trigonométrie

DS N°3 1°STLPH MATHEMATIQUES 2008-2009 Exercice 1

Résoudre ^{[0; 2 ]} les équations trigonométriques suivants .on donnera la mesure principale de chaque solution .

1. sin(3 ) sin(2x  x) 2. 2sin(2 )x  3 0

3.^sin(2x^{) sin(}  ^x ^{/ 2)} 4. ^{2cos 3 3}

x 3

  

 

  Exercice 2

Soit P le polynôme P x( ) 4 x³2x²2x1. 1. (a) Calculer ¹

P2

  puis déterminer les constantes a, b et c telles que ^{P x( )}



^{2x1 (}



^{ax2bx c ).}

(b) Résoudre dans R l’équation ^{p x( ) 0} .

2. En déduire la résolution dans_ , puis dans [0;2 [ de l’équation

4cos (2 ) 2cos (2 ) 2cos(2 ) 1 0³ x  ² x  x  

Placer les points correspondants sur le cercle trigonométrique dessiné en annexe Exercice 3

Soit f la fonction définie pour t par: ^{( ) sin 2}

f t   t3, ^t est en radians 1. Que vaut ^f(0) ? Que vaut

f 12 

 

  ? Que vaut f  3

   ? Que vaut f  4

   ? Que vaut f  6

   ? Que vaut

f  2

   ?

2. Déterminer la période de f.

Annexe

1

-1 O 1

-1 -1/2 -1/2

1/2

1/2









+



1.

sin(3 ) sin(2x  x)

 

3 2 2 3 2 2 2 2

3 2 2 3 2 2 5 2 2

5 5

x k

x x k x x k x k

k k k k

x x k x x k x k x

   

 

     

 

 

     

 

                  

2

2 ; ,

5 5

S  k   k avec k 

 

  ; _{[0;2 ]} 3 7 9

0; ; ; ; ;

5 5 5 5

S _       

 .

2 2

3 3

2sin(2 ) 3 0 sin(2 ) sin(2 ) sin

2 3

2 2

3

x k

x x x

k k x

 



  

   

  

             



6 6

4 2

2 2

3 3

x k x k

x k

k

x k

k

   

   



 

     

 

 

 

    



  

 

   ; 2

; ,

6 3

S     k  k avec k 

 

 

[0;2 ] 5 2 5

; ; ;

6 6 3 3

S _      

 

2 2

2 2

sin(2 ) sin( / 2)

2 ( ) 2

2 2

x x x x

x x

x x x x

 

 

 

 

   

         

 

 

     

           

 

 

2 2 2 2 3 2 2

6 3

2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

x k

x x k x x k x k

x x k x x k x k x k

 

     

       



   

             

  

   

               

2

; 2 ,

6 3 2

S     k   k avec k 

 

  ; _{[0;2 ]} 7

; ; ;

6 2 6 2

S _     

 

2cos 3 3 cos 3 ³ cos 3 cos

3 3 2 3 6

x  x  x  

            

       

       

3 2 3 2 3 2

3 6 3 6 6

cos 3 cos

3 6

3 2 3 2 3 2

3 6 3 6 2

x k x k x k

x

x k x k x k

       

 

       

            

  

  

      

   

                  2

18 3

2

6 3

x k x k

 

 

   

 

   



2 2

3 ,

18 k ; 6 k3

S      avec k 

   

  ;

[0;2 ] 11 23 7

; ; ; ; ;

6 18 18 2 18 6

S _       

 .

Exercice 3

1. ^{(0) sin 3}

3 2

f     

  ; ^{( ) sin 2 sin 2 4 sin 6 sin 1}

12 12 3 12 12 12 2

f                  

       

^{sin 2 sin 0}

3 3 3

f^{ }   ^   ^  

    ; ^{sin 2 sin 6 4 sin 10 sin 5 1}

4 4 3 12 12 12 6 2

f                 

         

2 2 3

sin sin sin

6 6 3 3 3 3 2

f            

        ^{sin 2 sin sin 4 3}

2 2 3 3 3 2

f^{ }   ^   ^ ^ ^ ^  ^ 

        .

2. ^{f t T(  ) f t( )}

^{sin 2}

 

^{sin 2 2}

 

^{2 2 2 2 2 2}

3 3 3 3 3 3

t T  t  t T  t   t T  t  

                 

   

   

2T 2  T  par conséquent f est périodique de période T  Exercice 2

3 2

( ) 4 2 2 1

P x  x  x  x

3. P



^{1/ 2}

 

^{4 1/ 2}



³ ^{2( 1/ 2)2}  ²



^{1/ 2}



  ¹ 1/ 2 1/ 2 1 1 0    donc ^{P( 1/ 2) 0 } .x1/ 2 est une solution de l’équation ^{P x( ) 0}

2 3 2 2

3 2 3 2

( ) (2 1)( ) 2 2 2

2 ( 2 ) ( 2 ) 4 2 2 1

P x x ax bx c ax bx cx ax bx c

ax a b x b c x c x x x

         

        

2 4

2 2 2 ,

2 2 2 2 0

2 2

1 1

a a

a b

b a

b c

c c

 

 

  

      

    

   

  



et p x( ) (2 x1)(2x²1)

^{p x( ) 0 } (2x1)(2x² 1) 0 2x 1 0 ou 2x² 1 0 , on a donc ^{1; 2 ; 2}

2 2 2

S    

 

 

c) on pose ^{ucos(2 )x} et on a P(cos(2 )) 0x  puis on résout les équations correspondantes à chacune des 3 valeurs trouvées dans la question précédente .

^{cos2 1 cos 2 cos 2 2 2 2 2 2 2}

2 3 3 3 3 3

x   x ^  ^^ x   k ou x    k  x  k ou x   k

  

^{cos 2 2 cos 2 cos 3 2 3 2 2 3 2 3 3}

2 4 4 4 8 8

x   x ^  ^^ x   k ou x    k  x  k ou x   k

  

^{cos 2 2 cos 2 cos 2 2 2 2}

2 4 4 4 8 8

x  x ^{ }  ^ x  k ou x   k   x  k ou x   k

  

_{[0;2 ]} 3 3 4 2 11 5 9 7

; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;

8 8 8 8 3 3 3 3 8 8 8 8

S _              

 







 











 

1/2 1

-1 1/2

1/2 1

-1/2

-1

x y

O

A M

M₁

M₂

M₃

M₄

M5

M₆ C B

D E

