SOUTIEN PROPORTIONNALITÉ

(1)

SOUTIEN – PROPORTIONNALITÉ

Le

rapport

désigne la division de deux valeurs d’une même grandeur. Un rapport n’a pas d’unité.

Ex. : ℎ𝑎𝑢𝑡𝑒𝑢𝑟 𝑑𝑢 𝑐ℎê𝑛𝑒

ℎ𝑎𝑢𝑡𝑒𝑢𝑟 𝑑𝑢 𝑏𝑜𝑢𝑙𝑒𝑎𝑢= 2. Le rapport des hauteurs des deux arbres vaut 2. Cela signifie que la hauteur du chêne est deux fois plus grande que celle du bouleau.

La

proportion

désigne le rapport d’une partie sur le tout.

Ex. : Une classe de 32 élèves compte 18 filles. La proportion que représente les filles par rapport au nombre total d’élèves vaut

𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑓𝑖𝑙𝑙𝑒𝑠

𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑′é𝑙è𝑣𝑒𝑠=¹⁸

32.

Une proportion est souvent mesurée en pourcents. On parle alors d’un pourcentage. Cela revient à considérer la situation de 100 unités.

Ex. : Une classe de 32 élèves compte 18 filles. Le pourcentage que représentent les filles dans cette classe correspond au nombre de filles qui seraient présentes dans une classe de 100 élèves, dans la même proportion.

18 𝑓𝑖𝑙𝑙𝑒𝑠

32 é𝑙è𝑣𝑒𝑠=𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑓𝑖𝑙𝑙𝑒𝑠 ? 100 é𝑙è𝑣𝑒𝑠

Comme 100 est 3,125 fois plus grand que 32, le nombre de filles dans la classe sera lui aussi 3,125 fois plus grand que 18. Il vaudrait donc 3,125×18 = 56,25.

Ainsi, la proportion que représente les filles par rapport aux élèves de cette classe équivaut à 56,25 filles pour cent élèves, c’est-à-dire à 56,25 %.

Deux grandeurs sont

proportionnelles

si leur proportion garde la même valeur lorsque les deux grandeurs évoluent.

Ex. : dix litres d’air pèsent treize grammes et vingt litres d’air pèsent vingt-six grammes, et

13 𝑔 26 𝑔= ^{10 𝐿}

20 𝐿 : la proportion garde la même valeur.

Il est alors possible de déterminer la valeur d’une des deux grandeurs par unité de l’autre. Ici par exemple la masse par unité de volume. Ainsi, chaque litre d’air pèse 1,3 g. Il s’agit de la masse volumique de l’air et sa valeur est égale à 1,3 g par litre, c’est-à-dire 1,3 g pour chaque litre d’air.

Le même raisonnement peut être conduit à l’aide d’un tableau, appelé tableau de proportionnalité. Dans ce tableau, si une des deux grandeurs voit sa valeur doubler, l’autre aussi : elles gardent entre elles les mêmes proportions.

Grandeurs Échantillon 1 Échantillon 2 Échantillon 3

masse 13 g 26 g 1,3 g

volume 10 L 20 L 1 L

× 2

Conseil :

Face à des grandeurs de ce genre, rédiger une phrase en français qui commence par

« chaque ».

Vocabulaire

(d’après cnrtl.fr)

Rapport : résultat de la comparaison de deux grandeurs inégales mais de même espèce.

Proportion : rapport de grandeur entre les parties d’une chose, entre l’une d’elles et le tout.

Proportionnel : qui varie en proportion.

Proportionnalité : caractère de deux grandeurs qui restent proportionnelles entre elles.

(2)

Les rapports 

1. ^{𝑚𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑑}^′𝑢𝑛 𝑎𝑡𝑜𝑚𝑒 𝑑𝑒 𝑐ℎ𝑙𝑜𝑟𝑒

𝑚𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑑^′𝑢𝑛 𝑎𝑡𝑜𝑚𝑒 𝑑𝑒 𝑠𝑜𝑑𝑖𝑢𝑚= 1,54. Faire une phrase avec le mot « fois ».

2. 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑢 𝑛𝑜𝑦𝑎𝑢

𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑒𝑙𝑙𝑢𝑙𝑒=₁₀¹. Faire une phrase avec le mot « fois ».

3. Le diamètre du Soleil vaut 1 392 milliers de km, celui de la Terre vaut 12 milliers de km. Calculer le rapport des diamètres.

4. La distance Terre-Lune vaut 384 milliers de km, elle est environ 391 fois plus petite que la distance Terre-Soleil. Calculer la distance Terre-Soleil.

Les proportions et pourcentages 

1. 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑢 𝑛𝑜𝑦𝑎𝑢

𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑒𝑙𝑙𝑢𝑙𝑒

=

¹

10

.

Calculer le pourcentage que représente le volume du noyau par rapport au volume de la cellule.

2. Calculer le pourcentage que représente le diamètre terrestre par rapport au diamètre solaire.

3. Calculer le pourcentage que représente la distance Terre-Lune par rapport à la distance Terre-Soleil.

4. Calculer le pourcentage que représente la masse d’un atome de sodium par rapport à celle d’un atome de chlore.

5. Du Nord au Sud, la France balaye un angle au centre de la Terre égal à 8,8°.

Calculer en pourcentage la proportion que représente la France par rapport au tour de la Terre.

Les grandeurs quotients 

1. La masse volumique du chlorure de sodium vaut 2,16 kg/L. Faire une phrase en français qui commence par « chaque ».

2. Sans formule, déterminer la masse de 1,4 L de chlorure de sodium.

3. La puissance rayonnée par le Soleil vaut 3,86×10²⁶ J/s. Faire une phrase en français qui commence par « chaque ».

4. Sans formule, calculer l’énergie en J rayonnée par le Soleil chaque minute.

 🙁

 😐

 🙂

 🙁

 😐

 🙂

 🙁

 😐

 🙂

(3)

Éléments de correction Les rapports

1. La masse d’un atome de chlore est 1,54 fois plus grande que la masse d’un atome de sodium.

2. Le volume du noyau est dix fois plus petit que le volume de la cellule ou le volume de la cellule est dix fois plus grand que le volume du noyau.

3. 𝑑𝑖𝑎𝑚è𝑡𝑟𝑒 𝑑𝑢 𝑆𝑜𝑙𝑒𝑖𝑙

𝑑𝑖𝑎𝑚è𝑡𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑇𝑒𝑟𝑟𝑒 =1392 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑖𝑒𝑟𝑠 𝑑𝑒 𝑘𝑚 12 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑖𝑒𝑟𝑠 𝑑𝑒 𝑘𝑚 =¹³⁹²

12 = 116 ou 𝑑𝑖𝑎𝑚è𝑡𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑇𝑒𝑟𝑟𝑒 𝑑𝑖𝑎𝑚è𝑡𝑟𝑒 𝑑𝑢 𝑆𝑜𝑙𝑒𝑖𝑙 = ¹²

1392= ¹

116= 0,0086

4. La distance Terre-Soleil est 391 fois plus grande que la distance Terre-Lune. La distance Terre-Soleil est donc391 fois plus grande que 384 milliers de km, elle vaut 391×384 milliers de km soit 150 144 milliers de km.

Les proportions et les pourcentages

1. 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑢 𝑛𝑜𝑦𝑎𝑢 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑒𝑙𝑙𝑢𝑙𝑒= ¹

10= ^?

100. La valeur recherchée représente par rapport à 100, ce que 1 représente par rapport à dix, c’est-à-dire une valeur dix fois plus petite. Or le nombre dix fois plus petit que cent vaux dix. Le volume du noyau représente dix pour cents du volume de la cellule.

2. 𝑑𝑖𝑎𝑚è𝑡𝑟𝑒 𝑡𝑒𝑟𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒

𝑑𝑖𝑎𝑚è𝑡𝑟𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑎𝑖𝑟𝑒 = 12 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑖𝑒𝑟𝑠 𝑑𝑒 𝑘𝑚 1392 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑖𝑒𝑟𝑠 𝑑𝑒 𝑘𝑚= ¹²

1392= ^?

100. Comme 12 est 116 fois plus petit que 1392, le nombre recherché est 116 fois plus petit que 100, il vaut donc ¹⁰⁰

116= 0,86. Le diamètre terrestre représente 0,86 % du diamètre solaire.

3. 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑒 𝑇𝑒𝑟𝑟𝑒−𝐿𝑢𝑛𝑒 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑒 𝑇𝑒𝑟𝑟𝑒−𝑆𝑜𝑙𝑒𝑖𝑙= ¹

391= ^?

100. Le nombre recherché est 391 fois plus petit que 100, il vaut ¹⁰⁰

391= 0,26. La distance Terre-Lune représente 0,26% de la distance Terre-Soleil.

4. ^{𝑚𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑑}^′𝑢𝑛 𝑎𝑡𝑜𝑚𝑒 𝑑𝑒 𝑠𝑜𝑑𝑖𝑢𝑚 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑑^′𝑢𝑛 𝑎𝑡𝑜𝑚𝑒 𝑑𝑒 𝑐ℎ𝑙𝑜𝑟𝑒 = ¹

1,54= ^?

100. Le nombre recherché est 1,54 fois plus petit que 100, il vaut ¹⁰⁰

1,54= 65. La masse d’un atome de sodium représente 65 % de la masse d’un atome de chlore.

5. 𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒 𝑏𝑎𝑙𝑎𝑦é 𝑝𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝐹𝑟𝑎𝑛𝑐𝑒 𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒 𝑏𝑎𝑙𝑎𝑦é𝑒 𝑝𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑇𝑒𝑟𝑟𝑒 = ^8,8°

360°= ^?

100. Comme 100 est 3,6 fois plus petit que 360, le nombre recherché est 3,6 fois plus petit que 8,8, il vaut donc ^8,8

3,6= 2,4. L’étendue de la France représente 2,4 % du tour de la Terre.

Les grandeurs quotients

1. Chaque litre de chlorure de sodium a une masse de 2,16 kg.

2. Il faut compter 1,4 fois la masse d’un litre de chlorure de sodium, soit 1,4×2,16 kg = 3,0 kg.

3. Chaque seconde, le Soleil rayonne une énergie égale à 3,86×10²⁶ J.

4. Comme une minute compte soixante secondes, il faut compter soixante fois l’énergie rayonnée en une seconde, soit 60×3,86×10²⁶ J = 231,6 ×10²⁶ J.

(4)

Nom : Prénom : Classe :

Test de début de séance : Su Non

su

TD1. En moyenne, la taille d’une celle animale est de 50 µm, celle d’une cellule végétale est

de 100 µm. Calculer le rapport de ces tailles.

TD2. Parmi 25 atomes de l’Univers, 23 sont des atomes d’hydrogène. Calculer le pourcentage que représente le nombre d’atomes d’hydrogène par rapport à tous les atomes dans l’Univers.

TD3. La masse volumique du fer vaut 7,9 kg/L. Calculer la masse de 2,3 L de fer.

(5)

Test de fin de séance : Su Non su

TF1. Le volume d’une maille vaut 90 µm³. Les atomes y occupent un volume égal à

57,6 µm³. Calculer le rapport des volumes.

TF2. Parmi 25 kg d’atomes dans l’Univers, 6 kg sont composés d’hélium. Calculer en pourcentage la proportion que représente la masse de l’hélium par rapport à la masse des atomes de l’Univers.

TF3. La vitesse de la lumière dans le vide vaut 300 millions de km par seconde. Calculer la valeur de la distance parcourue par la lumière dans le vide en une minute.