Solution de la question 265

N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

T HIOLIER

Solution de la question 265

Nouvelles annales de mathématiques 1

série, tome 12 (1853), p. 169-170

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SOLUTION DE LA QUESTION 2 6 5 ;

PAR M. THIOLIER,

Élève à l'École des Mines, à Saint-Étienne.

Si m = p2 — q, la s u i t e des fractions T, — = *- r •>

r 7' 6 ' b' a-*rpbb'

a" pa'-+-mb^r /— ^{t 1}

— = —. —, , . . , converge vers \m, quelle que soit la fraction initiale -r; m, p,q,a, b sont des nombres en- tiers positifs donnés. (PROUHET.)

Considérons une fraction quelconque de cette suite, celle de rang (rc H- 2) par exemple5 nous aurons

an+i^pan-h mha __ 7 bn+l «n + pbn <*n .

Or on a, de même,

donc, en définitive, on aura

a 7+1'

( "7° )

par suite, la limite cherchée sera

2p

Or, si nous développons \jm en fraction continue, nous aurons

On voit donc qu'à la limite on a