1.Les exposants

CALCUL ALGÉBRIQUE

1.Les exposants

1.1 Les exposants entiers

L’opération exponentation consiste à affecter une base d’un exposant afin d’obtenir une puissance.

a est la base

a ^m = x

m est l’exposant X est la puissance

Il y a trois définitions importantes à retenir concernant les exposants.

Première définition

car l’exposant 1 est omis par convention

a = a

¹

Deuxième définition

Une base différente de 0 affectée de l’exposant 0 égale 1.

a

⁰

= 1

Troisième définition

1

a

_n

= a

⁻ⁿ

Exemples:

1 1

1.2 Les exposants fractionnaires

Exemple: Jeanne a oublié sur le comptoir un litre de lait contenant environ 500 bactéries par centimètre cube. À la chaleur ambiante le nombre de bactéries double à chaque heure. Le lait devient avarié lorsqu’il contient plus de 20 000 bactéries par centimètre cube.

Temps en heures Nombre de bactéries

0 500 500x2⁰ 1 500x2 500x2¹ 2 (500x2)x2 500x2² 3 (500x2x2)x2 500x2³

X 500x2^X

On peut aussi trouver le nombre de bactéries après:

- une demi-heure 500x2^1/2 - trois quart d’heure 500x2^3/4

- une heure et demie 500x2^3/2 - cinq heures et demie 500x2^11/2

On remarque qu’une base affectée d’un exposant fractionnaire correspond à un nombre réel.

Avec la calculatrice calcule

16 25 36 100 (-9) (-25) (-36) (-100) Si b 0 b et b

Si b 0 b et b (-8) 125 (-125)

1/2 1/2 1/2 1/2

1/2 1/2 1/2 1/2

1/2 1/2

1/3 1/3 1/3

9 4

8

1 2 1 2

1 3 /

/

/

( − )

〉 ⇔ = ∈ℜ

〈 ⇔ = ∉ℜ

b b

De façon générale:

a a

a

1 2 2

3

/

= 〉

=

pour a 0

a

^{1/ 3}

Maintenant calcule avec ta calculatrice:

1 4 4 8

4 2

3 2 2 3 4 3

3

) ( )

) ( )

/

2) (-8) 3) 6 6 (-10) et (-10) 5) (-12) (-12) 6) (-2) et

3/ 4 2/ 5 5 2

3/5 5 3 1/ 6 6 1/ 3

et et et

et

−

−

On constate que:

a a

a

n n

m n 1

0

/

= 〈

= 〈

sauf si n est pair et a 0 a

^{m/ n}

sauf si n est pair et a

^m

1.3 Lois des exposants

première loi: a deuxième loi: a a troisième loi:

quatrième loi:

cinquième loi:

m m n

.

.

.

a a

a

a a

ab a b

a b

a b

n m n

m n

m n m n

m m m

m m

m

=

=

=

=

=

+

−

Exercices: Page 91 #1 à 7 et 9

Page 103 #3 à 9 et 13à 15 Page 110 #4,12 à 14

Feuilles les puissances #1,2,3 Page 118 #8, 10 à 14 et 16

2 Les radicaux

2.1 Les nombres irrationnels

Les lois sur les exposants permettent de découvrir certaines propriétés des radicaux.

A) a^{1 2/} .b^{1 2/} = ab ^{1 2/} ⇔ a. b = ab

Exemples:

3 5 15 8 16 4

5 7 35

2 3 6 2 10

. .

. .

. .

= = =

= =

= =

2 x

5

y xy

x y xy ab ab

B)

a

^{1 2/ 2}

= a

¹

= ⇔ a a

²

= a

Exemples:

5 5

10 10

2 2

2 2

= =

= =

ab a

²

ab a

On peut utiliser ces deux propriétés pour réduire le radicande

Exemples:

50 25 2 25 2 5 2

20 2 5

200 10 2

162 9 2

150 5 6

288 12 2

1000 10 10

1800 30 2

= × = =

= =

= =

= =

= =

= =

= =

= =

.

C)

a b

a b

a b

a b

1 2 1 2 / 1 2

/

/

= ⇔ =

Exemples:

12 3 20

5 6

4

= = =

= = =

= =

50

75 ab a 100

75 6x 3x 30 10

2 5

2.2 Rationalisation des dénominateurs

Yfaire disparaître le radical au dénominateur Exemples:

6 3

6 3

3 3

6 3

3 2 3

1 2

1 2

2 2

2 2 1

2 3 1 2 3

3 3

3 6 2 2

3

2 2 3

3 3

2 6 3 4 5

3 2

4 5 3 2

2 2

4 10 6

2 10 3

1 1

3 1 3

3 1 3

3 3

3 3

3 12

2

12 2

12 2

2 2

12 2

2 6 2

3

6 2

3

6 2

6 2

6 2

3 6 6

6 4

3 6 6

2 6

2 3 2

6

2 3 2

2 3 2

2

= × = =

= × =

= × =

− =

− × =

−

= × = =

= × =

+ = + × = +

= = × = =

+ =

+ × −

− = −

− = −

− =

− × +

a a

a a

a a

ab

a b

ab ab

ab ab

ab ab

ab ab

3 2

12 3 6 2 12 2

6 3 3 2

+ = + 5

− = +

Exercices: Feuilles radicaux #1 et #2

Exercices page115 #4 à 10 page 119 #10 à 16 page 122 capsule Test #1

3 Les polynômes

3.1 Les monômes

Définition: Les termes formés d’un nombre, ou d’une variable, ou du produit d’un nombre et d’une variable affectées d’exposants entiers positifs sont appelés des monômes.

Ces termes sont-ils des monômes?

5 2

6 3

2 2

3

2 2 4

3

4 3 3

3

²

x x y

a ab

x

x x y

−

Le nombre qui précède les variables est appelé coefficient; ce nombre prend le nom de terme constant s’il n’y a pas de variable.

Exposant

3x² Variable

Coefficient

La somme des exposants des variables dans un monôme correspond au degré du monôme.

Exemples: 5 degré 0

3x degré 1

4x²yz³ degré 6 3²x²y³ degré 5

Deux monômes sont semblables s’ils sont formés des mêmes variables affectées respectivement des mêmes exposants.

Exemples:

3 5

2 3 2 3

x y

et 5

x y

3.2 Les polynômes 3.2.1 Définitions

poly = plusieurs 1 terme monôme

nômes = termes 2 termes binôme

3 termes trinômes

3.2.2 Évaluation d’un polynôme

Soit et

Calcule et

P x x x Q x y x y xy y x

P Q

P Q

( ) ( , )

( ) ( , )

( ) ( , )

= + − = − + − + −

= = −

3 4 8 2 3 8 4 3

2 2 1

2 12 2 1 5

2 2 2

3.2.3 Degré d’un polynôme

Le degré du terme de plus haut degré fixe le degré du polynôme.

Exemple:^{P x}

( ) ^{= 3}

^x4

^{− 3}

^x3

^{+ 2}

^x2

^{− 5}

^x

^{+ 2}

à pour degré 4

3.3 Opérations sur les polynômes 3.3.1 Addition et soustraction

Seuls les termes semblables peuvent être réduits.

Soit Calcule

+ 6y

2

P x y x xy y

Q x y x xy y

P x y Q x y x xy y

P x y Q x y x xy

P x y Q x y x xy y

( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , )

= − +

= + −

+ = − +

− = − −

− − = − + −

3 3 4

4 2

7 2 2

4

7 2 2

2 2

2 2

2 2

2

2 2

Exercices: Page 132 #2 à 4 Page 136 #2 à 5 Renforcement 6.1

Feuille addition et soustraction #1 Page 138 #6 a à f

#7 a à d #8 a et b #9 a et d

# 13 et 18 à 23

3.3.2 Multiplication de polynômes

a) Le produit de deux monômes

Exemples:

6 4 2

3 2 2 3

3 2 4

. . .

. . .

. .

y d x x

x y m n ab ab

b b y

= = − − =

= = =

= − =

c

b) Le produit d’un monôme par un polynôme a ( bx + c ) = abx + ac

Exemples:

5 3 2 3 4 4 2 3

3 3 1 2 3 5 2 3 2

3 2 2

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

y a x x x

y m m ab ab a b

x x ab a b

+ = − = − − + =

+ = − + = + + =

+ = − + =

c) Le produit d’un binôme par un binôme

( ax + b ) ( cx + d ) = acx² + adx + bcx + bd

Exemples: x−2 2x− =1 2x² − −x 4x+ =2 2x² −5x+2 d) Le produit de polynômes

Exemples:

y x y x y xy y xy x x

y x xy x y

+ + + = + + + + +

= + + + + 1

2

2 2

2 2

Exercices: page 146 # 2,4,6,7,8

3.3.3 Division de polynômes

a) La division par un monôme

Exemple #1:

3 6 3 3 6

3

3 3

6

3 2

xy y y xy y

y

xy y

y

y x

+ ÷ = + = + = +

Exemple #2:

x x x x x

x

x x

x

x x

2

2 2

3 3 3

− ÷ = − = − = − 3

b) La division par un binôme

Exemple #1: x²+5x+6 x+3 x²+3x x+2 2x+6

2x+6 0

Exemple #2: Une meule de fromage a un volume représenté par l’expression (x³+3x²-4x-12) cm³. L’aire de sa base est données par (x²+5x+6) cm². Quel polynôme représente sa hauteur, en centimètres?

V A h h V

A

x x

b

x

b

= ⇔ = = + − −

+ + .

3

3 4 12

5 6

x x

2 2

x³+3x²-4x-12 x²+5x+6

x³+5x²+6x x-2

-2x²-10x-12 -2x²-10x-12 0 h = (x-2) cm.

Exemple #3: x²+3x+3 x+1

x²+x x+2

2x+3 2x+2 1

Le reste

On écrit la réponse comme cela:

x² + 3x + 3

x + 1 = + +

x +

2 x 1 1

Exemple #4:

x

x

4

1

1

− +

Exercices: page 153 #17

page 154 #18 à 20, 25, 28, 34, 40, 49 renforcement 7.2

feuille division de polynômes