Optimisation intelligente sous contraintes des commandes PID floues de type1 et de type2: application au quadrirotor.

1

I I

I I I I I I I I

1 1

I

1 1 1 1

I I I

Remerciements

REHERCIEMZH«

£evrïuipouwiimpeu±verirqucdehgfiâce&Œe.bbtowtŒrissam±...

Je commence domc à b flemercier po:im h smti, ûi whnSé, h pœsùnœ

et roidè qu'i[m'a doqmé.

Jetiei.ségabmeniàexprù"?rmapno!ftndègmkùudeàmmeiecad;mewr

M.Œou6erta;ü g{amid, qri m'a pflposé h swüe± dè ce mémoime et qri a ârigé moin ma;qia;i[ a;wc um gmmde ctiriqyame. Sa cuawn scicrïti!f iqLc, soin erigeme, sa

pfiésence, sa gmtimsse ei sa; rigueur om été pCw que 6ù!mn;w

J'aÆmessemesre'inmciemem;tiàMbpési&n±dujwvetMSbsmem6fiesdèjuvquÀ m±accqftésexgrimret&jwercemémriæenC"ia;pp"iœrti&rim±éfflêt.

Je æmercie rensem6G &s enseignamti &u &partemn± 8wkomat4w ; qiri orm:±

coqtiri6ué à ma,fiomariomÈ pendam ces dèux:amées

Je tim wm gramdphistr à ma fiœriæ powT som œiti et je spéci!fie mes chers pœmts powburœidbetburpœtime

Œi à tow mesfièmes et ines sœurs. . .

Sa"ou6Ger&nemmzcieicGaftweusetnesi±Mfl.Œou6&éiræflmina...

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Dédicace

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voir dèq^erir ce qw je suis, merti : flLmoncfimpœpafl6&"u",etàmachèfiemammMa&4g

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1 1

I I I I I

Tables des mœtières

lntroduction générale ... 1

Chapitre I Commande floue type 1 et type2 I.1 Introduction ... 4

I.2 Commande floue tyiæ-1 ... 4

l.2. l Fuzzification ... 5

I.2.2 Bases de règles ... 6

I.2.3 Inférences ... 7

I.2.4 Défiizification ... 8

I.3 Commande floue type2 ... 9

I. 3.1 Fuzzification ... 11

I.3.2 Base de règles ... 11

I.3.3 Inférences ... 11

I.3.4 Réduction de type ... 12

I.3.5 Algorithme de Kamik Mendel ... 13

I.3.6Défuzzification...15

I.4 Synthèse des correcteurs flous ... „ ... 18

I.5 Conclusion ... 19

Chapitre 11 0ptimisœtion intelligente par PSO et CSA II.1 Introduction ... 20

II.2 0ptimisation par essaim de particule ... 20

II.2.1 Principe ... „ ... 21

I

1 1

I I I

1 1

I I

1 1

I

I I I I I I I I

II.2.2 Formalisation ... 22

II.2.3 Algorithme pso ... 22

II.2.4 Paramètres de conception du pso ... 23

II.3 Algorithme de la recherche coucou ... 25

II.3.1 Principe ... 25

11.3.2 Vole de Levy ... 26

II.3.3 Algorithme de la recherche coucou ... 27

II.3.4 Description de l'algorithme ... 28

II.4 Conclusion ... 30

Chq[pïtre 111 0ptimisœtion sous contraintes par PSO et CSA de la commande PID floue de type 1 et de type 2 : Application au quadrirotor III.l lntroduction ... 31

III.2 Quadrirotor ... 31

III.2.1 Mouvements du quadrirotor ... 32

III.3 Modèle dynamique du quadrirotor ... ~ ... 34

III.4 Commande pD floue d'un Quadrirotor ... 36

III.4. l position du problème ... 36

III.4.2 Structure des régulateurs pD flous ... 37

111.5 Position du problème d'optimisation sous contraintes de la commande PD floue du quadrirotor...„... 39 III.5. l caractéristiques des paramétriques à optimiser ... 39

1 1 1

I I I I I I I I I I I I I I I I I I

III.5.2 Fonction objective ... 41

III.5.3 Contraintes du problème d'optimisation ... 41

III.6 0ptimisation par pso de la commande pD flou type l et t)pe 2 du quadrirotor ... 42

III.6. l Algorithme ... 42

III.6.2 0ptimisation de la commande avec tolérance de la saturation ... 42

III.6.2.1 Simulation ... 43

III.6.3 0ptimisation de la commande sans tolérance de la saturation ... 54

III.6.3. l simulation ... 54

Résultats de simulations ... 54

63 111.7 0ptimisation par CSA de la commande PD flou type 1 et t)pe 2 du quadrirotor ... III.7.1 Algorithme ... 63

III.7.2 0ptimisation de la commande avec tolérance de la saturation ... 64

III.7.2.1 Simulation ... 64

III.7.3 0ptimisation de la commande sans tolérance de la satuation ... 74

III.7.3.1 Simulations ... 7S III.8 Conclusion ... „ ... „ ... 85

Conc]usion généra]e ... 87

Bibliographie

1

I I I

1 1

I I I I I I I I I I

1 1

I I I

LISTE

DES

HŒURES

I I I

1 1

I I I I I I I I I I I I I I I I

Liste des figures

Chapitre 1

1.1 Schémabloc d'un contrôleur flou detype-1 ... 04

1.2 Fomes usuelles des fonctions d'appartenance ... 06

13 Exemple d'`mensemble flouType-2 Intervalle ... 10

1.4 Schémabloc d'uncontrôleurflou detype-1 ... 10

1.5 Illustrationdes points d'échanges encalculantyl et yr ... 16

1.6 Structure d'un pIF ... 17

1.7 Structure d'unpDF ... 18

LS ConecteurfloudetypepIDF ... „ ... 18

Chapitre 11 ILI Principe de déplacement des particules H.2 0rganigramme de l'algorithme pso ... 23

n3 Voisinagedes particules ... 24

H.4 Un œuf de coucou dans un nid d'accenteur mouchet ... 25

H.5 Exemple de l000 pas par lesvols de Lévy en2 dimensions ... 27

H.6 0rganigramme de l'algorithme cs ... 29

Chapitre 111 111.1 Quadrirotor ... 32

m2 nlustration dumouvementde lacet ... 33

m3 Illustration du mouvement de roulis ... 33

111.4 Illustration du mouvement de tangage ... 33

m5 Illustration du mouvement vertical ... 34

m6 Structure de commande pD flou du quadrirotor ... 36

1

I I I I

1 1

I I

1 1 1 1 1 1 1

I I I I I

111.9

m.10

m.ll

m.12 m.13

111.14

IH.15

TT[.16

m.17 m.18

m.22 m.23

111.24

ITI.25

IIL26

111.27

Fonction d'appartenance du régulateu pD flou type-1 ... 37

Fonction d'appartenance du contrôleur pDF-2 ... 38

0ptimisation par PSO de la commande avec tolérance de la saturation Fonctions objectives pour la configuration N° 1 ... 45

Résultats de simulation pDF 1 -PSO (Configuration N° 1 ) ... 45

Résultats de simulation PDF2-PSO (configuration N° 1 ) ... 46

Fonctions objectives pour la configuration N°2 ... 47

Résultats de simulation pour le PDF1-PSO (configuration N°2) ... 47

Résultats de simulation pou le PDF2-PSO (configuration N°2) ... 48

Fonction objective pour la configuration N°3 ... 49

Résultats de simulation pour le PDF2-PSO (configuration N°3) ... „ 49

Fonction objective pour la configLiratïon N°4 ... 5l Résultats de simulation pou le PDF2-PSO (configuration N°4) ... 51

Cas non idéal Résultats de simulation avec perturbation exteme ... S2 Résultats de simulation pou le pDF-1 (configuration N°2) ... 53

Résultats de simulation pour le pDF-2 (configuration N°2 ... 53

0ptimisation par PSO de ]a commande sans to]érance de la saturation Fonction objective pour la configuration N° 1 ... 5S Résultats de simulation pour le pDFT1 -PSO (configuration N° 1 ) ... 5S Résultats de simulation pou le pDFT2-PSO (configuration n°1 ) ... 56

Fonction objective pour la configuration N°2 ... 57

Résultats de simulation pou le PDFl -PSO (configuration n°2) ... 57 Résultats de simulation pour le PDF2-PSO (configuration N°2) ... S8

I I I I I I I I I I I I I I I I I

1 1

I I

m.28 m.29 m.30

mJ1

Fonction objective pour la configuration N°3 ... 59

Résultats de simulation pou le PDF2-PSO (configuration N°3) ... 59

Fonction objective pour la configuration N°4 ... 61

Résultats de simulation pou le pDF2-PSO (configuration N°4) ... 61

Cas non idéal Résultats de simulation avec perturbation exteme ... 62

Résultats de simulation pou le pDF l -PSO (configuration N°2) ... 63

Résultats de simulation pour le PDF2-PSO (configuration N°2) ... 63

0ptimisation par CSA de la commande ave€ tolérance de la saturation m.35 Fonction objective pour laconfigurationN°1 ... 66

m36 Résultats de simulation pou le pDF1-CSA (configuration n°1) ... 66

m37 Résultats de simulation pou le pDF2-CSA (configuration n°1) ... 67

m38 Fonction objective pour laconfigurationN°2 ... 68

m39 Résultats de simulation pour le pDF1-CSA (configuration N°2) ... 68

m40 Résultats de simulation pour le pDF2 {SA (configuration N°2) ... 69

111.41 Fonction objective pour la configuration N°3 ... 70

m.42 Résultats de simulation pou le pDF2-CSA (configuration N°3) ... 70

m.43 Fonction objective pour la configurationN°4 ... 72

m.44 Résultats de simulation pou le pDF2 -CSA (configuration N°4) ... 72

Cas non idéal HL4S Résultat de l'ajoutd'une perturbation exteme ... 73

Résultats de sïmulation pour le pDF1 -CSA (configuration N°2) ... 74

Résultats de simulation pour le PDF2-CSA (configuration N°2) ... 74

1

I I

1 1

I I I I I I

I

1 1

I I I I I I I

Optimisation par CSA de ]a commande sans to]érance de la saturation

m48 Fonction objective pou la configuration N°l ... 76

111.49 Résultats de simulation pour le pDFl-CSA (configuration N°1) ... 77

m50 Résultats de simulation pou le pDF2-CSA (configuration N°1) ... 77

m.51 Fonction objective pou laconfigurationN°2 ... 79

111.52 Résultats de simulation pou le pDF1-CSA (configuration N°2) ... 79

m.53 Résultats de simulation pou le pDF2-CSA (configuration N°2) ... 80

m.54 Fonction objective pour la configurationN°3 ... 81

111.55 Résultats de simulation pou le pDF2-CSA (configuration N°3) ... 81

m.56 Fonction objective pour la configurationN°4 ... 83

In.57 Résultats de simulation pour le pDF2-CSA ... 82

Cas non idéal m58 Résultats de simulation avec perturbation exteme ... 83

m59 Résultats de simulation pour le pDF1-CSA (configuration n°2)...„ ... 84

m.60 Résultats de simulation pour le pDF2-CSA (configuration n°2) ... 84

1 1

I I I

1 1

I I I

1 1 1

I I I I

1 1

I I

LISTE

DES

TAB

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1 1

I I

1 1 1 1

I

1 1 1 1 1

I I I I I

Liste des tableaux

IH.l Paramètres du Quadrirotor ...

m.2 Règles de base d'un conecteur pDF ...

m3 Valeurs de FOU pour le pDF-2 ...

m4 Algorithme d'optimisation de la commande pD flou par pso ...

m5 Paramètres de l'algorithme pso ...

Optimisation par PS0 de la commaDde avec tolérance de la saturation m6 Paramètres optimaux des régulateus Œ'DF-PSO). Configuration N°1 ...

m7 Paramètres optimaux des régulateus (PDF-PSO). Configuration N°2 ...

ms Paramètres optimaux des régulateus ŒDF2-PSO). Configuration N°3 ...

m9 Paramètres optimaux des régulateus ŒDF2-PSO). Configuration N°4 ...

Optimisation par PSO de la commande sans tolérance de la satumtion IH.10 Paramètres optimaux des régulateurs (PDF-PSO). Configuration N°1 ...

mll Paramèues optimaux des régulateus (PDF-PSO). Configuration N°2 ...

ml2 Pæamètres optimaux des régulateus (PDF-PSO). Configuration N°3 ...

ml3 Paramètres optimaux des régulateus ŒDF-PSO). Configuration N°4 ...

ml4 Algorithme d'optimisation de la commande pD flou par csA ...

ml5 Paramètres de l'algorithme csA ...

35 37 40 42 43

44 46 48 50

54 56 58 60 64 65

I

1 1 1

I

1 1

I

1 1

I I I

1 1 1 1 1 1

I I

Optimisation par CSA de la commande avec to]érance de la saturation

m.16 Paramètres optimaux des régulateus (PDF-PSO). Configuration N°1 ... 65

111.17 Paramètres optimaux des régu]ateus (PDF-PSO). Configuration N°2...~ ... 67

m.18 Paramètres optimaux des régulateurs (PDF2-PSO). Configuration N°3 ... 69

m.19 Paramètres optimaux des régulateus (PDF2-PSO). Configuration N°4 ... 71

0ptimisation par CSA de la commande sans to]érance de la saturation m.20 Paramètres optimaux des régulateus (PDF-PSO). Configuration N°1 ... 76

m.2l Paramètres optimaux des régulateurs (PDF-PSO). Configuation N°2 ... 78

111.22 Paramètres optimaux des régulateus ŒDF2-PSO). Configuration N°3 ... 80

m.23 Paramètres optimaux des régulateus (PDF2-PSO). Configuration N°4 ... 82

I I I I I I

1 1

I

1 1 1

I I

1 1

I I I I I

Abréviations utilisées

PF PIF PIDF FA PDF-1 PDF_2 KM PSO CSA GA CAO SF GSA Pbest Gbest UAV

UFPD

Z P N PP PG NP NG FOU V VOFO

Prortiomel Flou

Proportiomel lntégral Flou Prortionnel htegral Dérivé Flou Fonction d ' appartenance

Prportiomel Dérivé Flou Proportiomel Dérivée Flou Kamik et Mendel

Particl Swam Optimisation Coucou Search Algorithm Genetic Algorithm

Conoly Ant Optimisation Système Flou

Gravïtatiomel Search Algorithm Best Paricl

Global Best

Unmanned Aerial Vehiculs

Coinmande Proprotionnelle Dérivée Floue

Zéro Postif Négatif Postifpetit

Positifchd

Négatifpetit NégatifGrand

FootprintOfUncertainty Valeu

Valeu Optitimale de la Fonction Objective

1 1

I

1 1

I

1 1

I I I

1 1

I I

1 1

I I I I

HmRODUŒOH

΃N'RAH

I

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1 1

I

1 1 1

I

1 1 1 1 1 1

I I

Introduction général e

Introduction générale

Malgré le progrès énorine dans la théorie des techniques de commande avancées, jusqu'à aujourd'm la commande PID classique est toujous préférée par les industriels [1|. Ce privilège revient essentiellement à la structure simple de cette commande, sa familiarité aux opérateus industriels, sa facilité de mise en œuvre, sa disponibilité, son coût faible et bien su sa performance acceptable pou une large gamme de systèmes. Malheueusement, cette

technique ne peut pas fournir de bomes perfomances d'une part lorsque elle est utilisée avec des systèmes complexes ; retards importants, modèle incomu, des fortes non linéarités, une large plage de fonctiomement, et d'autre part lorsque leur paramètres sont mal réglés sachant qu'il n'existe pas de méthodes de réglage systématique et les méthodes existantes ne

garantissent pas un fonctionnement optimal.

Ces demières années, les défis industriels sont devenus de plus en plus exigeants en temes de qualité de fiabilité. Alors, l'amélioration des systèmes de commande est devenu plus que jamais une nécessité afin d'accompagner les exigences actuelles. A cet effet, les recherches sont orientées vers la substitution de la commande classique par des approches capables de sumonter les difficultés de cette demière et de préserver ses qualités, à savoir la simplicité de la structure et la facilité de mise en œuvre afin de faciliter la transition

technologique. Dans ce registre, la commande floue s'impose par ses qualités comme une alternative potentielle. Elle se caractérise par certain njveau d' intelligence artificielle, puisque sa structure est lisible en langage humain et offfe une flexjbilité pou s'adapter aux systèmes complexes. De plus, la commande PID floue qui est une classe de la commande floue analogue à la commande PID classique. Les entrées de ce type de commande sont en fonctions de l'erreu entre le signale de référence et la sortie du système à commander.

Cependant cette approche est qualifiée comme une commande PID non linéaire.

La commande floue est basée sur la théorie de la logique floue qui a été initiée dans les amées soixante par le Professeu Lotfi Zedah de l'université de Berkeley. L'intérêt principal de la logique floue est de perinettre la représentation et le traitement de comaissances imprécises. Bien que la commande des systèmes automatiques qui suscite le plus d'intérêt Elle est utilisée dans des domaines aussi variés que les systèmes experts, la classification des données, le traitement de signal, la gestion de base de domées, la modélisation ainsi. La

1

I

1 1

I

1 1 1

I I

1 1

I I I I I I I I I

Introduciion générale

première application de la commande floue a été réalisée par Mamdani en 1974 su un moteu à vapeur, et la première application industrielle a porté su la commande d'un fou à ciment par logique floue [2].

Après quelques années de l'apparition de la logique floue, une controverse est venue perturber la communauté scientifique en qualifiant l 'ensemble flou de par4dojrci/. La controverse était en rapport avec le fait que le flou dénote l'incertitude alors que la fonction d'appartenance d' un ensemble flou soit complètement certaine une fois ses paramètres sont fixés. Le fait que le/oz{ ait une comotation d'incertitude et que finalement ne la modélise pas a beaucoup domé à réfléchir à L. Zadeh qui reconnut le problème et introduisait un ensemble flou dont la foncti.on d'appartenance est floue et qu'il Tiomma ensemble flou type-2 [3|.

Depuis, les appellations ensemble floue type 1, système floue t}pe 1 et commande floue typel sont introduites pou les différencier de leus homologues de type 2.

La conception des contrôleurs flous consi.ste à spécifier quelques caractéristi.ques structuelles et paramétriques. Un choix arbitraire de ces caractéristiques va nécessairement limiter les performances de ces contrôleurs. Aujourd'hui, les chercheus sont penchés su le problème de réglage de la commande PID floue par des approches systématiques qui

garantissent un fonctionnement optimal. Les techniques d'optimisation prêtées de

l' intelligence artificielle offre une solution potentielle à ce problème, plusieus apprœhes ont été proposées dans la littératue ; les algorithmes génétiques (GA) [9-10], l'optimisation par colonie de foumis (ACO) [11-12], l'optimisation par essaim de particule (PSO) [13], l'algorithme de recherche gravitatiomelle (GSA) [14], et l'algorithme de recherche Coucou (CSA) [15] ,... etc.

Dans ce travail, nous proposons l ' exploitation de deux techniques d'optimisation

intel]igente sous contraintes pou le réglage des paramètres des contrôleus PID flous de type 1 et de type 2 pour des systèmes complexes; l'optimisation par essaims de particule (PSO) et l'algorithme de la recherche coucou (CSA). Pour la validation, nous avons choisi un

quadrirotor qui représente un grand challenge pour les automaticiens ces demières années.

Le mémoire se divise en trois chapitres :

Dans le premier chapitre, nous rappelons les éléments qui rentrent dans la structure générale des régulateus flous de type-1 et de type-2.

1

I I I I I I I I I I I I I

1 1

I I I I I

Introduction générale

Le deuxième chapitre est consacré aux méthodes d'intelligence artificielle. Deux méthodes sont présentées : l'optimisation par essaims de particules (PSO) et l'optimisation par l'algorithme de la recherche coucou (CSA).

Le demier chapitre rassemble les contributions de notre travail. Deux algorithmes

d'optimisation intelligente basés respectivement su le PSO et CSA sont proposées pou le réglage des contrôleus PID flous de type 1 et de types 2. Ces algorithmes sont appliqués pou stabmsation des angles (roulis, tangage et lacet) et la hauteu d'un quadrirotor par quatre contrôleurs PD flous décentralisés.

Enfin, on a terminé ce travail par une conclusion générale portant su le travail effectué, des résultats obtenus et des perspectives.

I I

1 1

I I

1 1

I

1 1 1 1 1 1

I I I I

1 1

OHAprFRE 0 i

I I I I

1 1 1

I I I I I I I

1 1

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Chapitre I Commande floue de bipe-1 et de ype_:_2_

Chapitl.e 1

Commande floue type-l et type-2

1.1 Introductîon

Depuis leus débuts en 1965, les systèmes flous étaient recomus par leu capacité de représenter des connaissances vagues et incertaines. Mais cela n'a pas dué assez longtemps, en effet, quelque années après leur apparition, une controverse est venue perturber la communauté scientifique. La controverse était en raccord avec le fait que le flou dénote l'incertitude alors que la fonction d'appartenance d'm ensemble flou soit complètement certaine une fois ses paramètres sont fixés. Le fait que le/ow ait une comotation d'incertitude et que finalement ne la modélise pas a beaucoup donné à réfléchir à L. Zadeh qui reconnut le problème et introduisit un ensemble flou dont la fonction d'appartenance est floue et qu'il nomma ensemble flou Type-2 [4].

Après l'introduction de l'ensemble flou Type-2, la commande floue, est devenue encore plus flexible ayant pou nouveau nom de commande floue de Type-2. Cette demière £rit un mappage d'ensembles flous Type-2 en des ensembles flous Type-2 en faisant une extension des principes de son homologue de Type-1 [5].

Dans ce chapitre on s'intéresse à rappeler les éléments rentrant dans la conception de la commande floue de type-1 et de type-2.

1.2 Commande floue type-1

Dans cette partie, on s'intéresse à rappeler les éléments de base rentrant dans la conception d'une commande floue de type-1 dont la structure générale est donnée dans la figure 1.1

Figure L1: Schéma bloc d'un contrôleur flou de type-1

1 1

I I I I I

1 1

I I I I I I

1 1

I I I I

C_hgpi_tr±e±Ë_m.Tn_ap9.e49¥P_g.e_ty_Pe_-_1.,çfi±.Ë_P±±,__,--,-.----„---

Un contrôleur flou ne difïère pas d'un contrôleu classique, on retrouve à chaque fois un bloc de traitement, un bloc de d'entrée et un bloc de sortie. [6]

Deux blocs supplémentaires apparaissent dans le cas d'un contrôleu flou de type-1 : un bloc de ftizzi.fication et un bloc de défùzzification

1.2.1 Fuzzification

Dans les problèmes de commande, les domées observées sont habituellement physiques (réelles). Or le traitement de ces domées dans le cas de la logique floue est basé sur la théorie des ensembles flous, ceci nécessite donc ume procédue de fuzzification .

L'opération de fiHzification représente le passage des grandeus réelles (ou physiques) aux valeus floues. A l'uivers de discours d'une entrée X on associera N sous-ensemble flous notés E, (variables linguistiques). Chacun de ceux-ci sera défini par sa fonction d'appartenance

„Ej ¢ ) 0 < #E, (X ) < 1 .

1 Fonction d'appartenance

Soit un ensembleE et un sous-ensemble J4 de E (A c= E ), et x un élément de E appartenant à 4 (x € 4 ). Pou illustrer cette caractéristique, on utilise la fonction d'appartemnce /# ¢ ) compris entre 0 et 1, qui représente le degré d'appartenance de x à l'ensemble flou4 . Le plus souvent, la fonction d'appartenance est déteminée par l'une des fonctions suivantes :

a) Fonction triangulaire

Elle est définie par trois paramètres {cr ,G ,c } , qui déterminent les coordomées des trois somme (figue 1.2-a).

#(x)=max(min(=,1,=),0)

b) Fonction trapézoïda]e

Elle est définie par quatre paramètres {o ,b ,c ,c/ }, (figure 1.2-b) :

#(x)=max(min(:,1,=),0)

c) Fonction gaussienne

Elle est définie par deux paramètres { cr , m } , (figurel.2-c) :

(1.1)

(1.2)

I

1 1

I

1 1 1

I

1

I

1 1

I I

1 1

I

1 1

I

Chapitrelcommandeflouedetype-1etdg_çfly9!Psi

„(J)= exp d) Fonction sigmoïde

Elle est défirie par deux paramètres {a , c }, (figure l.2-d).

"(Jr)=

1 + exp(-c'(J -C))

c c+Z/a (d)

(1.3)

(1.4)

Figure 1.2 : Formes usuelles des fonctions d'appartenance

Le rôle du bloc de ftizzification sera de déteiminer pou un :x, domé (variable mesuée) les degrés d'appartenance de x, à chacun des sous-ensembles flous Ei.

1.2.2 Base des règles :

La base de règles floues représente le cœu du système flou et pemet d'exprimer sous forme linguistique la relation entre les entrées et la sortie du contrôleur flou pou que le système de commande soit perfomant. Les règles floues sont de fome « Si pre'mj.sse Alors co#c/g4sf.o# ».

La base de règles floues est composée d'une collection de règles Rf ¢ = 1 ,..., N) dont la forme canonique est domé par :

6

I

1 1

I I

1 1

I

1 1

I

1 1 1 1 1 1

I

1 1

I

Chapitre I Commande floue de type-1 et de ype-2

Ri.. SI Xi est Aiiet X2 est A2i ... Xn et Ant ALORS u est Bt

Avec x{¢ = 1 ,..., 7i) sont les entrées du contrôleu et u sa sortie. 4,. sont des sous-ensembles floue des entrées. 8{ est la conclusion de la règle £.

Si le contrôleur flou est de type Mamdani, alors Bi est un sous-ensemble floue et si le contrôleu flou est de type Takagï-Sugeno 8£ est une fonction réelle polynomiale des entrées :

Bi - fi(x)

1.2.3 Inférences :

C'est un mécanisme de décision. 11 transfome à l'aide des techniques de raisomement flou, la partie issue de la fiizzification en une nouvelle partie floue ; à fin d'évaluer le degré de vérité d'une règle i à partir des fonctions d'appartenances liées à la prémisse et à la conclusion.

En effet, uie telle énumération est comprise dans ce sens :

• Si condition l et /ou condition 2 (et/ou...) alors action su les sortie Ou

• Si condition 3 et /ou condition 4 (et /ou... ) alors action su les sorties Ou

• Si condition 5 et /ou condition 6 (et /ou...) alors action su les soities

On peut diviser la procédue d'inférence en 2 parties :

Implication : c'est l'évaluation des règles actives, en d'autres termes c'est le calcul de la conclusion de chaque règle. Cette demière est une conclusion réelle pou Sugeno par contre elle est floue pou Mamdani.

Agrégation : elle permet de calculer la conclusion floue globale selon le degré d'activation de chaque règle. En d'autres termes, c'est l'mification des conclusions de toutes les règles actives.

Le groupe d'inférences s'effectue en combinant les différentes règles floues à l'aide des opérateus logiques.

Les opérateus les plus utilisés sont : ]'intersection, I'union et le complément.

• CompLémentation floue

Le complément de l'ensemble flouA noté par A-est défini par la fonction d'appartenance Vr €X:#A-(X) = 1 -ÆA(X) (1.5)

I

1 1

I I I

1 1

I I I

1 1

I

1 1

I

1 1

I I

Chapitre I Commande f l_oue de ype-1 et de type-2

• Unionflou

L'union de deux ensembles flous A et 8 est l'ensemble 4 U 8 où :

V X € X.. |1AUB(X) --UA(X) ® UB(X) (1. 6)

Où © désigne une co-norine triangulaire [2], la co-nome la plus utilisée est domée par : HA(X) © #B(X) = maxùtA(X),#B(r))

- Intersection

L'intersecti.on des deux ensembles flous A et 8 est 1 'ensemble 4 nB avec : V X E X.. PAr`B(X) = UA(X) * UB(X)

(1. 7)

(1. 8)

Avec * représente une nome triangulaire [7], les deux nomes triangulaires généralement utiljsées sont :

pA(x) * uB(x) --minùJA(x),uB(x))

UA(X) * PB(X) = UA(X).PB(X)

(1. 9)

(1.10)

1.2.4 Défuzzir]cation

C'est une interface Linguistique -Numérique qui transfome la partie floue de l'inférence en valeurs numériques directement exploitables par le processus [8]. Elle consiste à défirir précisément quelle doit être l'action sur le processus. En effet, le procédé ne peut pas interpréter des ordres du type « Petit » ou « Grand » ,... on doit lui envoyer une valeur physique.

Le choix d'une méthode de défuzzification est un point très délicat lors de l'élaboration d'une techrique de contrôle en logique floue. Celui-ci conditionnera en effet grandement l'évolution dynamique de la commande. On distingue trois méthodes différentes : celle du maximm, celle de la moyeme des maxima et celle du centre de gravité (ou centroides). 11 est toutefois recomu que la méthode de centre de gravité donne les meilleus résultats [9,10].

• Méthodede maxima

Cette méthode consiste à choisir coinme sortie du bloc xo de défuzzification, une des valeurs possédant la plus grande appartenance au sous-ensemble flou x.

I

1 1 1

I

1 1

I I

1 1 1 1

I

1 1 1 1 1

I I

Chapitrelcommandefloueqe_ty_Psiet de type-2

• Méthode de moyenne de maximaDans le cas ou plusieus sous€nsembles ont le même maximum, on réalise une commande u à travers le calcul de la moyeme des maximums.

Ces deux méthodes ont l'avantage d'être simple, rapide et facile. Elles sont malheureusement ambigües et provoquent de nombreuses discontinuités.

• Méthode du centre de gravité (centroides)

Cette méthode consiste à calculer le centre de gravité de la fonction d'apparienance résultante

#rÉ,(XR) L'abscisse u de ce centre de gravité dome la valeu de commande à appliquer et peut être déteminée par la relation suivante :

(1. 1 1 )

1.3 Commande floue de type-2

La commande floue de type-2 est basée su l'utilisation des ensembles flous de type -2

• Un ensemble flou Type-2, noté2, dans un univers de discourt X est caractérisé par une fonction d'appartenance floue, notée #Â (JJ) , [11] telle que :

"Æ(-ï)-t#Jl#,,[0,1]i[0,1])

Selon la fome de l'appartenance primaire, on distingue princïpalement trois sortes d'ensembles flous type-2 :

Ensemb]e type-2 gaussien

Dans ce type d'ensembles, le degré d'appartenance de chaque point est un ensemble type-1 Gaussien dont le domaine de définition est inclus dans l'intervalle [0 1]. Notons qu'il n'est pas nécessaire que la fonction d'appartenance principale soit aussi Gaussieme [12].

EDsemble type-2 triangulaire

Daru ce type d'ensembles, le degré d'appartenance de chaque point est un ensemble type-1 triangulaire dont le domaine de définition est inclus dans l'intervalle [0 1] [13].

Ensemble type-2 interval]e

Dans ce type d'ensembles, le degré d'appartenance de chaque point est un ensemble ordinaire dont le domaine de définition est inclus dans l'intervalle [0 1] [13], [14], [15]. Dans ce cas, toutes les appartenances secondaires sont égales à 1. Notons que malgré chaque degré d'un

9

I I I

1 1

I

1 1 1 1

I I

1 1 1 1

I

1 1

I I

Chapitre I Commande floue de type-1 et de type-2

ensemble type-2 intervalle est un ensemble ordinaire, l'ensemble lui-même est de type-2, parce que les degrés d'appartenance sont des ensembles et non pas des nombres ordinaires.

Un exemple d'ensemble flou Type-2 intervalle, jr , est représenté su la figure 1.3. Notez aussi que contrairement à un système flou Type-1, dont le degré d'appartenance pour chaque x est ui nombre, la fonction d'appartenance d'un système flou Type-2 intervalle est un intervalle.

Par exemple, l'intervalle d'appartenance de la valeur 3 est [0.25, 1], et celui de la valeur 5 est [0,75, 1]. Observez également qu'un système flou Type-2 intervalle est délimitée à partir du dessus et en dessous par deux ensemble flous Type-1 É;et ¥, qui sont appelés Fonction d'appartenance supérieure et Fonction d'appartenance inférieur, respectivement. La zone située e"ne X e;1 X_ est l'empreinte d'incertiiude (FOU).

u

012345678

Figure 1.3. Exemple d'un ensemble flou Type-2 Intervalle

La figure 1.4 représente le schéma synoptique d'un contrôleur flou Type-2. est similaire à son homologue Type-1, la principale différence étant l'ajout d'un blœ de réduction de type :

Figure 1.4 Schéma bloc d'un contrôleu flou de type-2 Remarque

En temes de calcul pou la réduction de type, les ensembles type-2 Gaussien et triangulaire nécessitent un grand effort de calcul. Ce qui crée un inconvénient pou une implémentation en

10

1

I

1 1

I

1 1 1 1 1

I I I

1 1 1

I

I

1 1 1

Chapitre I Commande floue de ype-1 et de type-2

temps réel devant la capacité limitée des calculateus et des interfaces. Contrairement aux deux premiers ensembles flous, les ensembles type-2 intervalle sont moins goumands en calcul, ce qui les avantage etjustifie leurs choix pou les simulations et applications réelles.

1.3.1 Fuzzification

C'est une opération qui fait correspondre à chaque valeu réelle x' de la variable primaire x un degré d'appartenance à un ensemble flou type-2 j4 qui est une fonction d'appartenance de type-1 „Æ (r) .

1.3.2 Base de règ]es

Si l'on désire faire une comparaison entre les règles d'un système de type-1 et celles d'un type-2, la différence résidera seulement dans la nature des fonctions d'appartenance, donc, la structure des règles dans le cas du type-2 va rester exactement la même que celle du type-1. La seule différence étant que quelques (ou toutes) fonctions d'appartenance seront de type-2, alors,

|a jème règ|e d'un système flou type-2 aura la fome [13-14-15]

JLrï ef/ F,' ef x2 F2J .... et xpesï F; Alors yest Y'.

ou :r] € .Y,,:r2 € X2 ,... :rp € Jrp sont les entrées, les F,J sont les ensembles des prémisses tel que J. = 1, 2 ,..., p, j/ € yp est la sortie, et P` sont les ensembles de conséquences.

A noter qu'il n'est pas nécessaire que toutes les fonctions d'appartenance des prémisses et des conséquences soient de type-2. 11 suffit qu'une seule fonction d'appartenance dans une prémisse ou dans une conséquence le soit pou que tout le système soit de type-2.

13.3 Inférence

L'inférence dans un système flou type-2 utilise la base de règles floues pou effectuer une relation entre un vecteu d'entrée x = ¢i ,..., :¥p) et la sortie };. La première étarx= dans l'opération d'inférence floue est le calcul de l'intervalle d'activation* associe aujème ensemble flou

de sortie [16]

P

F(J)=H"/-,,¢,) ^(1.12)

#7,,(x,)estl'intervalled'activationassocieàlavariable;r;.Sil'onnotel'ensemblefloudesortie correspondant à la jème règle RJ par É . Lorsqu'une entrée x' est appliquée, comme nous utilisons une fiizzification de type singleton, qui veut dire que l'ensemble JP auquel appartient r' possède un degré d'appartenance uritaire à x = x'et zéro ailleus, par conséquent l'ensemble de sortie

11

I I I

1 1

I I

1 1 1

I I I I I I

1 1 1

I I

Chapitre l commande floue de çyp±i et de type-2

correspondant à la Jème règle est calculé en utilisant l'implication minimum ou produit (équivalent à l'opération `meet' avec T-nome minimum ou produit dans le cas du type-2)

C°mme su]"6;b o" , „[É#F,, („] (] L3)

*Interva]le d'activation

Pou un système flou type-2 intervalle, le degré d'activation d'une règle floue Æj est représenté sous fome d'un ensemble flou type-l intervalle est dit intervalle d'activation noté

F' =[fz,7']=[Ê4(F;), Ê¢(F,')]=[4(F]') £(Ëw(F]'), ,#(Ë;)] (i23) Ou n dénote l'opération `meet' basée su la T-nome choisie.

Comme dans le cadre de notre trvail uniquement les ensembles flous type-2 intervalles sont utilisés et en choisissant l' opération T-nom produit, l' intervalle d'activation associe à iajèm règle sera domé par [16]:

f'(x)-[£J(£)/_`(x-)] ^(1.14)

Ouf_J(X)=P_É\](X,)*P_Ê2(X2)*...*P_F,p(Xp)e*-fJ(X)=-PÊ\,(X\)*-Pʱ(X2)*...*-PÊ]p(Xp) L'opérateur « * » désigne une multiplication.

13.4 Réduction de type

Etant domé que la sortie du système d'inférence est un ensemble flou type-2, elle doit être réduite avant qu'elle soit défuzzifiée (car il n'ya pas une méthode précise pou le calcul de commande d'un système floue dont la sortie est de type-2). Pou transfomer la sortie floue type- 2 en un ensemble flou type-1, la méthode des centres d'ensembles (center of sets en anglais (cos)) est la plus utilisée. L'expression de 1'ensemble flou de t}pe réduit par cette méthode est domée par [17] :

É"F„ b"/„

y _d ,... y F ,... F F^„=1 -U

yr, ë n

réF

n±

Avec n=1 ,..., N ou N est le nombre de règles utilisées.

Œ15)

12

1

I I I I I

1 1

I

1 1

I I I

1 1

I

1 1

I I

ChapitreI Commande floue de type-1 et de Çype-2

Etant domé que chaque ensemble dans l'équation ci-dessus est un ensemble type-2 intervalle, alors yœs(y' ,..., yN,F! ,..., FJV) est aussi un ensemble type-2 intervalle dont le domaine est situé Su l'axe des réels : ycœ (yi ,..., yN , /7i ,..., /rN ) = [y, y, ]

)/, et );, sont deux points de gauche et de droite caractérisant l'ensemble réduit ycos avec [17-18-19]:

J', = mlnt€[,.N-,]

),, = maxtE|l,N-ii

Ù-„z„ + £ £„¥"

„=1 „=Æ +l

fi-" + Ë £„

„=1 „=Æ+l

fi"y-"+Ë/-"y-„

„=1 „=Æ+l

„

Ù-"¥„ + £ £„¥„

„=1 „=L +1

Ù-" + Ï £„

„=1 „=£+1

ftny-£Îny-n=1 „=£ +1

fi„ + Ë /-"

„=1 „=j? +]

Ou les points de commutation R et L sont déteminés par : y L =- y , =- y L + \

y-R=-yr=-y-R+\

(1.16)

Œ.17)

¢.18)

/'® est le |Cme élément de l'intervalle d'activation de FJ(x) et yj est un élément de l'intervalle type-2 y` - [y,' y; ] .

13.5 A[gorithme de Karnik et Mende] (KM)

Afin de calculer les points extrêmes y, et};, , Kamik et Mendel ont développé un algorithme itératif dont la procédue est donnée comme suit [17] :

Algorithme de Karnik et Mende] pour calcu]er }t

1. Trier );n (n=1 ,..., N) dans un ordre croissant );' S }J2 S ... S z" en nommantzn triée avec le même nom.

Réorganiser les indices de F" de telle sorte qu'ils seront corresponds à ceux de 2!" triée.

2. Initialiser /" en prenant comme point de départ

f n +fJ _{n=1,...,N (1.19)}

13 Ensuite calculer

1

I I I I I

1 1

I

1 1

I I I

I

1 1

I I I I

ChapitreI Commande floue de ype-1 et de type-2

Ër„/"

„=1

£,_„=1

3. Trouver un point de commutation Æ (1 s Æ ± N -1) qui Satisfait zÆ ± );, 5 z"

4.Poser

Et mettre

•„-t::;:;:

(1.20)

(1.21)

(1.22)

5. Vérifier si };' = }; , si c'est le cas, anêter et poser }i/ = )/ et L = Æ , sinon, aller à 1'étape 6 6` Mettre y = ); et remonter à l'étape 3

Algorithme de Karnik et Mendel pour calculer };,

1. Trier P" (n=1 ,..., N) dans un ordre croissant 57' < j2 S ... S PN en nommantp" triée avec le même nom.

Réorganiser les indices de Fn de telle sorte qu'ils seront corresponds à ceux de z" triée.

2. Initialiser /" en prenant comme point de départ :

f n + f_n _n=1,...,N

(1.23)

¢24)

14 Ensuite calculer

3. Trouver un point de commutation Æ (1 s Æ s N -1) qui satisfait PÆ s };, ± P"

I I I I I I

1 1

I

1 1

I

1 1

I I I

1 1

I

1

CËFelcommandeflouedeype-1etdetype-2

4 .Poser :

Et mettre

/"=f=

",nsÆ

",n>Æ

£y-„/„

„=1 N

Z}„=1

5. Vérifier si y = y , si c'est le cas, arrêter et poser )/r = )/ etÆ = Æ , sinon, aller à l'étape 6 6. Mettre }; = ); et remonter à l'étape 3

(1.25)

(1.26)

Le calcul de l'ensemble type-réduit revient donc à calculer yi et yr qui se fera via l'algorithme de KM énoncé si dessus. Cet algorithme a montré ses preuves dans la littérature surtout en temes de rapidité. Malgré son aspect itératif et qu'il peut provoquer des retards, il reste néanmoins une solution efficace et très utilisé pou la réduction de t)pe en pemettant de simplifier les calculs.

L'idée principale de l'algorithme K-M est de trouver les points de commutation pou )/, et};r . Prenez )/,par exemple. Ce demier est le minimum deYcos(x') . Depuis };" augmente de gauche à droite tout le long de l'axe horizontal de la Figure 11.5 (a), nous devons alors choisir un grand poids

(degré d'appartenance supérieue) pou };" sur la gauche et un petit poids (degré d'appartenance inferieu) pou };" sur la droite.

L'algorithme KM trouve le point d'échange L. Pou# > Æ , les degrés d'appartenance supérieue sont utilisés pour calculer j/, ; pour» > £ , les degrés d'appartenance inferieues sont utilisés.

Cela pemettra d'assurer à y, d'être le minimum.

11 reste de calculer la sortie à déftzzifier comme suit :

J,=J, ' + J, ,

(1.27)

15

I I I I I I

1 1 1

I I I I I I

1 1

I I

1 1

ChapitreI Commande floue de type-1et de type-2

(a) Calcule de yi : Passer du riveau d' inférence supérieu au niveau d'infërence inférieu (b) calcule de yr : Passer du niveau d'inférence inftrieu au riveau d'inférence supérieu.

Figure 1.5 Illustration des points d'échanges en calculant yi et yr 1.3.6 Défuzzification

Une fois le processus de réduction de type aura généré l'ensemble flou type-1 à partir de l'ensemble flou Type-2, le processus de défùzzication devient entièrement similaire à celui du Type-1 et fera conespondre une valeu certaine à l'ensemble flou Type-l issu du processus de réduction de type. Pami les méthodes utilisées pou la dèfi]zzification, on cite la dèfi]zzification par le centre de

gravité. [20]

Cy-¢)=

ËyÆ41-o,Æ)

Æ=l

£4-(„)

Æ=l

(1.28)

1.4 Synthèse des contrô]eurs flous

Par analogie avec les contrôleurs PID classiques, quand les entiiées du contrôleu flou sont : l'erreu entre la consigne et la sortie à commander, la dérivée de cette eneu et l'intégrale de l'erreu et la sortie est la commande, on dit que le contrôleu est de t)pe PID flou.

Les contrôleus PID flous se prêtent à résoudre les problèmes de la commande PID classique ; ils rassemblent les avantages du contrôleu PID classique à savoir la simplicité avec ]a possibilité d'introduire les non-1inéarités dans la loi de commande et de la connaissance d'un expert du système.

1 Contrôleur proporionnel F]ou ŒF)

u--f(e(t)) _(1.29)

16

I I I I

1 1

I I I

1 1 1

I I I

1 1

I I I I

Chapitre l commande floue de ype-1 et de type-2

Les règles floues sont en fonction de l'erreu et sont de la fome:

Si e(t) est E alors u est U

Avec f(e (t)) représente une fonction représentant le système d' inférence utilisé.

• Contrôleur pIFlou (PIF)

ù -f (e(t), è(t)) (1.29)

u - J' ùdc

Pour ce type de régulateu, la commande est en fonction de l'erreu et sa dérivée. Les règles prement la fome :

Si e(t) est E et è(t) est DE alors ù est DU

La structure de commande est donnée par la figure 1.6 qui correspond à un régulateu PI-flou.

Figure 1.6 : Structure d'un PIF

• ContrôleurpDflou (PDF)

La loi de commande du régulateupDF, est obtenu en suppriment l'intégration a la sortie du régulateu PJF.La sortie du régulateu flou est la commande elle-même. Les règles floues sont alors de la fome :

Si e(t) est E et de(t) est DE Alors u(t)est U et la loi de commande est donnée par :

u(t) - f (e (t) , è (t))

La stmcture de commande est donnée par la figure 1.7 qui conespond à un régulateu PDF.

Figure 1.7. Structure d'un PDF

(1.30)

17

I

1 1 1 1 1 1

I

1 1 1 1

I

1 1

I

1 1 1

I

1

Chapitre I Commande floue de ype-1 et de type-2

• Contrô]eurs flous de type pID

u=/(e(C),é(C),/e(CW) (1.31)

Ce demier type de régulateu utilise l'erreur, la variation de l'erreu et la somme des erreurs. Les règles sont de la fome:

Si e(t) est E et è(t)est DE et e (t)dt Ë] est IE alors u est U

Figure 1.8. Correcteu flou de type PIDF

Généralement, les deux entrées et la sortie des contrôleurs sont nomalisées au moyen de gains de nomalisation, c'est ainsi que souvent les univers de discous des variables d'entrée et de sortie sont ramenés su l'intervalle [-1, +1]. Ces gains pemettent d'aür de façon globale su la surface de commande en élargissant ou réduisant l'univers du discours des grandeus de commande.

1.5.1 Synthèse des contrô]eurs flous

Comme il est noté précédemment, un système flou est en tout premier lieu caractérisé par son type (Mamdani, Takagi-Sugeno) et par les partitions floues qu'il met en œuvre.

Cependant, la définition totale d'un système flou passe par la spécification d'un ensemble de caractéristiques dites structurelles et paramétriques.

• Caractéristiques structurelles

Ces caractéristiques spécifient tous les éléments du SIF qui influent su sa structure. Ces éléments sont constitués par :

- Les variables d'entrée et de sortie du contrôleur.

- 1e fome de fonction d'appartenance utilisé pou chaque variables (triangle, gaussieme,..,),

- le nombre de fonctions d'appartenance pou chaque variable d'entée et de sortie.

- lenombrederèglesfloues.

- lesopérateursflous

18