Correction exercice 1 Ecrire les nombres complexes suivants sous leur forme exponentielle. ; ; ; ; ; Exercice 1 : Nombres complexes – Exercices 2éme Bac SM

(1)

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Nombres complexes – Exercices 2éme Bac SM

Exercice 1 :

Ecrire les nombres complexes suivants sous leur forme exponentielle.

1

1 1

z i

i

 

 ;

3 2

1 1

z i

i

  

    ; ^z³ ^{ }



¹ ⁱ ³



⁴ ; ^z⁴ ^{ }



¹ ⁱ ³

 

⁵^{ }¹ ⁱ ³



⁵ ;

5

1 3

3 z i

i

 

 ; ₆ ⁶ ² 2 2 z i

i

 

 Correction exercice 1

∎ ₁ ¹ 1 z i

i

 



4

2

2 2

2 2 2

2 2

2 2 2

cos sin

4 4

cos sin

4 4

i

i i

i i e

e e



 



 

  

 

  

  

 

  

 

 

    



∎

3 2

1 1 z i

i

  

   

3 3

2 2

i i

e e

 

 

  

 

∎^z³ ^{ }



¹ ⁱ ³



⁴



²



⁴ 2 2 ⁴

4 4

1 3

1 3 1 3

1 3

2 2 2

i

 

    

 

 





 



 

4

4 4 2

6 6 3

16 cos sin

6 6

16 ⁱ 16 ⁱ 16 ⁱ i

e e e

  

 

 

 

 

 

 

 

 

  

(2)

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∎^z⁴ ^{ }



¹ ⁱ ³

 

⁵^{ }¹ ⁱ ³



⁵

5 5

6 6

5 5

6 6

2 2

2 2 cos5

6 2 cos5

6

i i

i

e e

e

 





   

 

  

 

 



 

 



Car : cos⁵ 0 6

 _

∎ ₅ ¹ ³ 3 z i

i

 



3

6

3 6

6

2 3 1

2 2 2

cos sin

6 6

i

e i e

i e

e e e



 



 

  

 

 

  

  

 

  

 



∎ ₆ ⁶ ² 2 2 z i

i

 



3 1

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

cos sin

6 6

cos sin

4 4

cos sin

6 6

cos sin

4 4

i i i i

i i

 

 

  

 

  

  

 

  

 

 

  

    

    

 

    

6

6 4 12

4 i

i i

i

e e e

e

   



   

   

(3)

www.guessmaths.co E-mail : [email protected] whatsapp : 0604488896 Exercice 2 :

Calculer les racines carrées des nombres suivants.

1 1

z   ; z₂i ; z₃  1 i ; z₄  1–i ;

5 1 3

z  i ;

6 3 4

z   i ; z₇ 7 24i ; z₈ 3 4i ; z₉24 10 i Correction exercice 2

On cherche les nombres complexes tels que ² z₁ càd : ² 1

1 i

   ou ₂ i

On cherche les nombres complexes tels que ² z₂ càd : ² i eⁱ²

    4

1

2 2

ei i

       ou ₂ ⁴ ² ²

2 2

ei i

    

On cherche les nombres complexes tels que ² z₃ càd : ² 1 i 2eⁱ⁴

    

4 8 4

1 2 2 cos sin

8 8

ei i

  

   ^  ^ ou ₂ ⁴ ⁸ ⁴ ⁴ 9 9

2 2 cos sin 2 cos sin

8 8 8 8

ei i i

    

    ^  ^ ^  ^ C'est un peu insuffisant parce que l'on ne connait pas les valeurs de cos

8

 et de sin 8

 . Deuxième méthode

6 3 4

z   i

 

²

3 4    i 4 4i 1 2i et on retrouve que les racines carrées dez₆ 3 4i sont



²^ⁱ



^ou^{ }



² ⁱ



^.

De la même façon on calcul les autres racines carrées.