A116 - Une affaire de PGCD
Solution
Une méthode simple consiste à partir d’un sous-ensemble de 4 nombres entiers positifs a, b, c et d obéissant aux critères qui ont été fixés :
Par exemple a = 12*k+8 avec k entier quelconque >0 ou nul, b = a+1, c = a+2 et d = a+4 On vérifie que PGCD(a,b) = 1, PCGD(a,c) = 2, PGCD(a,d) = 4, PGCD(b,c) = 1,PGCD(b,d) = 3, PGCD(c,d) = 2.
Dans une deuxième étape, on calcule le PPCM (plus petit commun multiple) de a, b, c et d. le sous-ensemble de cinq nombres recherché sera N, N+a, N+b, N+c, N+d
En reprenant l’exemple ci-dessus avec k=0 a=8, b=9, c=10, d=12 dont le PPCM est N = 360. D’où les cinq entiers (360, 368, 369, 370, 372) qui ont bien la propriété que le PGCD de n’importe quel couple de nombres est égal à leur différence, à savoir a, b, c, d, b-a, c-a, d-a, c- b, d-b et d-c.
Autre exemple possible : partant de a = 60*k1+5, b = a+1, c = a+3 et d = a+5, on a pour k=0, a=15, b=16, c=18 et d=20 dont le PPCM est N=720 et on obtient la solution (720, 735, 736, 738, 740).
Si l’on recherche la solution avec les nombres les plus petits possibles, on obtient le sous- ensemble : (36,40,42,45,48)
