Solution de la question 212

(1)

N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

A. E STIENNE

Solution de la question 212

Nouvelles annales de mathématiques 1

^re

série, tome 9

(1850), p. 62-64

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(2)

SOLUTION DE LA QUESTION 212

( voir t VIII, p. 393) .

PAR M. ESTIENNE (A.), KUi\c du ]}cee de \ersailles.

TIIÉORLME. Soit DEF un triangle équilatéral circon- scrit au triangle donné ABC-, A, B, C sont respective- ment surDY, DE, E F . Appelons cp et y les angles CBE,

BCA, on aura

DE z= DF = EF =

. . (i \

V /

où

a = BC ; b = AD.

Aï /'o« (;/è^e en A, B, C rfe perpendiculaires aux côtés du premier triangle équilatéral, on formera un second triangle équilatéral; la somme des aires des deux triangles équilatéraux est

72 .+- b2 — i ab cos ( 0 ^ + 7 )

1 (FASSBKNDER.)

2 sin - TT

(3)

( 6 3 Démonstration. On a : i°.

; ACF = ^ + <p — 7 ;

s i n - 7T s i n - 7T

donc EF a la valeur donnée ci-dessus, et Taire du triangle équilatéral est donc—^:— <zsincp-hèsin ( ^r:-\-y — cp ) •

1 2sin7rL \ 3 VU

2°. Supposons que la perpendiculaire élevée en C au cotéEF soft rencontrée en M par la perpendiculaire éle- vée en B, et en N par la perpendiculaire élevée en A 5 de sorte que MN sera le côté du second triangle équilatéral.

Les triangles CBM, CAJN donnent

b c o s ( - 7T - h 7 — çp )

donc

1 . 1 - 7T S l l l - 7T

rt COS cp b COS f — 7T -f- 7 1 M N = '• ^

Faire du second triangle équilatéral est donc

a COS cp — b COS ( - 7T -f- 7 — y \

sin^7r *- '-*

Ajoutant les deux aires, on trouve l'expression consignée ci-dessus.

Lorsque les trois perpendiculaires se rencontrent, on a

a c o s w = b c o s ( 5 7T -H 7 — 'f\',

(4)

( 6 4

)

alors Taire du second triangle équilatéral est nulle, et comme la somme des aires des deux triangles est indé- pendante de <p, il s'ensuit que, dans ce cas, Taire du premier triangle est un maximum ; et comme les perpendiculaires font entre elles des angles de 1-20 degrés, la somme des distances du point de rencontre aux sommets du second triangle équilatéral est un minimum, d'après une proposition connue.