a résolution de problèmes
L
Séminaire départemental – 10 décembre 2019, Arras
LA RESOLUTION DE PROBLEMES
• Introduction
• L’enseignement de la résolution de problèmes
• Qu’est-ce que résoudre un problème ?
• Quels problèmes proposer ?
• Quelle démarche adopter ?
Priorités nationales :
-
le calcul
-
la résolution de problèmes
BO du 26 avril 2018
INTRODUCTION
vrai ou faux ?
L’ENSEIGNEMENT DE LA RESOLUTION DE PROBLEMES
Exemple d’une résolution au problème :
Dans une classe de CE2, il y a 27 élèves, 12 sont des filles. Combien y a-t-il de garçons ?
L’ENSEIGNEMENT DE LA RESOLUTION DE PROBLEMES
L’ENSEIGNEMENT DE LA RESOLUTION DE PROBLEMES
Que savons-nous du
« Comment réussit-on à résoudre un problème ? »
Que savons-nous du
« Comment réussit-on à résoudre un problème ? »
Il s’agit à chaque fois de calculer le nombre de tulipes dans un massif.
A: Un massif de fleurs, formé de 60 tulipes rouges et 15 tulipes jaunes
A: Un massif de fleurs, formé de 60 tulipes rouges et 15 tulipes jaunes
B: Un massif de 60 rangées de 15 tulipes B: Un massif de 60 rangées de 15 tulipes
C: un massif de 60 fleurs, formé de tulipes et de 15 jonquilles C: un massif de 60 fleurs, formé de tulipes et de 15 jonquilles
D: 60 tulipes disposées en 15 massifs réguliers D: 60 tulipes disposées en 15 massifs réguliers
L’ENSEIGNEMENT DE LA RESOLUTION DE PROBLEMES
Que savons-nous du
« Comment réussit-on à résoudre un problème ? »
Que savons-nous du
« Comment réussit-on à résoudre un problème ? »
Ici, il vous faudra déterminer, la masse de châtaignes mise dans chaque panier par Charles, et la masse de châtaignes qui lui restera…
Charles a récolté 108 kg de châtaignes. Il les met dans trois paniers, un petit, un moyen, un grand.
Les châtaignes du panier moyen pèsent le double de celles du petit panier. Les châtaignes du grand panier pèsent le double de celles du panier
moyen. Après avoir rempli ces trois paniers, il lui reste quelques kg de châtaignes, exactement la moitié du poids des châtaignes du grand panier.
Charles a récolté 108 kg de châtaignes. Il les met dans trois paniers, un petit, un moyen, un grand.
Les châtaignes du panier moyen pèsent le double de celles du petit panier. Les châtaignes du grand panier pèsent le double de celles du panier
moyen. Après avoir rempli ces trois paniers, il lui reste quelques kg de châtaignes, exactement la moitié du poids des châtaignes du grand panier.
Apports de Jean Julo, psychologue cognitiviste : « Comprendre quelque chose
serait, d’une manière ou d’une autre, construire une
représentation de cette chose. »
Cette représentation se base sur 3 processus simultanés qui interagissent :
- interpréter et sélectionner
- structurer ces interprétations en un tout, cohérent et relativement stable, cette stabilité pouvant être un obstacle au changement de point de vue
- opérationnaliser, passer à l’action effective (calculs, tracés…) ou mentale (déductions…). Ce passage à l’action résulte de la mise en œuvre de connaissances opératoires, issues de nos expériences passées.
QU’EST-CE QUE RESOUDRE UN PROBLEME ?
QU’EST-CE QUE RESOUDRE UN PROBLEME ?
Pour résumer les propos de Jean Julo :
• Il y a deux aspects dans la résolution de problème : - un aspect opératoire
- un aspect représentationnel, appelé schéma de problèmes
Il ne s’agit pas de schéma au sens courant du terme !
C’est la structure de la représentation qui permettent à l’élève de reconnaître qu’un tel problème relève d’un modèle déjà rencontré et de s’engager
rapidement dans une procédure de résolution
L’élève se crée, progressivement, lui- même, ses propres schémas de
problème
QU’EST-CE QUE RESOUDRE UN PROBLEME ?
Pour résumer les propos de Jean Julo :
• Il y a deux aspects dans la résolution de problème :
- un aspect opératoire
- un aspect représentationnel, appelé schéma de problèmes
Il ne s’agit pas de schéma au sens courant du terme !
C’est la structure de la représentation qui permettent à l’élève de reconnaître qu’un tel problème relève d’un modèle déjà rencontré et de
s’engager rapidement dans une procédure de résolution
L’élève se crée, progressivement, lui-même, ses propres schémas de problème
QU’EST-CE QUE RESOUDRE UN PROBLEME ?
Pour résumer les propos de Jean Julo :
Ce problème ressemble à un problème connu
Ce problème ressemble à un problème connu Traitement inféré de
mémoire
Ce problème ne rappelle rien au sujet
Ce problème ne rappelle rien au sujet
Construction d’une stratégie nouvelle
Reconnaître un problème est lié à:
• la représentation évolutive que le sujet s’en fait
• à sa mémoire des problèmes
CONSEQUENCE SUR LES ENJEUX DE L’ENSEIGNEMENT DES PROBLEMES
Mais quels problèmes ?
Mais quels problèmes ?
Il est primordial d’enrichir la mémoire des élèves sur les problèmes
.Au niveau « élève »
• Donner l’occasion aux élèves de résoudre des problèmes et de les réussir seuls.
Au niveau « enseignant »
• Définir les types de problèmes dont on attend qu’ils soient résolus
« automatiquement » par les élèves.
10 problèmes / semaine
n problème ?
U des
problèmes !
QUELS PROBLEMES PROPOSER ?
Différents types de problèmes :
CLASSIQUE
SCOLAIRE
ORIGINAL NUMERIQUE
GEOMETRIQUE
LOGIQUE
REINVESTISSEMEN T
SITUATION PROBLEME
PROBLEME OUVERT
SITUATION FONDAMENTALE
SITUATION DE REFERENCE PROBLEME ELEMENTAIRE
PROBLEME COMPLEXE POUR
APPLIQUER/REINVESTIR
POUR CHERCHER
POUR CONSTRUIRE DE NOUVELLES CONNAISSANCES
APPLICATION PROBLEME
ATYPIQUE
Oui mais lesquels choisir et pourquoi ?
• Retour sur la typologie de Vergnaud
QUELS PROBLEMES PROPOSER ?
Oui mais lesquels choisir et pourquoi ?
• Retour sur la typologie de Vergnaud - connue (mais peu utilisée)
- permet de choisir les problèmes à proposer, pour développer leur capacité à regrouper des problèmes qui ont des structures proches
- outil pour l’enseignant (ne doit pas être enseignée aux élèves)
QUELS PROBLEMES PROPOSER ?
Oui mais lesquels choisir et pourquoi ?
Catherine Houdement propose de distinguer : QUELS PROBLEMES PROPOSER ?
les problèmes « basiques » (un savoir, un concept)
enjeu de l’élève : les mémoriser
les problèmes
« complexes »
enjeu de l’élève : construire des sous-problèmes basiques calculables en connectant des informations et qualifiant les résultats.
FA – BU –
LEUX ! ! !
Les problèmes basiques
3 critères pour rentrer dans la catégorie des problèmes basiques :
QUELS PROBLEMES PROPOSER ?
• il existe une ou deux opérations pour le résoudre
• l’énoncé ne doit pas poser de problème de lecture
• l’enseignement vise à la reconnaissance automatique de l’opération en jeu dans la résolution.
Kevin avait 27 jetons ; il en a donné 12 à Agathe.
Combien de jetons a Kevin maintenant ? Repère CPRepère CP
Fatou a fabriqué 3 colliers avec 27 perles chacun.
Combien Fatou a-t- elle utilisé de perles ? Repère CE2Repère CE2
Une grenouille fait des sauts de 9 cm. Elle veut atteindre un moustique situé à 157 cm d'elle. Combien de sauts (au minimum) devra-t-elle effectuer pour atteindre le moustique ?
Repère CM1 Repère CM1 Il avait 28 euros. Il a acheté un livre à 12 euros et une trousse à 5 euros.
Combien lui reste-t-il ? Repère CPRepère CP
Les problèmes basiques
3 critères pour rentrer dans la catégorie des problèmes basiques :
QUELS PROBLEMES PROPOSER ?
• il existe une ou deux opérations pour le résoudre
• l’énoncé ne doit pas poser de problème de lecture
• l’enseignement vise à la reconnaissance automatique de l’opération en jeu dans la résolution.
Points de vigilance pour les enseignants
Être sûr de :
• enseigner la résolution de problèmes élémentaires en simplifiant la typologie de Vergnaud
• permettre aux élèves de mémoriser ces types de problèmes
• permettre aux élèves de reconnaître ces problèmes et être capable de les résoudre seuls
composition
composition transformationtransformation comparaisoncomparaison
Les problèmes complexes
Ce sont des problèmes résultant d’un agglomérat de problèmes basiques (avec présence ou non de
questions intermédiaire) :
QUELS PROBLEMES PROPOSER ?
composition composition comparaison
comparaison problème basique 1
problème
basique 2 problème complexe
Nora prend 24 images. Tom prend 3 fois plus d’images que Nora.
Combien d’images ont-ils pris en tout ?
Problèmes basiques/complexes, quelle démarche ?
QUELLE DEMARCHE ADOPTER ?
Extrait des programmes modifiés – Juillet 2018
Extrait des programmes modifiés – Juillet 2018
Manipulation – Représentation – Abstraction –
Verbalisation – Institutionnalisation
ider les élèves à résoudre
A
Comment aider les élèves ?
Il ne s’agit pas de guider les élèves vers une procédure, ni de l’entraîner à utiliser des stratégies cognitives,
mais l’aider à se représenter le problèmes.
Pour qu’une aide soit efficace, elle doit répondre aux trois critères : - l’aide ne contient pas d’indices sur la solution
- l’aide n’oriente pas vers une procédure
- l’aide ne suggère pas une méthode de modélisation du problème
QUELLE DEMARCHE ADOPTER ?
Des pistes pour aider les élèves à développer des stratégies :
• Faire raconter le problème sans les nombres en évitant de transformer la séance en séance de vocabulaire
• Apprendre à chercher, faire des essais
• Apprendre à représenter une situation, la mettre en scène avec du matériel
• Apprendre à schématiser
• S’autoriser à montrer des schémas possibles QUELLE DEMARCHE ADOPTER ?
De la représentation matérielle à la schématisation
QUELLE DEMARCHE ADOPTER ?
4 + 2 = 6
4 2
Apprendre à schématiser
Prendre en compte « l’effet contexte » chez les élèves.
QUELLE DEMARCHE ADOPTER ?
La multi-présentation de problèmes
1 - Quelle est la structure commune aux deux séries de problèmes ?
2 - A l’intérieur de chaque série, quels sont les points communs et différences aux trois
problèmes ?
QUELLE DEMARCHE ADOPTER ?
Série 1 :
A)Dans ton manteau, tu as 6 gâteaux. Tu en as 4 au chocolat. Les autres sont à la confiture. Combien en as-tu à la confiture ?
B) Dans le pot, il y a 6 crayons. 4 crayons sont bien taillés. La mine des autres est cassée. Combien en reste-t-il à tailler ?
C) Pour acheter un cadeau à leur mère, Paul et Léa ont besoin de 6 pièces. Paul donne 4 pièces. Combien Léa donne-t-elle de pièces ?
Série 2 :
A) Tous les enfants d’une école se rendent au cinéma. Il y a 135 places réservées pour le cycle 3, 227 places pour le cycle 2 et 99 places pour les élèves de
maternelle. Combien de places ont été réservées en tout ?
B) Un monsieur achète une paire de skis à 227€, une paire de chaussures à 135€
et un anorak à 99€. Combien va-t-il payer ?
C) Pour préparer ton gâteau d’anniversaire, tu mélanges 135g de sucre, 99g de beurre et 227g de farine. Combien pèse la pâte de ton gâteau ?
Prendre en compte « l’effet contexte » chez les élèves.
QUELLE DEMARCHE ADOPTER ?
La multi-présentation de problèmes
1 - Quelle est la structure commune aux deux séries de problèmes ?
2 - A l’intérieur de chaque série, quels sont les points communs et différences aux trois
problèmes ?
Prendre en compte « l’effet contexte » chez les élèves.
QUELLE DEMARCHE ADOPTER ?
La multi-présentation de problèmes
Il s’agit de proposer simultanément trois problèmes ayant :
• les mêmes caractéristiques,
• la même structure mathématique,
• les mêmes nombres (même réponse numérique),
• la même syntaxe,
• les informations arrivant dans le même ordre avec la même organisation
énonciative.
Seuls les contextes varient.
Prendre en compte « l’effet contexte » chez les élèves.
QUELLE DEMARCHE ADOPTER ?
un problème se rapprochant le plus possible de l’univers de l’enfant, avec des préoccupations de leur âge et une mise en situation grâce à l’utilisation du pronom personnel « tu ».
Proche de l’univers de l’enfant
Proche de l’univers de l’enfant
un problème dont l’environnement est celui de l’école ou de la classe. Le contexte sémantique reste ici proche des
situations vécues par un enfant.
Contexte scolaire Contexte scolaire
L’ordre de ces énoncés de problèmes varie afin de ne pas induire une certaine catégorie d’énoncé de problème à
résoudre.
un problème relatif à la vie courante, qui requiert une certaine distanciation.
Vie
quotidienne Vie
quotidienne
Prendre en compte « l’effet contexte » chez les élèves.
QUELLE DEMARCHE ADOPTER ?
Problème A :
Pour ton anniversaire, Tonton t’offre 3 cartes de collection. Tatie t’offre 7 cartes de collection.
Combien Tatie t’as-t-elle offert de cartes de plus que Tonton ?
Problème B
Vendredi, Tom a gagné 3 billes pendant la récréation. Aujourd’hui, il en a gagné 7.
Combien de billes a-t-il gagné de plus aujourd’hui ?
Problème C :
Louane et son frère Tom vendent leurs jouets à la brocante. Tom rentre avec 3 euros et Louane 7 euros.
Combien d’argent Louane a-t-elle gagné de plus que son frère ?
Vie
quotidienne Vie
quotidienne Contexte
scolaire Contexte
scolaire
Proche de l’univers de
l’enfant Proche de l’univers de
l’enfant
Les problèmes choisis par les élèves.
QUELLE DEMARCHE ADOPTER ?
Le plus proche du vécu de l’élève (tu)
Contexte
de l’école Contexte Vie quotidienne Classe
1
Classe 2
Classe 3
Classe 4
Effet sur les élèves en difficultés : Effet sur les élèves en difficultés :
« Certains élèves, d’ordinaire mal à l’aise avec les problèmes,
se sont sentis davantage en confiance et se sont exprimés à ce propos »
« Les élèves se sont plus facilement engagés dans la recherche »
« Certains élèves, d’ordinaire mal à l’aise avec les problèmes,
se sont sentis davantage en confiance et se sont exprimés à ce propos »
« Les élèves se sont plus facilement engagés dans la recherche »
paroles d’enseignants
Choix
majoChoixritaire majoritaire
Aider les élèves à comprendre les énoncés.
QUELLE DEMARCHE ADOPTER ?
Le système « drapeau » Varier les supports de présentation
• Situation réelle
• Situation représentée : dessin, schéma, document, image
• Situation communiquée oralement
• Situation communiquée par un énoncé écrit
Produire un énoncé avec le système
« drapeau »
Samedi soir papy a 27 lapins.
8 lapins naissent pendant la nuit.
Le lendemain, papy en a 35.
Samedi soir papy a 27 lapins.
8 lapins naissent pendant la nuit.
Le lendemain, papy en a 35.
Ecris un énoncé selon les drapeaux proposés
: ? ?
QUELLE DEMARCHE ADOPTER ?
Produire un énoncé avec le système
« drapeau ». • Le système
« drapeau »
?
?
Samedi soir, papy a 27 lapins. Le lendemain, il en a 35.
Combien de lapin sont nés dans la nuit ?
Chez Papy, 8 lapins sont nés dans la nuit. Il en a maintenant 35.
Combien de lapin avait Papy avant la nuit
?
QUELLE DEMARCHE ADOPTER ?
Aider à associer opération et situation modélisée
Travailler le sens des opérations
• Pour que l’enfant acquière le sens d’une opération spécifique, il convient donc de lui apprendre à reconnaître les situations qui sont modélisées par cette opération.
• Faire prendre conscience du sens et des sens des mots inducteurs
Cinq enfants ont trois billes chacun, combien ont-ils de billes en tout ? J’ai 15 billes ; je donne à chacun de mes enfants 3 billes et il ne m’en reste
plus, combien ai-je d’enfants ?
QUELLE DEMARCHE ADOPTER ?
Associer opération et situation modélisée
Enonc é 1Enonc Enonc é 4
é 7
Enonc é 5
Enonc é 8
Enonc é 1 Enonc
é 3
Enonc é 2 ADDITION
SOUSTRACTION
Proposer des activités de tris de problèmes.
QUELLE DEMARCHE ADOPTER ?
Apprendre la typologie de Vergnaud aux enfants ? Non !
• La typologie de Vergnaud est un « outil » pour l’enseignant !
• Elle ne doit pas être « enseignée » aux élèves !
• Il en est de même des schémas Vergnaud associés à ces problèmes.
• Ces schémas ne sont pas proposés pour faire l’objet d’un enseignement.
QUELLE DEMARCHE ADOPTER ?
