N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES
A BRAHAM S CHNÉE Question 623
Nouvelles annales de mathématiques 2e série, tome 1 (1862), p. 379-380
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QUESTION 6 2 3 ;
SOLUTION DE M. ABRAHAM SCHNÉE, Elève du lycée Charlemagne.
Discussion de Véquation (6) de la page 3 20.
(O 4 - 2 hmayz + 2 km? bxz-\- 2 A2 /w2 ax - h 2 A-2 m2 by — m*(a2 4 - 6a- h c2 — A2) A2 = o .
Premier cas : m* — 1^0. — Ce cas suppose les deux directrices non rectangulaires. En multipliant l'équa- tion (1) par [m* — 1), on obtient :
w2— 1) [az-\-kmb)y
c* — A2) 2*
— m*(m' — i) ( a2- f - 62- t - c2— A2) A2
o u
m2 [A (m2— 1) x -+- mbz -+- 0A]2
— [ A ( / / j2— I ) J — m a z — Àm2a]3
4 2 ( ö ' — c2 — A2)— ( ^ 4 - c2— A2) ] z2
2—A2) — (£»-+-c2— A2)]
= o,
( 38o )
Si m = o, on a y = o;si k = o, on a z = o \ c'est ce qu'on savait déjà d'après le mode de génération de la sur- face. Enfin, si Ton suppose à la fois m = o, k = o, il n'y a plus de surface. Nous supposerons donc melk différents de zéro.
Si Ton a
m* (a* + c* — k7) — (
la surface se réduit aux deux plans
m [k (m2— \)x -\-mbz-\- ak]
= ±[&(m7—\)y — maz — km
Lorsqu'on a
la surface est un hyperboloïde à une nappe. Les trois plans
k (/w2— i) x-\-mbz + flA = o , /(/w3— i ) y—maz — k m2 b = o,
sont trois plans diamétraux conjugués de la surface; ils
— a m2 b
se coupent au point x = — -> j = —; ? z = o, qui en est le centre.
Note, — En discutant de même le second cas où m1 — i = o, M. Schnée a trouvé que, dans cette hypo- thèse, l'équation (i) représente un paraboloïde hyperbo- lique ou différents systèmes de deux plans.
