Universit´e de Pau et des Pays de l’Adour Master 1 MMS, 2015-2016 D´epartement de Math´ematiques Analyse Num´erique Fondamentale
TD 1 - R´eductions et d´ecompositions matricielles usuelles.
Exercice 1. Valeurs propres et approximation.
On s’int´eresse aux ´el´ements propres d’une matrice A de taille N ×N et de coefficient g´en´erique (ai,j) d´efini par :
ai,i= 2, ai,j =−1 si|i−j|= 1, ai,j = 0 sinon.
On en d´eduira une approximation spectrale d’un probl`eme aux limites (??).
1. D´emontrer queA est diagonalisable.
2. Soientλune valeur propre de Aetx= (x1,· · ·, xN) un vecteur propre associ´e.
a) On pose x0 = 0 et xN+1 = 0. Montrer que les xi sont les premiers termes d’une suite r´ecurrente lin´eaire d’ordre 2.
b) D´eterminer l’´equation caract´eristique associ´ee `a cette suite. Calculer son discrim- inant ∆ en fonction deλ.
c) En utilisant la condition xN+1 = 0, en d´eduire que ∆6= 0 . 3. Montrer que les valeurs propres de A sont les r´eels
2−2 cos(N+1kπ )
pour k = 1,· · · , N et calculer les vecteurs propres associ´es.
4. En d´eduire que la matrice sym´etriqueA est d´efinie positive.
5. Application : approximation spectrale d’un probl`eme aux limites. Calculer len`eme plus petit r´eel positif λnassoci´e `a l’´equation diff´erentielle ordinaire
u00+λnu= 0, u(0) = 0, u(L) = 0 , (1) o`uLest un r´eel positif. Soith >0 tel que (N+ 1)h=L. Calculerλhnlan`emevaleur propre de la matrice
2
h2 −h12 0 · · · 0
−h12 h22 −h12 0 · · · 0
· · · ·
· · · −1
h2 2 h2 −1
h2 · · · ·
· · · · 0 · · · 0 −h12 h22 −h12 0 · · · 0 −h12 h22
∈RN×N
D´emontrer le r´esultat de convergence suivant : λhn→λn lorsqueh→0.
1
Exercice 2. Factorisation LU et contre-exemples
1. Construire un exemple de matrice inversible qui n’admet pas de d´ecomposition LU. 2. Construire un exemple de matrice inversible sym´etrique admettant une d´ecomposition
LU mais n’´etant pas d´efinie positive.
Exercice 3. Exemple de factorisation de Cholesky
D´eterminer la factorisation de Cholesky de la matrice 4×4 suivante :
4 1 0 0 1 4 0 2 0 0 4 1 0 2 1 4
.
Exercice 4. D´ecompositionLDLT
Soit A une matrice r´eelle carr´ee d’ordre n. Dans cet exercice, on dit que A admet une d´ecomposition LDLT si il existe une matrice carr´ee d’ordre n triangulaire inf´erieure L telle que Lii = 1 pour i = 1,· · · , n, et une matrice diagonale D telle que Dii = di > 0 pour i= 1,· · · , n, avec A=LDLT.
1. SoitA une matrice admettant une d´ecomposition LDLT. V´erifier que la matriceA est sym´etrique. En ´evaluant (Ax, x) =xTAx, montrer que A est d´efinie positive.
2. SoitAune matrice sym´etrique d´efinie positive d’ordren. Elle admet une d´ecomposition de Cholesky A = BBT avec B une matrice triangulaire inf´erieure. On note ∆ la matrice diagonale d´efinie par ∆ii=Bii pouri= 1,· · · , n.
(a) Montrer que ∆ est inversible. Calculer les ´el´ements diagonaux de B∆−1. (b) Montrer queA admet une d´ecompositionLDLT.
(c) Montrer que la d´ecomposition LDLT est unique.
3. (a) En posant le probl`eme sous la forme :
A=
1 1 −1 1
1 3 −1 5
−1 −1 2 −2
1 5 −2 13
=
1 0 0 0
α 1 0 0 β β0 1 0 γ γ0 γ00 1
δ1 0 0 0 0 δ2 0 0 0 0 δ3 0 0 0 0 δ4
1 α β γ
0 1 β0 γ0 0 0 1 γ00
0 0 0 1
d´eterminer la d´ecomposition LDLT de A.
(b) Utiliser cette d´ecomposition pour r´esoudre le syst`eme : Ax=b avec b= (−2,−6,5,−16)T.
2
