Exposants himalayens
Problème A528 de Diophante
En l’absence de calculatrice, de tableur et de table de logarithmes déterminer les plus petits exposants entiers p et q de m = 4p et n = 6q tels que m et n
commencent par le chiffre par 9.
Solution
Nous savons que 45 = 1,024*103. D’où des approximations de 45k par la formule : 45k = (1 + 0,024*k + 0,000288*k*(k-1)) * 103k.
Par ailleurs, les 4 premières puissances de 4 sont : 4, 16, 64, 256. Celle qui commence par le chiffre le plus gros est 64, soit 43.
Si 4p commence par un 9, alors 4p-3 commence comme 90/64, soit 1,406 … La première valeur de k qui donne 1,406 pour l’expression entre parenthèses ci-dessus est 15. D’où p = 15 * 5 + 3 = 78.
Remarque : En prenant l’approximation à l’ordre un on trouve k = 17, pour lequel k(k-1) vaut 272. Ce qui influe fortement sur le second terme.
Les premières puissances de 6 sont : 6, 36, 216, 1296, 7776, 46656, 279936, 1,679616, 10077696. Ainsi 69 = 1,0077696* 107.
Comme précédemment, divisons 9000 / 7776 = 1,15740740 … . Divisons 1574 par 77 nous obtenons, à l’ordre un, k = 20.
Calculons, à l’ordre deux : 1 + 20 * 0,0077696 + 190 * 0,00776962. On trouve 1,1668 …, qui dépasse 1,157 de 0,009. Il faut revenir à k = 19, pour dépasser 1,157, pour la première fois.
Le nombre q cherché vaut 19*9 + 5 ; soit q = 176.
