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Par exemple si n= 6, N = 72 a d = 12 diviseurs d’o`u 16 points sur le cercle

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Academic year: 2022

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D151

Pour g´en´eraliser, soitn >1 et les pointsO(0,0),A(0, n),O0(n,0) etA0(n, n) formant un carr´e de cˆot´en, inscrit dans un cercle (C). Soit deux pointsM(t, n) etN(u,0) plac´es respectivement sur la droite (L) et sur l’axe Ox. Les droites OM et AN se coupent au point I(x, y) avec y = n

txety=n−n

ux. On en d´eduit 1−x u = x

t d’o`ux= tu

t+u ety= nu

t+u. Le pointI est sur le cercle (C) si (x−n

2)2+ (y−n

2)2 = n2

2 qui s’´ecrit encore x2+y2−nx−ny= 0. En reportant les valeurs de xet yon obtient la condition tu =n(t+u) +n2 ou encore (t−n)(u−n) = 2n2. Si N = 2n2 poss`ede d diviseurs on obtient d couples (t, u) donc d points I sur le cercle (C) auquels on peut ajouter les points O, A, O0, A0, soitd+ 4 points au total. Par exemple si n= 6, N = 72 a d = 12 diviseurs d’o`u 16 points sur le cercle; l’exemple propos´e ne retient pas les diviseurs 1 et 72, et d’autre part il ne garde qu’un des deux points sym´etriques obtenus par les couples (t, u) et (u, t), ce qui explique qu’il ne retient que 5 + 4 = 9 points.

On peut faire mieux avec n = 60: N = 7200 a 54 diviseurs d’o`u 58 points sur le cercle. Si on veut que les points soient dans un rectangle de dimensions inf´erieures `a 1000 (pr´ecis´ement 60×900), il faut retirer 12 diviseurs (x=1,2,3,4,5,6 et les 7200x ); il reste donc 46 points sur le cercle (21 + 4 = 25 points si on ne garde qu’un point pour chaque paire de points sym´etriques).

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