A20519. Plaisir de compliquer
Une façon curieuse (et compliquée) d’écrire l’entier 6 est 6 =
q
16 + 6√ 7 +
q
16−6√ 7.
Dénombrer, pour m = 6 et m = 14, les différentes représentations dem = q
a+√ b+
q a−√
b avec aetbentiers >0,b non carré.
Solution
On a m2 = 2a+ 2√
a2−b; √
a2−b = m2/2 −a est un rationnel dont le carré est entier, c’est donc un entier c, et m2 = 2(a+c) est pair. Il s’agit donc, pourm = 2ndonné, de dénombrer les entiersa < 2n2 tels que b=a2−c2 = 4n2(a−n2) ne soit pas carré parfait.
Equivalemment, je vais dénombrer les entiers b/(4n2) = a−n2, compris entre 0 etn2 (bornes exclues), qui ne sont pas des carrés. Comme les carrés parfaits de cet intervalle ont pour racine les entiers de 1 àn−1, le nombre cherché est (n2−1)−(n−1) =n(n−1) =m(m−2)/4.
Pour m= 6, n= 3, il y a 6 couples (a, b), de (11,72) à (17,288).
Pour m= 14, n= 7, il y a 42 couples (a, b) de (51.392) à (97,9408).
