul centre

diffusant,

^{il suffit} de

multiplier (3.14)

par

l’énergie hcof

du mode diffusé et par le nombre ^N de

photons

incidents :

Comme on le fait

habituellement,

^nous

exprimerons

^cette

grandeur

^en fonction du flux

d’énergie

^incident

Io.

Pour calculer

Io

^nous utiliserons

l’opérateur

densité de

photons

par unité de volume

V+(r) P(r)

^défini par L. Mandel

[5]. L’expression

^de

e(r)

dans le formalisme des modes

triplets

^a été donnée _par C. K.

Camiglia

^et

L. Mandel

[1] ]

La densité de

photons

^{incidents est la valeur} moyenne

f/J* P’(r) V(r) f/J

^{de cet}

opérateur

^sur l’état initial

Oi,

soit

puisque

^le

champ

^{est dans un état}

left

^{et le} faisceau incident dans le

diélectrique :

En utilisant

l’expression (2.13) de Pi

^{et en notant}

1 Gi(k)

la fonction indicatrice de

G;,

^{on a :}

En

reportant

^cette

expression

^dans

(3.17) après

y avoir

remplacé FL(k, s, r)

par la valeur

EL(k, s, r)

^{de la}

branche incidente donnée par

(2.9),

^{nous obtenons}

puisque iL(k, s)

⁼

1/J2

^no

et 1 èl(si) 12

^{= 1}

Connaissant la densité de

photons

^incidents

(3.19),

^{le flux}

Io

^{cherché sera obtenu en}

multipliant

^cette

grandeur

par la vitesse de _groupe

clno

de l’onde dans le

diélectrique,

par

l’énergie hwi

^{du mode incident et} par le nombre N de

photons

^incidents.

L’expression (3.15)

s’écrit ainsi en fonction de

Io :

Lorsque

^{l’on fait tendre} no ^vers

1,

^les

coefficients tL

^{tendent vers}

I/J2

^{et l’on retrouve bien}

l’expression

de l’intensité diffusée dans un

champ

^libre.

Supposons

^{connues les} composantes rxpa ^{du tenseur de}

polarisabilité

dans le trièdre de référence

Oxyz

décrit sur la

figure

^{1 où le}

plan Oyz

^{est le}

plan

d’incidence du mode initial. Il nous suffit _pour calculer

(3.21) d’expliciter

^les

composantes

^{des vecteurs de}

polarisation ET

^et

Ef : notons § l’angle

^du

plan

d’incidence du faisceau diffusé avec le

plan Oyz, Oi

^et

0f

^les

angles aigus

que

font,

^avec la normale au

dioptre,

la direction du faisceau excitateur

(c’est-à-dire

^la branche incidente du mode

triplet initial)

^et la direction du faisceau détecté

(c’est-à-dire

la branche réfléchie du mode

triplet final).

Posons

Le calcul des intensités des raies stokes

(Wab 0)

^et anti-stokes

(Wab

>

0)

^se

poursuit

^à

partir

^de

(3.21)

comme dans le cas d’un

champ

^libre.

3.3 INTENSITÉ DIFFUSÉE. CAS D’UN LIQUIDE. ^- Dans ce

paragraphe

^{où nous} étudions le cas d’un

liquide

il est

nécessaire,

pour calculer l’intensité totale

diffusée,

de considérer toutes les orientations

possibles

^des

systèmes

diffusants. Comme il est habituel de la

faire,

^{nous traitons}

classiquement

les rotations et considérons donc les

systèmes

diffusants librement orientés dans

l’espace.

^{Il est}

préférable

pour cela d’utiliser les compo- santes standards de

l’opérateur

vectoriel D :

Ces composantes

Dq ^(q

^{= +,}

^{0, -)}

^{sont définies dans le}

repère

^fixe

Oxyz,

^et l’on passe ^aux

composantes

DQ ^(Q

^{= +,}

^{0, -)}

^{liées à la}

^particule

^{par une rotation}

R(a, fl, y)

^définie par ^ses

angles

^{d’Euler a,}

fl,

^{y :}

Si l’on introduit les composantes ^standards

8f, e?",

_aqq,, ^{des vecteurs de}

polarisation

^{et du tenseur de}

polari- sabilité, l’expression Ef * . â . E;

que ^{nous noterons} C, intervenant dans

(3.21),

^{s’écrit :}

En utilisant la formule de réduction des matrices Ri

Nous avons à

prendre

^{la moyenne}

de 1 C, l’

^{sur toutes} les rotations

possibles.

^{Le calcul} utilisé habituellement dans l’étude de la diffusion dans un

champ

^{libre nous conduit en} posant

et

à

l’expression

cherchée de la valeur _moyenne

de ) e [

D’où la valeur _moyenne de l’intensité diffusée _par un seul centre diffusant :

L’intensité diffusée _par un

liquide,

que ^{nous notons}

d3(s)IdQf,

^{s’obtient en}

intégrant (3.33)

^{sur toute}

l’épaisseur

de la couche diffusante. Les valeurs de

K i3

^et

Kf3

^{étant données par}

^(2.4)

^et

^(2.5),

^{et d}

^désignant

^{le nombre}

de

particules

diffusantes dans une couche

d’épaisseur ^unité,

^nous obtenons si la

partie

transmise du mode incident est

homogène :

et, si ^la

partie

^{transmise du} mode incident est évanescente :

Dans ces trois dernières

expressions,

les valeurs calculées selon

(3.30)

^de

Ao, A1 et A2

s’écrivent en fonction des valeurs

(3. 23)

^de

Er

^et

Ef

elles diffèrent des relations habituellement trouvées dans l’étude de la diffusion dans un

champ

^libre par la

possibilité

pour

ET

^et

ëf

d’être éventuellement

complexes

^{et de module}

supérieur

^{à l’unité.}

4. Diffusion Raman dans le cas où l’onde diffusée est

homogène.

^{- Dans ce}

paragraphe

^{nous étudions}

la diffusion

Raman,

^{loin de la}

résonance,

l’état initial du

champ

^{étant encore un mode}

left k, s >, homogène

^ou

évanescent,

^mais l’onde diffusée étant

homogène.

^Dans l’état final du

système,

^noté

Il f », (l’indice

^{v valant 1}

s’il

s’agit

^{d’un mode sortant dans le vide}

(Fig. 5),

^{et valant 2 s’il}

s’agit

^{d’un mode sortant dans le}

diélectrique (Fig. 6)),

^{l’atome est} dans l’état

b,

^{et le}

champ

^dans un nouveau mode

triplet

^{décrit au}

paragraphe

^{2.2. Nous}

effectuerons les calculs dans le formalisme de C. K.

Carniglia

^{et L. Mandel.}

Chaque

^{nouveau mode}

triplet

s’écrit donc comme combinaison linéaire d’un mode

left k, s >

^{et d’un mode}

right K, s >,

^{de même}

polarisation,

k et K étant associés de manière _que

k il = KI 1 et 1 k 1 = n . 1 K ^{(Fig. 4,}

^{5 et}

^6),

^soit

L’état final étant

homogène,

^les coefficients

a,(s)

^et

bv(s)

^{sont réels.}

4.1 CALCUL DE L’ÉLÉMENT DE MATRICE «

f Il R(Ei) 1 w.

^{- Le calcul est}

identique

^{à celui du}

chapitre

³

et, compte ^{tenu de}

(4.1), l’analogue

^de

(3.5)

^{est :}

Dans cette

expression

interviennent les éléments de matrice

(3. 8)

^et

(3. 9)

ainsi que

Notons

respectivement Es et £§

^{les vecteurs de}

polarisation èR(s) et RR(s)

^des

parties

^{incidente et} réfléchie du mode

right,

^et

représentés

^{dans le cas où s = 2 sur la}

figure

^{4. Dans le}

demi-espace

^z > 0 où se trouve le

système diffusant,

^on a, ^en faisant

l’approximation dipolaire,

^et

K3 désignant

^{la 3e}

composante

^{du vecteur K} caractérisant le mode

right :

On en déduit

puisque

^les coefficients

iR, rR

^{et les vecteurs} Es ^et

Es

sont ici réels :

Au facteur

av(s) près,

^{les deux}

premiers

^{termes de}

(4. 2)

^sont

identiques

^à

(3. 5)

^et conduisent à

l’expres-

sion

(3. 10) qui

constituera le 1 er terme de

(4. 5)

^en

transposant

les notations de la manière suivante : le vecteur de

polarisation Ef

^{et la}

composante Kf3

^{relatifs à la}

partie

transmise du mode

left

^{sont ici}

Es

^{et -}

K3.

^{On notera}

de

plus

que, dans ^ce

chapitre,

^{le mode} diffusé étant

homogène,

^le coefficient

tL(k, s) qui

^{lui est associé est réel.}

En

effectuant,

^{en outre, sur les deux derniers termes de}

(4.2)

des calculs

analogues

^{à ceux}

qui

conduisent de

(3 . 5)

^à

(3 .10),

^{on a :}

Cette

expression

^se

simplifie puisque d’après (2.23)

^et

(2.22),

r 1 1

et que

d’après (2.8),

En utilisant en outre

l’égalité (3.12)

^on a, pour ^{v =} 1

’:

et, pour ^{v =} 2 :

4.2 INTENSITÉ DIFFUSÉE DANS LE

DIÉLECTRIQUE.

^{- 4.2.1} Cas d’un seul centre

diffusant.

^-

Lorsque

^l’on

détecte le faisceau diffusé dans le

diélectrique (direction D2, v

⁼

2)

^la

probabilité

de diffusion _{par unité} de

temps

^donnée par

(2.37)

^{s’écrit en utilisant}

(4.7)

^et

l’expression (2.26)

^de

b2(s)

dans

laquelle tL(k, s)

^{est le} coefficient de transmission du mode

left

intervenant dans le nouveau mode final :

Oll _{Wf = Wi} + 0).b’

Comme dans le

paragraphe ^3.2,

^on obtient l’intensité diffusée

I2(s) (l’indice

²

puisque

^{ici v =}

2,

^{l’indice s}

pour la

polarisation

^{T.E. ou}

T.M.)

^en fonction du flux

d’énergie Io

^donné par

(3.20) :

La valeur

explicite

^de

(4.9)

^{s’obtient en}

remplaçant ET

^et Es par leurs

composantes

^{dans le}

repère

^{de la}

figure

^{1 :}

ET

^{est donnée} par

(3.23)

^et Es s’écrit avec les notations du

paragraphe

^{3 . 2 :}