Solutions trés faibles d’équations aux dérivées partielles stationnaires. Application à un problème de mouvement d’un fluide.

R´epublique Alg´erienne D´emocratique et Populaire

Minist`ere de l’Enseignement Sup´erieur et de la Recherche Scientifique Ecole Normale Sup´´ erieure

Kouba, Alger

M´ emoire pr´ esent´ e pour obtenir le grade de magister

Par : Siham BOUMARAF Sp´ecialit´e : Math´ematiques

Option : Analyse fonctionnelle et num´erique

Solutions tr` es faibles d’´ equations aux d´ eriv´ ees partielles stationnaires.

Application ` a un probl` eme de mouvement d’un fluide.

Sous la direction de Monsieur El hac`ene OUAZAR, M.C.A `a ENS-Kouba Soutenu le 4 F´evrier 2016

Devant le jury :

Mr A. Mokrane, Professeur, ENS, Kouba Pr´esident Mr T. Moussaoui, Professeur, ENS, Kouba Examinateur Mr B. Bougherara, M.C.B, ENS, Kouba Invit´e

Mr H. Ouazar, M.C.A, ENS, Kouba Directeur de m´emoire

Table des mati` eres

Notations Introduction

1 Rappels et quelques outils de base 3

1.1 Quelques r´esultats ´el´ementaires . . . 3

1.2 Les espaces de Sobolev W^m,p(Ω) . . . 5

1.2.1 Th´eor`emes des traces . . . 6

1.2.2 In´egalit´e de Poincar´e . . . 7

1.3 Th´eor`eme de la r´egularit´e du probl`eme de Stockes . . . 8

1.4 Formule de Green . . . 9

1.5 Champs de vecteurs et tenseurs en ´elasticit´e . . . 9

1.6 Mat´eriaux de St Venant-Kirchhoff . . . 12

1.7 In´egalit´e de Korn . . . 12

1.8 Th´eor`eme des fonctions implicites . . . 13

1.9 Quelques th´eor`emes de point fixe . . . 13

1.9.1 Th´eor`eme de point fixe de Brouwer . . . 14

1.9.2 Th´eor`eme de Schauder-Tychonoff . . . 14

2 Existence d’un ´etat stable d’interaction d’un probl`eme de fluide-structure 15 2.1 Pr´esentation du probl`eme . . . 16

2.2 L’existence d’une solution pour un probl`eme coupl´e . . . 20

2.3 L’´equation de Stokes . . . 22

2.3.1 L’existence et l’unicit´e d’une solution de l’´equation transform´ee de Stokes . . . 22 1

2.4 L’´equation de Navier-Stokes . . . 29

2.4.1 L’existence et l’unicit´e d’une solution de l’´equation de Navier-Stokes . . . 29

2.5 L’´equation de structure . . . 36

2.5.1 L’existence et l’unicit´e d’une solution de l’´equation de la structure . . . 36

2.5.2 La diff´erentielle de −div(Σ(u)) . . . 37

2.6 Preuve du th´eor`eme 2.2.1 . . . 47

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[8] ( C´eline Grandmont )

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R´ esum´ e

L’objectif de ce travail est d’´etudi´e l’existence des solutions d’un probl`eme aux limites d’interac- tion fluide structure stationnaire en trois dimensions.

Ce m´emoire est bas´e sur le travail de C´eline Grandmont intitul´e ”Existence for a three-dimensional steady state fluid-structure interaction problem” [8].

Le travail est divis´e en deux chapitres de la mani`ere suivante :

le premier chapitre est consacr´e `a rappeler certains r´esultats qui seront utilis´es dans le chapitre suivant. Par exemple : la d´efinition des mat´eriaux de St Venant-Kirchhoff, les espaces de Sobolev W<sup>m;p</sup>(Ω), on aura besoin aussi d’´enoncer des th´eor`emes de traces, l’in´egalit´e de Poincar´e et l’in´egalit´e de Korn, le th´eor`eme de la r´egularit´e du probl`eme de Stockes, la formule de Green, ainsi que quelques notations de champs de vecteurs et tenseurs utilis´ees couramment en ´elasticit´e lin´eaire, le th´eor`eme des fonctions implicites et quelques th´eor`emes de point fixe.

Le deuxi`eme chapitre, est compos´e de trois parties. La premi`ere partie est consacr´ee `a l’´etude des

´equations de Stokes, ensuite les ´equations de Navier-Stokes. La seconde partie est consacr´ee `a l’´etude des ´equations de la structure ; la derni`ere partie est consacr´ee `a la d´emonstration de l’existence d’au moins une solution r´eguli`ere pour le probl`eme d’interaction fluide-structure.

Abstract

The objective of this work is to find solutions to the problem of steady fluid structure interaction in three dimensions.

This memory is based on the paper of Celine Grandmont under the title ”Existence for a three- dimensional steady state fluid-structure interaction problem”[8].

This work is divided into two chapters :

the first chapter is devoted to recall some results that will be used in the following chapter.

For example the Sobolev space W^m;p(Ω), we also need to state the inequality of Poincar´e and the inequality of Korn, some fixed point theorems.

The second chapter, is broken down into three parties. The first party is devoted to the study of the Stokes equations, then the Navier-Stokes equations. The second party is devoted to the study of the structure type equations, finally we will prove the existence of at least one regular solution fluid-structure interaction problem.

Notations

Dans tout ce qui suit, nous utiliserons les notations suivantes : Ω = Ωf ∪Ωs un ouvert born´e r´egulier de R³.

Ωf domaine occup´e par le fluide.

Ωs domaine de la structure.

∂Ωf = fronti`ere de Ωf.

∂Ωs = fronti`ere de Ωs.

Γf s =∂Ωf ∩∂Ωs= la surface de contact entre le fluide et la structure.

∇u= ∂u

∂x1

, ∂u

∂x2

, ..., ∂u

∂xn

. div u=

n

X

i=1

∂ui

∂xi

.

∆u=

n

X

i=1

∂²u

∂x²_i. A:B = trA^tB =

n

P

i,j=1

aijbij.

C⁰(Ω) l’espace des fonctions continues,u: Ω−→R.

C¹(Ω) espace des fonctions continues avec leurs d´eriv´ees premi`eres.

L^p(Ω) =

f : Ω→R;f mesurable et Z

Ω

|f(x)|^pdx <∞

o`u p∈[1,+∞[.

L^∞(Ω) =

f : Ω→R; f mesurable et ∃ c≥0 telle que|f(x)| ≤c, p.p. sur Ω

. kfkL^p =

Z

Ω

|f(x)|^pdx ¹_p

o`up∈[1,+∞[.

kfkL^∞ = inf

c >0; |f(x)| ≤c; p.p. sur Ω

. W^m,p(Ω) =

f ∈L^p(Ω) et D^αf ∈L^p(Ω), ∀α ∈Nⁿ avec|α| ≤m

. W₀^m,p(Ω) =

f ∈W^m,p(Ω)/ D^αf ≡0 sur ∂Ω, ∀α ∈Nⁿ avec|α| ≤m−1

.

H^m(Ω) =W^m;2(Ω).

H₀^m(Ω) =W₀^m;2(Ω).

kfk_H0¹_(Ω) = Z

Ω

|∇f(x)|^{2 1}2

. H^−m(Ω) = dual de H₀^m(Ω).

V =

z∈H₀¹(Ωf), div(B^tz) = 0 . σ(u) tenseur des contraintes.

ε(u) tenseur des d´eformations.

µ, λ constantes de Lam´e tels que µ >0, λ≥0.

vn−→v la convergence forte.

vn⇀ v la convergence faible.

֒→ l’injection.

a(·,·) : forme bilin´eaire d´efinie sur V × V. b(·,·,·) forme trilin´eaire d´efinie sur V × V × V.

l(·) : forme lin´eaire d´efinie sur V.