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Application des algorithmes évolutionnaires au calcul numérique et au finance

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Academic year: 2021

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(1)

REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE

SCIENTIFIQUE

Université Mohamed Khider-Biskra

FACULTE DES SCIENCES EXACTES ETSCIENCESDE LA NATURE ET DE LA VIE

THESE

Présentée pour l’obtention du diplôme

DOCTORAT EN SCIENCES

En : Mathématiques Par :

Nacer RAHMANI

Thème

Application des algorithmes évolutionnaires au calcul numérique et au finance

Devant le jury composé de :

Mokhtari Zouhir, Prof, Université de Biskra,………..…..…… Président Khelil Naceur, Prof, Université de Biskra,…………...…………...…… Rapporteur Merad Ahcene, MCA, Université de Oum El-Bouaghi,…..….….…… Examinateur Rezzoug Imad, MCA, Université de Oum El-Bouaghi,…..……..…… Examinateur

2020/2021

(2)

edicace

Je rends hommage a ma m` ere.

A la m´ emoire de mon p` ere.

A mes fr` eres HOCINE, Hafid, Adam et mes soeurs Hayette, Iness, Rahma.

A tous ceux et celles que j’aime et qui me sont chers.

A tous ceux qui ont particip´ e de pr` es ou de loin ` a la r´ ealisation de ce travail.

A tous ceux que je ne nomme pas, mais qui se reconnaˆıtront.

A ma femme IMENE Ben messai et ma fille NADINE, les plus grandes sources de mon bonheur pour leur amour inestimable, leurs sacrifices, leur confiance, leur soutien et

toutes les valeurs qu’ils ont su m’inculquer.

N acer R ahmani

(3)

Remerciements

C’est une vieille tradition que de remercier au d´ ebut d’un tel travail tous ceux qui, de loin ou de pr´ es, directement ou indirectement, ont contribu´ e ` a le rendre possible.

C’est avec mon enthousiasme le plus vif et le plus sinc` ere que je voudrais rendre m´ erite

`

a tous ceux qui ` a leur mani` ere m’ont aid´ e ` a mener ` a bien cette th` ese.

Je tiens tout d’abord ` a remercier mon directeur de th` ese Monsieur KHELIL Naceur, Professeur d’enseignement sup´ erieur ` a Universit´ e Mohamed Khider Biskra, qui a su me communiquer toutes ces ann´ ees son enthousiasme et sa motivation.

Ses commentaires et suggestions tout au long de ma th` ese ont consid´ erablement am´ elior´ e ` a la fois le contenu et la pr´ esentation de cette derni` ere.

Avant de rentrer dans le vif du sujet, nous tenons ` a remercier Monsieur le Professeur Ahmed BOUTERFAIA, pour ses conseils et ses commentaires pr´ ecieux, qui nous ont permis de surmonter nos difficult´ es et de progresser pour accomplir notre mission comme il le faut.

Je remercie ´ egalement Monsieur MOKHTARI Zouhir, Professeur d’enseignement sup´ erieur

`

a l’Universit´ e Mohamed khider- BISKRA de l’honneur qui’il m’a fait d’avoir accept´ e de pr´ esider mon jury de th` ese.

Je remercie aussi Monsieur MERAD Ahcene et Monsieur REZZOUG Imad, Professeurs

`

a l’Universit´ e de Oum El Bouaghi.d’avoir accept´ e d’ˆ etre membres de jury.

Je remercie tous mes coll` egues et mes amis. Je remercie particuli´ erement Imad eddine LAKHDARI et Mokhtar HAFAYED , leur support moral et intellectuel tout au long de notre travail, je remercie tous ceux qui m’ont aid´ e de pr´ es ou de loin et tous ceux qui m’ont motive mˆ eme inconsciemment.

Sur le plan personnel, je tiens ` a exprimer mes remerciements et ma gratitude ` a tous

les membres de la famille qui m’ont soutenue et encourag´ ee sur tous les plans. Que tous

ceux que je n’ai pas cit´ es, et ils sont certainement nombreux, se sentent associ´ es ` a ces

remerciements. Je tiens ` a remercier mes parents de leurs encouragements, ma femme pour

son aide pr´ ecieuse et ses conseils lors de la pr´ eparation de la soutenance.

(4)

Table des mati`eres

Table des mati` eres ii

Introduction 3

1 Th´ eorie Moderne de Portefeuille : Cadre Conceptuel et Etat de l’Art 6

1.1 Classes d’actifs . . . . 6

1.1.1 Les actions . . . . 6

1.1.2 Les obligations . . . . 7

1.1.3 Les fonds mon´ etaires . . . . 7

1.1.4 L’immobilier . . . . 7

1.2 Rendement . . . . 7

1.2.1 Rendements simples . . . . 8

1.2.2 Rendements logarithmiques . . . . 10

1.3 Le risque . . . . 10

1.3.1 Le concept de risque : . . . . 11

1.3.2 Les types de risques . . . . 11

1.3.3 Les mesures classiques de risque . . . . 12

1.3.4 Caract´ eristiques d’une mesure de risque . . . . 15

1.4 Portefeuille optimal : Optimisation du portefeuille . . . . 19

1.4.1 D´ efinition d’un portefeuille . . . . 19

1.4.2 La diversification . . . . 20

1.4.3 Portefeuille compos´ e de deux actions . . . . 20

1.4.4 Portefeuille compos´ e de “n” actions . . . . 21

1.4.5 D´ efinition dans le cadre d’un investissement . . . . 21

1.4.6 Le Rendement d’un portefeuille . . . . 22

1.4.7 Esp´ erance et variance d’un portefeuille . . . . 22

1.4.8 Le Portefeuille efficient . . . . 25

1.4.9 Le portefeuille de march´ e . . . . 28

1.4.10 Le Portefeuille Tangent . . . . 29

2 Optimisation de portefeuille en finance : Mod` eles et m´ ethodes 30 2.1 Le Mod` ele Moyenne-Variance de Markowitz (1952) . . . . 30

2.1.1 Hypoth` eses . . . . 31

(5)

2.1.2 Le Mod` ele Mean–Variance de Markowitz . . . . 31

2.2 Le mod` ele de march´ e de Sharpe(1963-1964) . . . . 33

2.2.1 Les mod` eles ` a facteurs . . . . 33

2.2.2 Le mod` ele ` a un facteur ou mod` ele de march´ e . . . . 34

2.3 Le mod` ele simplifi´ e de Sharpe . . . . 38

2.3.1 Pr´ esentation math´ ematique du mod` ele . . . . 38

2.4 Le mod` ele d’´ equilibre des actifs financiers (MEDAF) . . . . 39

2.4.1 D´ efinition du MEDAF . . . . 39

2.4.2 Les principales hypoth` eses du MEDAF . . . . 40

2.4.3 Le rˆ ole de Bˆ eta dans le MEDAF . . . . 40

2.5 Le mod` ele d’´ evaluation par arbitrage (APT) . . . . 41

2.6 Le mod` ele de Markowitz et Perold (1981) . . . . 42

2.7 Le mod` ele de Lai (1991) . . . . 43

2.8 Le mod` ele de Konno et Yamazaki (1991) . . . . 45

2.9 Le mod` ele de Speranza (1993) . . . . 47

2.10 Le mod` ele Moyenne–Semi Variances de Hamza et Janssen (1995) . . . . 48

2.11 Le mod` ele de YOUNG (1998) . . . . 49

2.12 Le mod` ele Bas´ ee sur La valeur ` a risque (2000) . . . . 51

2.13 Le mod` ele Bas´ ee sur La VaR Conditionnelle . . . . 53

3 etaheuristiques d’optimisation : Etat de l’art 55 3.1 Notions de Base en Optimisation . . . . 55

3.2 Probl` eme D’optimisation . . . . 58

3.3 Les m´ ethodes de r´ esolution de probl` emes d’optimisation . . . . 59

3.3.1 Les m´ ethodes exactes . . . . 59

3.3.2 Les m´ ethodes approch´ ees . . . . 61

3.4 Optimisation par les Algorithmes G´ en´ etiques . . . . 67

3.5 D´ efinition . . . . 67

3.6 Description de l’algorithme . . . . 68

3.6.1 Principes g´ en´ eraux . . . . 69

3.6.2 La diff´ erence entre les Algorithmes g´ en´ etiques et algorithmes clas- siques d’optimisation . . . . 70

3.6.3 Fonctionnement des algorithmes g´ en´ etiques . . . . 71

3.7 Les ´ etapes des algorithmes g´ en´ etiques . . . . 71

3.7.1 Population initiale . . . . 72

3.7.2 Le codage . . . . 72

3.7.3 Evaluation des individus . . . . 74

3.7.4 Op´ erateurs de s´ election . . . . 74

3.7.5 Le Croisement . . . . 77

3.7.6 La Mutations . . . . 79

3.7.7 Crit` ere d’arrˆ et . . . . 81

3.7.8 Les avantages . . . . 81

3.7.9 Les d´ esavantages . . . . 81

3.8 Algorithme d’optimisation par essaim de particules (PSO) . . . . 81

3.8.1 L’origine de L’id´ ee de L’optimisation par Essaim Particulaire . . . . 81

(6)

Table des mati` eres

3.8.2 Pr´ esentation de la M´ ethode . . . . 83

3.8.3 Les Param` etres de L’algorithmes PSO . . . . 86

4 Algorithme d’optimisation de portefeuille d’actions ` a l’aide d’un AG 90 4.1 Introduction . . . . 90

4.2 Optimisation du portefeuille par la m´ ethode moyenne-variance . . . . 91

4.2.1 Le rendement esp´ er´ e . . . . 91

4.2.2 La variance d’un portefeuille . . . . 91

4.2.3 Le mod` ele Moyenne-Variance . . . . 92

4.3 Le mod` ele d’´ ecart absolu moyen (MAD) . . . . 93

4.4 Algorithme g´ en´ etique . . . . 96

4.5 Analyse en Composantes Principales (ACP) . . . . 97

4.5.1 Th´ eor` eme de l’analyse en composantes principales . . . . 97

4.5.2 L’utilisation de l’analyse en composantes principales . . . . 98

4.6 Minimisation du MAD ` a l’aide de PCA et d’algorithmes g´ en´ etiques . . . . 98

4.6.1 Probl´ ematique . . . . 98

4.6.2 La proposition . . . . 98

4.6.3 Pourquoi l’´ ecart absolu moyen (MAD) . . . . 99

4.6.4 Pourquoi l’analyse en composantes principales . . . . 99

4.6.5 Le mod´ ele math´ ematique : . . . . 99

4.6.6 Algorithme d’optimisation MAD-AG . . . 101

4.6.7 Procedure d’optimisation (MAD-AG) : . . . 102

4.7 Optimisation de portefeuille d’actions ` a l’aide de l’algorithmes PSO-MAD . 108 4.7.1 Formulation du probl` eme . . . 108

4.7.2 Configuration de la m´ ethode MAD-PSO . . . 109

4.7.3 Algorithme d’optimisation MAD-PSO . . . 112

4.8 Partie pratique . . . 113

4.8.1 Exemple 01 . . . 113

4.8.2 Exemple 02 . . . 117

4.8.3 Exemple 03 . . . 119

4.8.4 Exemple 04 . . . 120

4.8.5 Exemple 05 . . . 122

4.8.6 Exemple 06 . . . 124

Conclusion 126

Bibliographie 128

(7)

Table des figures

1.1 Sch´ ema des conventions de temps. . . . 8

1.2 Fronti` ere Efficiente. . . . 26

3.1 Courbe repr´ esentant les optimums locaux et les optimums globaux . . . . . 57

3.2 Classiffication de m´ ethodes de r´ esolution de probl` emes d’optimisation. . . . 59

3.3 Les types des algorithmes ´ evolutionnaires . . . . 66

3.4 Organigramme d’un algorithme ´ evolutionnaire . . . . 67

3.5 Sch´ ema d’une roulette . . . . 76

3.6 Le croisement ` a un point. . . . . 78

3.7 Croisement multipoints ( k = 2 ) . . . . 78

3.8 Op´ eration de mutation . . . . 80

3.9 D´ eplacement d’une particule. . . . . 84

3.10 Graphe d’influence d’un essaim de particules : (` a gauche) Graphe compl` etement connect´ e, (` a droite) Graphe d’information circulaire. . . . . 86

4.1 Organigramme g´ en´ eral d’un algorithme MAD-AG. . . 102

4.2 Structure d’un chromosome . . . 102

4.3 Structure de la population initiale (exemple) . . . 103

4.4 Analyse en composantes principales (PCA) Classification diagram. . . 103

4.5 La fonction d’´ evaluation . . . 104

4.6 Op´ eration de croisement . . . 106

4.7 Op´ erateur de mutation . . . 107

4.8 Exemple : Op´ erateur de mutation . . . 107

4.9 Organigramme g´ en´ eral d’un algorithme 2 :MAD-AG. . . 108

4.10 Organigrame g´ en´ erale d’un algorithme PSO . . . 109

4.11 R´ esultats avec une population initiale de 50 avec 200 g´ en´ erations. . . 115

4.12 R´ esultats avec une population initiale de 50 avec 500 g´ en´ erations . . . 115

4.13 La convergence de la valeur objective. . . 117

4.14 Comment le risque affecte-t-il la rentabilit´ e esp´ er´ e d’un investissement. . . 118

4.15 Fronti` ere efficiente pour diff´ erents capital investi. . . . 118

4.16 La fronti` ere efficiente pour MAD-AG et MAD standard. . . . 119

4.17 La fronti` ere efficiente pour MAD-AG et Markowitz. . . 120

(8)

Table des mati` eres

4.18 Repr´ esentation graphique de la valeur du portefeuille en utilisant l’algo- rithme MAD-AG et les AG-Markowitz. . . 123 4.19 Repr´ esentation graphique du risque de portefeuille en utilisant l’algorithme

et les AG-Markowitz . . . 123

4.20 Analyse en composantes principales (PCA) pour 70 actions . . . 125

4.21 Le rendement esp´ er´ e de MAD-PAG et MAD-PSO . . . 125

(9)

Introduction

L’une des directions les plus importantes de la finance est la th´ eorie de la s´ election de portefeuille, l’allocation des actifs d’une mani` ere optimale dans un portefeuille est l’objectif de chaque investisseur ou soci´ et´ e financi` ere, alors l’optimisation de portefeuille ou le choix de portefeuille optimal d’actifs financiers est un sujet d’int´ erˆ et particulier dans la recherche en math´ ematiques financi` eres.

L’optimisation du portefeuille d’investissement est le processus d’optimisation de la proportion de capital des actifs d´ etenus pour s’adapter ` a diverses contraintes ; il donne le rendement le plus ´ elev´ e avec le moins de risque [54], alors l’optimisation du portefeuille consiste ` a choisir le meilleur parmi l’ensemble d’opportunit´ es de titres pour ´ equilibrer l’objectif de maximiser le rendement esp´ er´ e avec la contrainte de minimiser le risque.

Markowitz a ´ et´ e le premier ` a introduire la m´ ethodologie d’optimisation de portefeuille de base en 1952. Le mod` ele de Markowitz ou le mod` ele de moyenne-variance (MV) a for- mul´ e le probl` eme d’optimisation comme un probl` eme de programmation quadratique dans lequel la fonction de risque ´ etait mesur´ ee par la variance des rendements de portefeuille observ´ es autour de leur moyenne , on a suppos´ e que le les rendements du portefeuille sont normalement distribu´ es. Les solutions du probl` eme de Markowitz pour diff´ erents niveaux de rendement forment la fronti` ere efficiente qui repr´ esente le compromis optimal entre le risque et le rendement [71].

Pour le choix optimal de ce dernier, le mod` ele de Markowitz consiste ` a minimiser l’´ ecart-type ou la variance pour un rendement donn´ e ou de maximiser le rendement du portefeuille pour un risque donn´ e.

Le mod` ele de moyenne-variance (MV) contrairement ` a sa r´ eputation th´ eorique, plu- sieurs critiques ont ´ et´ e adress´ ees ` a ce mod` ele comme le choix de la variance en tant que mesure de risque et l’hypoth` ese sur le caract` ere quadratique de la fonction objectif et quelques difficult´ es lorsqu’il s’agit de traiter un grand nombre d’actifs ou de r´ esoudre le probl` eme de programmation quadratique et de calculer la matrice de variance-covariancel (la charge de calcul).

Pour simplifier les difficult´ es associ´ ees au mod` ele de Markowitz, plusieurs auteurs ont

tent´ e d’att´ enuer cette difficult´ e en utilisant divers sch´ emas d’approximation [81]. De plus,

plusieurs mod` eles alternatifs ont ´ et´ e d´ evelopp´ es comme alternative au mod` ele classique de

Markowitz. Konno et Yamazaki [43] ont propos´ e l’´ ecart absolu, tandis que Speranza [84] a

propos´ e l’´ ecart semi-absolu comme mesures du risque au lieu de la variance [34], plusieurs

(10)

Introduction

mod` eles ont ´ et´ e propos´ es pour r´ eduire la charge de calcul et lin´ eariser le probl` eme de choix optimal de portefeuille comme Sharpe, Stone, Konno et Yamazaki, Hamza et Janssen.

L’approche de l’´ ecart absolu moyen (MAD) est propos´ ee par Konno et Yamazaki [43]

comme un mod` ele de programmation lin´ eaire (PL), d´ efinissant l’´ ecart absolu des variables al´ eatoires comme une mesure du risque au lieu de la variance. Le but du mod` ele MAD est de r´ esoudre le probl` eme de s´ election de portefeuille, il conduit ` a une programmation lin´ eaire au lieu d’une programmation quadratique. Konno et Yamazaki d´ eclarent que le mod` ele MAD est comparable au mod` ele de Markowitz et montrent que si les rendements sont normaux multivari´ es, l’´ ecart moyen absolu et l’´ ecart type des mesures du risque sont essentiellement les mˆ emes [43]. Il y a tr` es peu de travail r´ ecemment compar´ e les performances des mod` eles MAD et Markowitz.

En 2003, Mansini et al. a compar´ e les mod` eles Markowitz et MAD et a constat´ e que le mod` ele MAD fonctionne l´ eg` erement mieux que le mod` ele de Markowitz [56], Hoe et al. effectu´ e une comparaison empirique pour les deux mod` eles MAD et Markowitz, ils constat´ e que les portefeuilles g´ en´ er´ es par les mod` eles MAD et Markowitz utilisent des actions tr` es similaires mais ont des proportions de portefeuille diff´ erentes.

En g´ en´ eral, les m´ ethodes classiques de s´ election du portefeuille optimal ne sont pas suffisamment efficaces. Les algorithmes heuristiques sont un moyen typique pour r´ esoudre le probl` eme d’efficacit´ e. Nous nous concentrons dans ce travail sur l’algorithme g´ en´ etique (AG) et l’algorithme d’optimisation par essaim de particules (PSO) ` a l’aide de l’analyse en Composantes Principales (ACP) pour Construire les meilleurs portefeuilles (portefeuille optimal)[69]. Nous l’avons d´ evelopp´ ee dans ce travail deux mod` eles maximisant le rende- ment et minimisant le risque en mˆ eme temps ` a travers des algorithmes dynamiques appel´ e MAD-AG et un autre MAD-PSO [69]. Ces mod` eles s’appliquent sur le portefeuille afin de d´ eterminer les meilleurs, ` a travers l’optimisation, les proportions du capital investies qui rendent optimal ce dernier.

Notre travail est organis´ e comme suit :

Dans le premier chapitre, nous avons trait´ e la Th´ eorie Moderne de Portefeuille : Cadre Conceptuel et Etat de l’Art : la th´ eorie et le concept puis nous avons pr´ esent´ e les classes d’actifs et la d´ ef´ enitions des rendement et risques, en expliquant les diverses mesures classiques de risque. Nous avons d´ efini le portefeuille optimal (Le portefeuille efficient, le portefeuille de march´ e et le portefeuille Tangent).

Dans le deuxi` eme chapitre, nous avons pr´ esent´ e les diff´ erentes approches d’optimi- sation de portefeuille d’actifs financiers existants dans la litt´ erature ainsi que quelques avantages et inconv´ enients de certaines d’entre elles.

Au niveau du troix` eme, nous avons d´ efini les m´ ethodes de r´ esolution de probl` emes d’optimisation (les m´ ethodes exactes et les m´ ethodes approch´ ees). Aussi nous avons d´ efini les algorithmes g´ en´ etiques et l’algorithme d’optimisation par essaim de particules (PSO).

Dans le dernier chapitre, nous avons d´ efini deux algorithmes d’optimisations des por- tefeuilles. Le premier MAD-AG, un algorithme de minimisation du MAD ` a l’aide de PCA et d’algorithmes g´ en´ etiques, et le deuxi` eme MAD-PSO un algorithme d’optimisation de portefeuille d’actions ` a l’aide d’un algorithme d’optimisation par essaim de particules (PSO) et l’´ ecart absolu moyen (MAD).

Enfin, nous pr´ esentons nos conclusions ainsi que des perspectives.

(11)

Chapitre 1

Th´eorie Moderne de Portefeuille : Cadre Conceptuel et Etat de l’Art

Les investisseurs ont pour objectif de g´ en´ erer des profits. Ceux qui op` erent sur le march´ e des actions se sont donc int´ eress´ es en premier lieu au cours des actions ou ` a leurs rendements. Les professionnels et les chercheurs ont analys´ e les s´ eries des prix ou celles des rendements selon deux axes : l’un concerne les facteurs influen¸cant le cours des actions et donc les rendements, et l’autre les caract´ eristiques des s´ eries des rendements[17].

L’objectif de ce premier chapitre ´ etait de mettre en lumi` eres ` a la gestion de portefeuille, plus particuli` erement aux diff´ erentes mesures de risque utilis´ ees dans la litt´ erature fi- nanci` ere. La gestion de portefeuille consiste ` a g´ erer les capitaux confi´ es dans le respect des contraintes r´ eglementaires et contractuelles et appliquant les politiques d’investisse- ments d´ efinies en interne, pour en tirer le meilleur rendement possible en fonction du risque choisi, nous allons d’abord d´ efinir la rentabilit´ e et le risque. Ensuite, la th´ eorie d’utilit´ e, la notion de dominance stochastique et la notion de coh´ erence seront pr´ esent´ ees.

Ces notions seront utilis´ ees pour comparer des dif´ erentes mesures de risque que nous allons pr´ esenter par la suite [64].

1.1 Classes d’actifs

Il existe plusieurs cat´ egories d’actifs, certains plus risqu´ ees d’autres moins, et il est n´ ec´ essaire de connaitre le couple rendement/risque que propose chaque cat´ egorie. Nous retrouvons ci-apr´ es les quatre classes traditionnelles [14].

1.1.1 Les actions

Une action est un titre de propri´ et´ e sur une fraction du capital qu’une entreprise d´ ecide de vendre aux investisseurs. L’action est l’actif le plus n´ egoci´ e sur les march´ es financiers [14].

Une action est un titre de participation dans le capital social de son ´ emetteur (soci´ et´ e

de capitaux) . Dans sa forme traditionelle elle donne droit ` a la gestion de la soci´ et´ e (une

(12)

Chapitre 1. Th´ eorie Moderne de Portefeuille : Cadre Conceptuel et Etat de l’Art

action = une voix dans les votes en assembl´ ee g´ en´ erale), et aux b´ en´ efices (sous forme de dividendes) [8].

1.1.2 Les obligations

A l’inverse de l’action qui est un titre de propri´ et´ e, une obligation est un titre d’endet- tement alors est un titre de cr´ eance. En effet, ce titre repr´ esente la part d’un emprunt long terme. L’´ emetteur de l’obligation s’engage ` a rembourser ` a terme son porteur et ` a lui verser des int´ erˆ ets ` a des dates sp´ ecifi´ ees. Elle peuvent ˆ etre ´ emises par l’´ etat, les col- lectivit´ es locales, les ´ etablissement publics, les interm´ ediaires financiers et les soci´ et´ es, ou encore par des entreprises priv´ ees, en fixant ` a l’avance la dur´ ee du prˆ et et ses mo- dalit´ es de r´ emun´ eration. L’obligation ne donne aucun droit sp´ ecifique sur les b´ en´ ef´ eces de l’entreprise mais son remboursement est prioritaire en cas de faillite.Les obligations sont g´ en´ eralement consid´ er´ ees comme un investissement plus sˆ ur que les actions dans la mesure o` u le coupon et le taux d’int´ erˆ ets sont connus ` a l’avance [8, 14].

1.1.3 Les fonds mon´ etaires

Les fonds mon´ etaires procurent aux investisseurs un revenu r´ egulier et sont g´ en´ er´ es de mani` ere ` a conserver une valeur stable.

En effet, ils sont consid´ er´ es comme des investissements prudents. Ils offrent une perfor- mance certes minimale, mais restent tr` es liquides et prot` egent le capital. C’est sans doute les placements les plus s´ ecuris´ es et les moins risqu´ es vue la disponibilit´ e imm´ ediate des liquidit´ es en cas de besoin [14].

1.1.4 L’immobilier

L’immobilier est aussi un produit pris en compte dans la gestion d’actifs. Il reste quand mˆ eme une classe d’actifs diff´ erente des classes d’actifs traditionnelles (actions, obligations) dans le sens qu’il est ´ eminemment attach´ e a l’´ economie r´ eelle. L’investissement immobilier permet de profiter d’un revenu sous forme de loyer. En effet, il consiste en l’achat de logements ou de bˆ atiments en vue d’augmenter les pro ts grˆ ace aux loyers ou aux plus- values r´ ealis´ ees lors des reventes [14].

1.2 Rendement

La valeur d’un actif est mod´ elis´ e par une variable al´ eatoire. Toute fonction de variables al´ eatoires est aussi une variables al´ eatoire. Le rendement d’un actif et celui d’un porte- feuille d’actifs sont donc aussi des variables al´ eatoires [10].

La rentabilit´ e est une notion fondamentale en finance et elle apparait dans l’expression

de la plupart des mod` eles de gestion de portefeuille [64].

(13)

Chapitre 1. Th´ eorie Moderne de Portefeuille : Cadre Conceptuel et Etat de l’Art

Figure 1.1 : Sch´ ema des conventions de temps.

1.2.1 Rendements simples

Nous ne consid´ erons que le sc´ enario en temps discret, dans lequel s’´ ecoule une p´ eriode (par exemple, une semaine ou un mois) entre les temps t et t + 1, t 0 et entier. Par convention, la p´ eriode t est celle ´ ecoul´ ee entre les temps t 1 et t.

Soit { P

t

} , P

t

0, le processus stochastique des prix d’un actif, pour un t .

Si P

t

est le prix d’un actif ` a la p´ eriodet et que P

t1

est le prix de cet actif ` a la p´ eriode t 1, son rendement simple entre t 1 et t est

r

t

= P

t

P

t1

P t 1

Remarque 1.1 l’indice t identifie la p´ eriode o` u le rendement est connu

— Les rendements simples sont utiles pour les donn´ ees en coupe transversale puisque le rendement d’un portefeuille est la moyenne pond´ er´ ee des rendements des actifs qui le constituent

— Plusieurs actifs financiers g´ en` erent des flux mon´ etaires. Les actions, par exemple, paient parfois un dividende ` a une fr´ equence plus ou moins r´ eguli` ere. Si un actif paie un dividende D

t

` a la p´ eriode t, sont rendement simple est

r

t

= P

t

+ D

t

P

t1

P

t1

— Certains analysts n´ egligent les dividendes. Ils sous-estimes donc le rendement des titres qui paient des dividendes. Dans des analyses comparatives, les titres qui paient de gros dividendes sont d´ esavantag´ es. Certaines sources de donn´ ees (Yahoo ! Finance, par exemple) ajustent les prix des actions historiques. Lorsqu’un dividende est pay´ e, les prix historiques sont r´ eduits du montant du dividende.

P

tajust1

= P

t−1

D

t−1

— D’autres ´ ev´ enements de march´ e (fusions, acquisition, divisions, dividendes en ac- tions, etc.) peuvent affecter l’interpr´ etation du prix d’un actif financier.

— On utilise donc les rendements simple lorsqu’on consid` ere plusieurs actifs et une

seule p´ eriode.

(14)

Chapitre 1. Th´ eorie Moderne de Portefeuille : Cadre Conceptuel et Etat de l’Art

De nombreux mod` eles financiers utilisent des s´ eries historiques de cours boursiers pour estimer les propri´ et´ es stochastiques des rentabilit´ es correspondantes comme leur rentabi- lit´ e moyenne. Plusieurs m´ ethodes sont disponibles. Celle que nous avons adopt´ ee consiste en le calcul des rentabilit´ es de sous-p´ eriodes, ensuite nous utilisons la formule suivante

¯ r =

1 T

X

T t=1

r

t

.

Nous consid´ erons, en g´ en´ eral, que les rentabilit´ es des cours boursiers poss` edent des densit´ es de probabilit´ es normales et identiquement distribu´ ees. Soit ‘a’ un actif avec la rentabilit´ e al´ eatoire r qui poss` ede une telle distribution avec la moyenne µ et l’ ecart-type σ c’est- a-dire r v N (µ; σ). Dans ce cas, la densit´ e de probabilit´ e de la variable al´ eatoire r s’´ ecrit

f (r) = 1 σ

2π exp

"

1 2

r µ σ

2

# .

L’hypoth` ese selon laquelle les rentabilit´ es des actifs financiers sont normalement dis- tribu´ ees est souvent faite dans la litt´ erature financi` ere. Mais ceci ne correspond pas a la r´ ealit´ e. En g´ en´ eral, les rentabilit´ es sur les march´ es ne suivent pas de loi gaussienne.

Dans ce cas deux autres propri´ et´ es stochastiques entrent en jeu, ce sont la skewness et la kurtosis.

La skewness (ou coefficient d’asym´ etrie) d’une variable al´ eatoire se d´ efinit par : Sk = E [r E (r)]

3

σ (r)

3

Pour calculer la coefficient d’asym´ etrie d’une s´ erie de m observations, on utilise la formule : Sk =

1 m−1

P

m

t=1

[r

t

µ]

3

ˆ

σ (r)

3

Pour une distribution normale, Sk est ´ egale a z´ ero

La kurtosis (ou indice d’aplatissement) d’une variable al´ eatoire est : K = E [r E (r)]

4

σ (r)

4

et de la mˆ eme mani` ere que la coefficient d’asym´ etrie, l’indice d’aplatissement d’une s´ erie de m observations se calcule en utilisant la relation [64]

K =

1 m−1

P

m

t=1

[r

t

µ]

4

ˆ

σ (r)

4

Pour une distribution normale K = 3.

(15)

Chapitre 1. Th´ eorie Moderne de Portefeuille : Cadre Conceptuel et Etat de l’Art

1.2.2 Rendements logarithmiques

Lorsqu’on utilise des s´ eries temporelles, on pr´ ef` ere souvent calculer des rendements conti- nus. Le rendement continu entre t 1 et t est d´ efini par :

P

t

= P

t1

exp (r

t

) r

t

= ln

P

t

P

t1

= P

t

P

t1

o` u P

t

= ln(P

t

). Ici encore, on prendra soin d’utiliser des prix ajust´ es pour les paiements de dividendes[10].

Les rendements continus pr´ esentent un avantage important : la composition des rende- ments est additive :

r

a

= P

t

P

t12

= (P

t

P

t1

) + (P

t1

P

t2

) + ... + (P

t11

P

t12

)

= r

t

+ r

t−1

+ ... + r

t−11

.

On utilise donc les rendements simple lorsqu’on consid` ere un seul actif et plusieurs p´ eriodes.

1.3 Le risque

Il est tr´ es difficile de d´ efinir de fa¸con g´ en´ erale la notion de risque. Le risque est li´ e ` a la survenance d’un ´ ev´ enement que l’on ne peut pr´ evoir qui a des cons´ equences importantes sur le bilan de la banque. Il faut donc distinguer le caract` ere al´ eatoire et impr´ evisible (qui est l’origine du risque) de l’enjeu (cons´ equence finale) [75].

Le risque est d´ efini de diff´ erentes mani` eres. L’une d’elles que nous allons adopter est celle de ATHEARN et CROWE dont le risque est d´ efini comme ´ etant li´ e a l’incertitude et d’autre part, caus´ e par les ´ ecarts non attendus des r´ esultats par rapport a l’objectif attendu. C’est-` a-dire que nous fixons l’objectif et nous comparons les r´ ealisations des rentabilit´ es des actifs par rapport ˆ a cet objectif. La d´ efinition des r´ ealisations qu’elles soient attendues ou non attendues d´ epend de l’investisseur et/ou du mod` ele. D’apr´ es cette d´ efinition, le risque porte sur deux aspects importants. D’abord, le risque est de nature incertaine et de plus, il n’est pas attendu. Cette d´ efinition distingue les r´ ealisations qui portent sur des profits et celles qui indiquent les pertes. Parfois les r´ ealisations qui sont les plus proches de l’objectif fix´ e en amont sont consid´ er´ ees comme les r´ ealisations attendues et parfois nous souhaitons seulement les r´ ealisations qui sont superieures a un objectif pr´ ecis [64].

D´ es que nous parlons de risque, nous pouvons distinguer deux types d’actifs financiers.

Les actifs sans risques et les actifs risqu´ es. Un actif sans risque est celui qui atteint le

r´ esultat, x, avec certitude, c’est- ˆ a-dire avec la probabilit´ e de 1, ou p(x) = 1 o` u p est

la fonction de probabilit´ e. A l’oppos´ e, nous avons l’actif risqu´ e pour un tel actif, il y a

(16)

Chapitre 1. Th´ eorie Moderne de Portefeuille : Cadre Conceptuel et Etat de l’Art

plusieurs r´ esultats possibles, comme x

1

, x

2

, . . . , x

n

, parmi les quels il y a au moins un x

i

avec 0 < p(x

i

) < 1..

l’investisseur ne peut pas n´ egliger l’inffluence des d´ ecisions des autres investisseurs sur les siennes. En g´ en´ eral, un investisseur peut avoir trois attitudes diff´ erentes :

1. risque-averse (riscophobe) : l’investisseur qui ´ evite le risque, 2. risque-neutre : l’investisseur qui est indiff´ erent ˆ a la prise de risque, 3. riscophile : l’investisseur qui n’h´ esite pas ˆ a prendre le risque.

Alors chaque investisseur ´ eprouve une certaine aversion au risque.

1.3.1 Le concept de risque :

La th´ eorie du risque a ´ et´ e d´ evelopp´ ee par Frank Knight qui s’est int´ eress´ e ` a d´ emontrer qu’il existe deux types de risques. Le premier type de risque est probabiliste et il peut ˆ etre assur´ e tandis que le deuxi` eme type de risque est celui de risque d’entreprise qui est non assur´ e car li´ e ` a la politique de cette derni` ere et non pas aux al´ eas.

— Le risque est un ´ ev` enement pr´ ejudiciable et al´ eatoire qui ne r´ epond ` a aucun facteur d´ etermin´ e. Il correspond au hasard et non ` a l’incertitude.

— Le risque est d´ efini par l’impr´ ecision au niveau de sa survenance, sa r´ ealisation, la date de sa r´ ealisation et son montant.

— La mesure de risque se base sur l’analyse de la probabilit´ e, de survenance d’un

´

ev` enement et de son estimation.

— La gestion des risques au sein des entreprises a suscit´ e ces derni` eres ann´ ees un int´ erˆ et croissant ce qui a conduit ` a des investissements importants pour le d´ eveloppement de syst` emes efficaces et la mise en ouvre une s´ erie d’outils de gestion de risque.

— La gestion des risques joue un rˆ ole tr` es important dans la stabilit´ e financi` ere des entreprises. En effet, plusieurs entreprises ont connu des pertes financi` eres impor- tantes, ou mˆ eme des faillites ` a cause d’une mauvaise maˆıtrise des risques.

— La gestion de risques joue un rˆ ole important dans la stabilit financi` ere des entre- prises. Plusieurs entreprises ont connu des pertes financi` eres importantes, ou mˆ eme des faillites ` a cause d’une mauvaise maˆıtrise des risque.

— La mesure de risque se base sur l’estimation probabiliste (une approche probabi- liste).

1.3.2 Les types de risques

1.3.2.1 Les risques non quantifiables :

Sont des risques non mesurables peuvent engendrer des pertes financi` eres importantes (le

risque op´ erationnel, le risque m´ ediatique, le risque l´ egal) sont parmi les principaux risques

appartenant ` a cette famille.

(17)

Chapitre 1. Th´ eorie Moderne de Portefeuille : Cadre Conceptuel et Etat de l’Art

1.3.2.2 Les risques quantifiables :

Sont des risques mesurables comme le risque de cr´ edit et le risque de march´ e. Le risque de march´ e r´ esulte des variations de plusieurs facteurs du march´ e comme le risque de change et le risque de taux d’int´ erˆ et. Le risque de cr´ edit (ou risque de d´ efaut) survient lorsqu’une contrepartie ne peut ou ne veut remplir ses obligations contractuelles.

Voici une liste non exhaustive des diff´ erents risques que peut rencontrer un ´ eablissement financier :

Risque de cr´ edit

– Risque de d´ efaillance (default risk)

– Risque de d´ egradation de la valeur de la cr´ eance (downgrading risk)

Risque de march´ e

– Risque de taux d’int´ erˆ et – Risque de change

– Risque de mod` ele – Risque op´ erationnel

– Risque de d´ esastre – Risque de fraude – Risque de traitement – Risque technologique – Risque juridique – Risque de liquidit´ e

Risque strat´ egique

1.3.3 Les mesures classiques de risque

Dans cette section nous allons aborder la quantification de risque. Pour cela nous allons exposer certaines mesures de risque.

Nous rappelons ci-dessous quelques mesures de risque classiques.

On s’int´ eresse d’abord aux mesures de risque qui permettent de comparer des actifs ayant le mˆ eme rendement esp´ er´ e [10].

1.3.3.1 La variance

Une mesure classique de risque est la variance, V ar, et sa racine carr´ ee dite ´ ecart-type, σ.

Il est bien connu que Markowitz est la premi` ere personne qui a utilis´ e la variance comme la mesure de risque[57, 59].

Markowitz a bien marqu´ e le d´ ebut de la th´ eorie moderne de portefeuille ou pour la premi` ere fois, le probl` eme de choix de portefeuille a ´ et´ e clairement mis au point et r´ esolu [64].

efinition 1.1 Soit f la fonction de densit´ e d’une variable al´ eatoire r, nous d´ efinissons la variance de r par

V ar (r) = σ

2

(r) :=

Z

+

−∞

(r E (r))

2

f (r)dr

(18)

Chapitre 1. Th´ eorie Moderne de Portefeuille : Cadre Conceptuel et Etat de l’Art

O` u E est l’op´ erateur d’esp´ erance math´ ematique et r est une variable continue. Pour le cas o` u r est une variable discr` ete, la variance de r se d´ efinit par

V ar (r) = σ

2

(r) := X

r

(r E (r))

2

f (r) O` u la somme est effectu´ ee sur toutes les valeurs possibles de r.

Si r est le rendement d’un portefeuille, alors la variance de rendement sera le carr´ e de l’´ ecart type du rendement par rapport a l’esp´ erance math´ ematique du rendement [64].

1.3.3.2 ´ ecart-type

La variance satisfait cette condition. Dans le cas o` u un actif est normalement distribu´ e, elle d´ ecrit compl` etement son risque. Pour obtenir une mesure dans les mˆ emes unit´ es que l’actifs, on consid` ere plutˆ ot l’´ ecart-type,

σ (r) = v u u t 1

T X

T

t=1

((r r)) ¯

2

.

Remarquons qu’on peut calculer l’´ ecart-type de n’importe quel actif, ce qui permet d’or- donner tous les actifs selon leur risque [10].

1.3.3.3 ´ ecart absolu moyen

La variance ´ echantillonnale est la moyenne du carr´ e des ´ ecarts ` a la moyenne. Une alter- native consiste ` a consid´ erer la moyenne de la valeur absolue des ´ ecarts ` a la moyenne,

eam = 1 T

X

T t=1

| r

t

r ¯ |

Intuitivement, le risque est une propri´ et´ e qu’un investisseur veut ´ eviter, c’est quelque chose de “mauvais”. Si deux actifs on le mˆ eme rendement esp´ er´ e, on voudrait celui qui est le moins risqu´ e. Diff´ erents investisseurs pourraient donc avoir des d´ efinitions diff´ erentes du risque[10].

1.3.3.4 Semi-´ ecart-type

L’´ ecart-type est parfois critiqu´ e comme ´ etant une mesure sym´ etrique, qui accorde autant d’importance aux ´ ecarts positifs qu’aux ´ ecarts n´ egatifs. Certains investisseurs d´ efinissent le risque par le semi-´ ecart-type

s

(r) = v u u t 1

T

T

X

t=1

1

(r<¯r)

(r

t

r) ¯

2

(19)

Chapitre 1. Th´ eorie Moderne de Portefeuille : Cadre Conceptuel et Etat de l’Art

o` u T

= P

T

t=1

1

(r<¯r)

,soit le nombre de rendements inf´ erieurs ` a la moyenne. Ainsi, la semi-variance est un estimateur de l’esp´ erance conditionnelle

σ

2

(r) = E

(r r) ¯

2

/ (r < r) ¯ .

Remarquons que l’utilisation de T

n’est pas uniforme dans la litt´ erature. On utilise par- fois T , surtout dans les ouvrages plus techniques. C’est ce que nous ferons d` es maintenant [10].

1.3.3.5 Semi-´ ecart-type cible

Pour certains investisseurs, le rendement moyenne n’est pas n´ ecessairement le rendement de r´ ef´ erence. On peut d´ efinir le semi-´ ecart-type cible par :

s

τ

(r) = v u u t 1

T X

T

t=1

1

(rt<τ)

(r

t

τ )

2

o` u τ est une performance minimale cible (le rendement d’un indice de r´ ef´ erence ou le rendement sans risque, par exemple).[10].

1.3.3.6 Moments partiels inf´ erieurs

La notion de semi-´ ecart-type cible (la racine carr´ ee de la semi-variance cible) peut ˆ etre g´ en´ eralis´ ee. Un moment partiel inf´ erieur (lower partial moments) prend la forme

LP M

α,τ

(R) = Z

τ

−∞

(R τ)

α

f (R) dR

= E

(R

t

τ )

2

/ (R < τ )

Pr (R < τ ) . qu’on estime par :

LP M \

α,τ

(R) = 1 T

X

T t=1

1

(Rt<τ)

(R τ )

α

. Cette notion est aussi appel´ ee downside risk dans la litt´ erature.

Le semi-´ ecart-type cible peut dont s’´ ecrire [1].

S ¯

τ

=

q LP M \

2,τ

.

1.3.3.7 Valeur ` a Risque

La valeur ` a Risque est une mesure populaire : V aR

α

= inf

y

{ F

Y

(y) α }

O` u y = x

0

x, et x

0

est la valeur initiale de l’actif : y est donc une perte. Elle mesure la perte associ´ ee ` a un actif lorsque que le sc´ enario correspondant au quantile α se r´ ealise. Si la variable est continue, on peut aussi l’exprimer comme la solution de[10]:

Pr (Y V aR

α

) = α.

La VaR est g´ en´ eralement utilis´ ee de deux fa¸cons distinctes :

(20)

Chapitre 1. Th´ eorie Moderne de Portefeuille : Cadre Conceptuel et Etat de l’Art

— en premier lieu, elle peut servir ` a calculer ( ` a posteriori) le risque auquel a ´ et´ e expos´ e un portefeuille dans le pass´ e ; cette mesure peut servir, par exemple, ` a comparer la performance de diff´ erents placements.

— En second lieu, la VaR peut servir ` a pr´ evoir le risque auquel sera expos´ e un porte- feuille dans le futur. Cette pr´ evision peut permettre de choisir lequel, d’entre deux placements, offrira le rendement esp´ er´ e le plus ´ elev´ e pour un niveau de risque fix´ e.

Ces deux utilisations de la VaR sont compl´ ementaires. La premi` ere est pertinente ` a l’´ evaluation des performances r´ ealis´ ees, alors que la deuxi` eme sert dans la constitution des strat´ egies de placement. Nous faisons usage de ces deux points de vue dans ce m emoire [13].

1.3.3.8 ethode Morningstar

Les mesures pr´ ec´ edentes ne permettent que de comparer des actifs d’esp´ erance de rende- ment ´ egales. La soci´ et´ e Morningstar ` a adopt´ e une m´ ethode qu’elle a appel´ ee Morningstar Risk-Adjusted Return pour classer les actifs qui repose sur l’estimation de [1, 10] :

M RAR = E

(1 + R

t

)

2

12

1.

1.3.4 Caract´ eristiques d’une mesure de risque

Avant d’entamer la section sur les outils de mesure de risque, il est n´ ecessaire de savoir ce qu’est une mesure de risque et quelles sont les propri´ et´ es qu’elle doit v´ erifier.

Les mesures de risque ont pour objectif de quantifier les pertes engendr´ ees par le risque selon son type. Une mesure de risque est une fonction qui fait correspondre ` a un risque al´ eatoire X un nombre positif ρ(X). [14].

En pratique, X peut repr´ esenter une perte financi` ere de montant X et ρ(X) le montant du capital n´ ecessaire pour faire face ` a la perte X. En d’autres termes, ρ(X) repr´ esente le niveau de danger inh´ erent ` a X [14].

Dans cette section, nous allons pr´ esenter quelques notions bas´ ees sur des axiomes. Ces notions vont nous aider ` a bien comparer les diff´ erentes mesures de risque. Chacune d’entre elles est un ensemble de crit` eres qu’un portefeuille doit satisfaire pour qu’il soit classifi´ e comme celui que l’investisseur pr´ ef` ere [64].

Pour un investisseur, l’objectif principal est la rentabilit´ e et la profitabilit´ e. Alors nous allons d’abord ´ etudier une notion qui est bas´ ee sur l’hypoth` ese selon laquelle l’investisseur connaˆıt bien la loi de distribution des rendements [64].

1.3.4.1 Le crit` ere de Maximum d’Esp´ erance d’Utilit´ e

La th´ eorie d’utilit´ e fournit une fa¸con d’exprimer la sensibilit´ e de l’individu au risque.

Pour cela, la th´ eorie d’utilit´ e ´ etudie les pr´ ef´ erences des individus et leurs repr´ esentations num´ eriques au sein des fonctions d’utilit´ e.

En 1947, von Neumann et Morgenstern ont mis au point un ensemble d’axiomes concer-

nant les pr´ ef´ erences des individus. Dans leur etude, von Neumann et Morgenstern ont

(21)

Chapitre 1. Th´ eorie Moderne de Portefeuille : Cadre Conceptuel et Etat de l’Art

adopt´ e une convention. Ils supposent que l’individu connaˆıt la loi de distribution des revenus al´ eatoires. Ici, il est suppos´ e que l’individu est rationnel, c’est- ` a-dire que son comportement est d´ efini au moyen de cet ensemble d’axiomes.

Pour chaque individu (rationnel) on peut d´ efinir une fonction d’utilit´ e dont l’argument est la richesse et l’individu peut utiliser l’esp´ erance math´ ematique afin de classiffier tous les investissements risqu´ es. Plus pr´ ecis´ ement, une fonction d’utilit´ e est une r` egle par laquelle on associe un indice num´ erique ` a chacun des investissements de sorte que les pr´ ef´ erences de l’individu se manifestent par le fait que cet indice d’utilit´ e est d’autant plus ´ elev´ e que la pr´ ef´ erence est grande.

Soit L = { p

1

A

1

, p

2

A

2

, . . . , p

n

A

n

} un investissement risqu´ e simple ou plus simplement un investissement (risqu´ e), o` u les A

i

sont des n r´ esultats possibles avec les probabilit´ es p

i

. Nous pouvons prouver qu’en acceptant ces axiomes, le crit` ere de (MEU) est la meilleure m´ ethode de prise de d´ ecision et les investissements doivent ˆ etre classifies selon leur esp´ erance d’utilit´ e.

Qu’en acceptant ces axiomes, le crit` ere de (MEU) est la meilleure m´ ethode de prise de d´ ecision et les investissements doivent ˆ etre classifi´ es selon leur esp´ erance d’utilit´ e.

efinition 1.2 :(le crit` ere d’esp´ erance d’utilit´ e). Les pr´ ef´ erences d’un individu satisfont au crit` ere d’esp´ erance d’utilit´ e s’il existe une fonction croissante U appel´ ee fonction d’uti- lit´ e telle que l’individu pr´ ef` ere le rendement al´ eatoire w

1

au rendement al´ eatoire w

2

si et seulement si l’esp´ erance d’utilit´ e de w

1

est sup´ erieure ` a celle de w

2

:

w

1

pr´ ef´ er´ e ` a w

2

⇐⇒ E [U (w

1

)] E [U (w

2

)]

La croissance de la fonction d’utilit´ e exprime simplement que l’individu aime la richesse.

En utilisant la fonction d’utilit´ e, les comportements des individus ` a l’´ egard du risque se traduisent comme suit :

1. risque-averse (riscophobe) : Si l’investisseur est risque-averse, alors U (w) >

E[U (w)], tel que U ˝ (w) < 0,

2. risque-neutre : Si l’investisseur est risque-neutre, alors U (w) = E[U (w)], tel que U ˝ (w) = 0,

3. riscophile : Si l’investisseur est riscophile, alors U(w) < E[U(w)], tel que U ˝ (w) >

0

1.3.4.2 Dominance stochastique

La Dominance Stochastique etait la g´ en´ eralisation des travaux en th´ eorie de majorisation comme [36] et [51, 76]. En suite, il a ´ et´ e largement utilis´ e en economie et en finance voir [6, 51, 68] et les r´ ef´ erences incluses .

D’apr´ es [10], Les mesures classiques de risque sont quelque peu arbitraires. Peut-on d´ efinir

une mesure du risque qui soit valide pour tous les investisseurs averses au risque et qui

tiennent compte de l’esp´ erance de rendement ? Oui, mais elles ne permettent g´ en´ eralement

pas d’ordonner tous les actifs [10].

(22)

Chapitre 1. Th´ eorie Moderne de Portefeuille : Cadre Conceptuel et Etat de l’Art

En gestion de portefeuille, la notion de DS est utilis´ ee pour mettre en ordre les portefeuilles et nous supposons que nous connaissons la distribution des rendement al´ eatoires des actifs.

A la base de cette convention sur les distributions, DS met en ordre les rendements des actifs tels que les rendements dominants ont une esp´ erance d’utilit´ e sup´ erieure ` a celles des rendements domin´ es. Ce raisonnement s’applique sans avoir besoin d’information sur la fonction d’utilit´ e des investisseurs.

Dominance stochastique du premier ordre :

Une mani` ere naturelle de comparer deux variables al´ eatoires est de comparer leur fonction de r´ epartition. Ce crit` ere correspond en ´ economie ` a la notion de dominance stochastique

`

a l’ordre 1, not´ ee DSI.

On dit qu’un actif x domine un actif y au sens de la dominance stochastique du premier ordre si

F

X

(z) F

Y

(z) , pour tout z.

Une variables al´ eatoires x domine un actif y au sens de la dominance stochastique du premier ordre si il existe une variable al´ eatoire δ non positive telle que

y = x + δ

Le crit` ere de la dominance stochastique ` a l’ordre 1 est un crit` ere tr` es fort. Car cette d´ efinition du risque permet d’ordonner peu d’actifs financiers. Tout investisseur pour qui plus de rendement est pr´ ef´ erable sera d’accord avec cet ordre. On peut utiliser des crit` eres de dominance stochastique ` a l’ordre k, k > 2..

Dominance stochastique du second ordre :

On dit qu’un actif x domine un actif y au sens de la dominance stochastique du second

ordre si Z

z

−∞

F

X

(s) F

Y

(s) ds 0, pour tout z.

La fonction F (x) est continue, convexe, positive et croissante. Elle correspond ` a l’aire sous la fonction de r´ epartition. En termes de variables al´ eatoires, x domine un actif y au sens de la dominance stochastique du deuxi` eme ordre.

si il existe une variable al´ eatoire δ non positive et une variable al´ eatoire θ d’esp´ erance nulle telles que

y = x + δ + θ.

Cette d´ efinition du risque permet d’ordonner plus d’actifs financiers que la dominance stochastique du premier ordre, mais pas tous. Tout investisseur averse au risque sera d’accord avec cet ordre [10]

Dominance stochastique ` a l’ordre k.

Plus g´ en´ eralement, on peut d´ efinir les fonctions F

Xk

, k 2 pour des variables al´ eatoires appartenant ` a L

k1

(Ω, z , P ) de la mani` ere suivante :

η R, F

Xk

(η) = Z

η

−∞

F

Xk−1

(u) du,

auxquelles on associe la dominance stochastique ` a l’ordre k.

(23)

Chapitre 1. Th´ eorie Moderne de Portefeuille : Cadre Conceptuel et Etat de l’Art

efinition 1.3 On dit qu’une variable al´ eatoire X L

k1

(Ω, z , P ) domine stochasti- quement une variable al´ eatoire Y L

k1

(Ω, z , P ) ` a l’ordre K si :

η R, F

Xk

(η) F

Yk

(η) .

Remarquons que la dominance stochastique ` a un ordre k entraˆıne la dominance stochas- tique ` a tous les ordres sup´ erieurs.

1.3.4.3 Mesures de risque coh´ erentes

Dans cette partie, nous rappelons les propri´ et´ es fondamentales des mesures de risque ` a travers la notion de mesure de risque coh´ erente.[80], les mesures de risque les plus utilis´ ees en pratique ne refl` etent pas de fa¸con correcte les pr´ ef´ erences des investisseurs. Afin de surmonter ce probl` eme, des mesures de risque coh´ erentes introduite par Artzner et al.

dans [5] ont d´ efini quatre propri´ et´ es qu’une mesure de risque doit satisfaire pour qu’elle soit coh´ erente.

Mesures de risque mon´ etaires :

Soit X un ensemble de variables al´ eatoires ` a valeurs r´ eelles tel que :

G χ, m R , G + m χ

efinition 1.4 Une mesure de risque R est dite mon´ etaire si elle v´ erifie les deux pro- pri´ et´ es suivantes :

P1-. Monotonicit´ e (dominance stochastique du premier ordre) : G

1

, G

2

χ, G

1

G

2

= R (G

1

) R (G

2

)

P2- Equivariance par translation : m R , R (G + m) = R (G) m.

— La Monotonicit´ e exprime que si le risque d’un portefeuille est sup´ erieur ` a celui d’un autre, le capital requis pour le premier portefeuille est sup´ erieur ` a celui requis pour le deuxi` eme.Donc un portefeuille rapporte toujours plus qu’un autre alors il est moins risqu´ e.

— La propri´ et´ e d’invariance par translation signifie que si l’addition (ou la soustrac- tion) d’un montant initial sˆ ur m au portefeuille initial dans l’actif de r´ ef´ erence, la mesure de risque R accroˆıt (ou d´ ecroˆıt) la mesure du risque par par m. On constate que l’addition d’un montant initial ´ egal au R(G) r´ eduit le risque ` a 0 soit R(G + R(G)) = R(G) R(G) = 0 .

Mesures de risque coh´ erentes :

Le risque auquel est soumis l’actif financier pour une p´ eriode de temps est d´ ecrit par la variation de sa valeur ou son rendement dans cette p´ eriode.

Dans ce cas, la mesure de risque est une fonction R faisant correspondre ` a un risque X , un nombre positif not´ e R (X) qui permet de quantifier le niveau de danger inh´ erent ` a ce risque.

Pour une mesure de risque R donn´ ee, consid´ erons les propri´ et´ es suivantes :

P3. Sous-additivit´ e : G

1

, G

2

χ, R (G

1

+ G

2

) R (G

1

) + R (G

2

).

(24)

Chapitre 1. Th´ eorie Moderne de Portefeuille : Cadre Conceptuel et Etat de l’Art

La condition de sous-additivit´ e requi` ere que la mesure de risque tienne compte des effets de diversification. Pour qu’elle soit satisfaite, le risque d’un portefeuille doit ˆ etre inf´ erieure ou ´ egal ` a la somme des risques de ses composantes.

Si nous fusionnons deux portefeuilles A et B, la mesure de risque du portefeuille r´ esultant ne doit pas ˆ etre sup´ erieure ` a la somme des mesures de risque initiales de A etB .

Donc la propri´ et´ e de sous-additivit´ e garantit la diminution du risque par diversification du portefeuille.

cette propri´ et´ e refl` ete le gain de diversification.

P4. Positive homog´ en´ eit´ e : Si k > 0 et Si G χ alors R (kG) = kR (G)

La propri´ et´ e d’homog´ en´ eit´ e positive peut ˆ etre vue comme un cas limite de la sous- additivit´ e qui repr´ esente l’absence de diversification.

R (G

1

+ G

2

+ ... + G

k

) = kR (G)

La multiplication de chaque risque d’un portefeuille par un scalaire positif augmente la mesure de risque par le mˆ eme scalaire.

efinition 1.5 Une mesure de risque est dite coh´ erente si elle v´ erifie les propri´ et´ es PI, P2, P3 et P4.

Remarques :

1. La Value-at-Risk, bien que tr` es largement utilis´ ee en finance, n’est pas une mesure de risque coh´ erente car elle n’est pas sous-additive, de mˆ eme pour la variance. Par contre la CVaR est une mesure de risque coh´ erente.

2. La sous-additivit´ e et la positivement homog´ en´ eit´ e garantissent la convexit´ e de la mesure de risque, ce qui est un avantage en gestion de portefeuille.

3. Les mesures de risques classiques sont d´ efinies arbitrairement, mais peuvent n´ eanmoins ˆ

etre utiles pour fins de communication ou pour simplifier certains calculs.

4. Finalement, il est possible de retreindre le choix d’une mesure de risque selon des crit` eres de coh´ erence. Ces crit` eres nous incitent ` a retenir la VaR conditionnelle.

1.4 Portefeuille optimal : Optimisation du portefeuille

1.4.1 efinition d’un portefeuille

Le portefeuille boursier est la repr´ esentation de l’ensemble des actifs sur lesquels un agent

´ economique a investi sur le march´ e financier. Ces actifs peuvent provenir de diff´ erentes classes : actions, obligations, produits d´ eriv´ es, mati` eres premi` eres, fonds, cash, etc. Ce portefeuille peut ˆ etre g´ er´ e par classe d’actif ou par type de gestion (active, passive, etc.).

Que l’investisseur soit un professionnel ou un particulier, le portefeuille est g´ en´ eralement constitu´ e en r´ ef´ erence ` a un couple rendement/risque. Plus le rendement du portefeuille est

´ elev´ e et plus les actifs sont risqu´ es. Pour limiter les risques. La valeur des actifs financiers

va ´ evoluer notamment en fonction de multiples param` etres qui sont le capital disponible,

le temps, le niveau des taux d’int´ erˆ et r´ eels et enfin, la croissance ´ economique et l’inflation.

(25)

Chapitre 1. Th´ eorie Moderne de Portefeuille : Cadre Conceptuel et Etat de l’Art

L’investisseur, pour diminuer son risque, proc` ede souvent ` a une diversification de ses actifs.

Le principe de la diversification consiste ` a trouver un bon ´ equilibre entre les diff´ erentes cat´ egories d’actifs financiers composant un portefeuille. Cette r´ epartition d´ epend bien

´ evidemment des souhaits et des objectifs sp´ ecifiques ` a chaque investisseur.

Ces derniers poss` edent chacun une volatilit´ e qui leur est propre et sont plus ou moins corr´ el´ es entre eux. La d´ etention de plusieurs actifs diff´ erents tend donc, g´ en´ eralement,

`

a diminuer la volatilit´ e globale du portefeuille. Le degr´ e de risque (nature des titres d´ etenus, volatilit´ e historique, diversification), le dynamisme de la strat´ egie (fr´ equence de r´ eajustement de l’allocation) et le rendement obtenu sont des caract´ eristiques impor- tantes, servant ` a comparer les portefeuilles boursiers entre eux.

Pour optimiser la valeur future d’un portefeuille, la strat´ egie d’investissement ` a mettre en œuvre reposera sur une bonne analyse fondamentale. Celle-ci servira de cadre de r´ ef´ erence pour l’allocation strat´ egique des actifs. La combinaison de strat´ egies d’investissement ayant une pr´ epond´ erance des facteurs macro´ economiques dans le processus d’investisse- ment) et une pr´ epond´ erance des facteurs micro´ economiques apporte de la valeur ajout´ ee dans la gestion de portefeuille.

1.4.2 La diversification

La maximisation de rentabilit´ e exige une gestion minutieuse des risques et cette derni` ere se fait ` a base de la diversification. La diversification stipule le mixage d’un portefeuille d’actifs entre ceux risqu´ es ou bien les combiner avec d’autres sans risque. C’est l’investissement dans diff´ erentes classes d’actifs ou dans diff´ erents secteurs, cette diversification ne signifie pas seulement d´ etenir beaucoup d’actifs.

Par exemple, si vous d´ etenez 50 titres li´ es au secteur Informatique, votre portefeuille n’est pas diversifi´ e. Par contre, si vous d´ etenez 50 titres qui sont ´ eparpill´ es parmi 20 diff´ erentes industries, vous ˆ etes en possession d’un portefeuille diversifi´ e.

Le concept de diversification est ` a la base de la th´ eorie. En effet, Markowitz penseque les diff´ erents titres composant un portefeuille ne peuvent ˆ etre s´ electionn´ esindividuellement et doivent au contraire ˆ etre choisi selon la corr´ elation de leurs variations ` a celles du reste des actifs du portefeuille

1.4.3 Portefeuille compos´ e de deux actions

On suppose qu’un actionnaire dispose de deux actions A et B dont les caract´ eristiques sont :

— Une rentabilit´ e mesur´ ee par l’esp´ erance (de A et B ),

— Cet actionnaire investit en pla¸cant α actions A et 1 α actions B, ce qui donne le portefeuille suivant :

P = αA + (1 α) B

(26)

Chapitre 1. Th´ eorie Moderne de Portefeuille : Cadre Conceptuel et Etat de l’Art

1.4.4 Portefeuille compos´ e de “n” actions

En g´ en´ eral, pour un portefeuille comportant n actifs P =

X

n i=1

A

i

x

i

. o u ` X

n

i=1

x

i

= 0

Soit P un portefeuille d’actions (A1, ..., An) repr´ esent´ e par un vecteur x = (x

1

, ..., x

n

) o` u x

i

d´ esigne la proportion du capital C investie dans l’action i a caract´ eris´ ee par son rendement incertain r

i

= (1, . . . , n).

Le rendement de ce portefeuille est d´ efini comme suit : R (x) =

X

n i=1

r

i

x

i

.

1.4.5 efinition dans le cadre d’un investissement

Nous introduisons ici les notations dans le cadre d’un investissement statique sur une unique p´ eriode de temps, o` u le portefeuille est constitu´ e ` a l’instant initial et conserve sa composition jusqu’` a l’instant final. Le g´ erant d´ ecide de la composition du portefeuille au d´ ebut d’une p´ eriode pr´ ed´ efinie selon sa fr´ equence d’investissement (par exemple une semaine, un mois, un an, etc.) d’apr` es ses estimations sur les caract´ eristiques des actifs disponibles, et ne modifie pas la quantit´ e d´ etenue dans chaque actif jusqu’` a la fin de la p´ eriode. De fa¸con externe ` a la gestion du portefeuille, la valeur de chaque actif varie dans le temps. Les variations de la valeur du portefeuille entre les instants initial et final sont donc enti` erement d´ etermin´ ees par les actifs le constituant. Une grande partie de la litt´ erature d´ emarre de ce cadre ´ el´ ementaire. Certains travaux traitent de p´ eriodes multiples, ou encore de la gestion dite “active” o` u, de fa¸con r´ ealiste, le g´ erant peut d´ ecider de modifier la composition selon les circonstances au cours de la p´ eriode [89].

On consid` ere K actifs de march´ e ayant chacun un prix dans le temps S

t1

, ..., S

tK

. ` a l’instant initial t = 0, on compose avec le capital C un portefeuille P en investissant sur les K actifs avec des poids w = (w

1

, ..., w

K

), c’est-` a-dire qu’on a

C = X

K k=1

w

k

S

0k

., et que la valeur P

t

du portefeuille dans le temps est :

P

t

= X

K k=1

w

k

S

tk

,

On utilisera de mani` ere plus pratique le rendement R

kT

des actifs entre l’instant initial et l’instant final T , d´ efini par :

R

kT

= S

Tk

S

0k

S

0k

,

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