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A2843. Un, deux, trois,…, 2022 variables Solution de Kee-Wai Lau
𝑄1: Puisque 𝑥4+ 4𝑥 − 1 = (𝑥2+ √2𝑥 + 1 − √2)(𝑥2− √2𝑥 + 1 + √2), les
solutions sont −√2(1+√2√2−1)
2 ,√2(√2√2−1 −1)
2 ,√2(1−𝑖√2√2+1)
2 , et √2(1+𝑖√2√2+1)
2 ,
où 𝑖 = √−1.
𝑄2: En supprimant les dénominateurs, nous obtenons
(𝑥 − 𝑦)(1 + 2021𝑦)(1 + 2021𝑥) + (𝑦 − 2021)(1 + 𝑥𝑦)(1 + 2021𝑥) + (2021 − 𝑥)(1 + 𝑥𝑦)(1 + 2021𝑦) = 0, ou
(𝑥 − 𝑦)(𝑥 − 2021)(𝑦 − 2021) = 0.
Les solutions sont (𝑥, 𝑦) = (2021, 𝑠), (𝑡, 2021), où 𝑠 et 𝑡 sont des nombres réels
différent de 2021, − 1
2021.
𝑄3: Clairement 𝑥𝑦𝑧 ≠ 0. La première équation donne 𝑧 =𝑥2−𝑥𝑦−5
𝑥 . En
substituent 𝑧 aux deuxième et troisième équations, on obtient respectivement
2𝑥𝑦2− 2𝑥2𝑦 + 4𝑥 + 5𝑦 = 0 (*) et
2𝑥2𝑦2− 2𝑥3𝑦 + 15𝑥𝑦 + 2𝑥2 + 25 = 0. (**)
De (*) et (**), on a 𝑥(−4𝑥 − 5𝑦) + 15𝑥𝑦 + 2𝑥2+ 25 = 0 ou 𝑦 =2𝑥2−25
10𝑥 .
En substituant 𝑦 dans (*), nous obtenons 𝑥2(𝑥 + 5)(𝑥 − 5) = 0. Par conséquent,
les solutions sont (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (−5, −1
2, − 7
2) , (5, 1
2, 7
2).
2
𝑄4: Parl'inégalité arithmético-géométrique, on obtient de 𝑥1+ 1
𝑥2 = 2
2021 et
𝑥2 + 1
𝑥3= 4042 que
1 = (𝑥1+
1
𝑥2)(𝑥2+ 1 𝑥3)−1
3 =𝑥1𝑥2+
𝑥1 𝑥3 + 1
𝑥2𝑥3
3 ≥ √(𝑥1𝑥2) (𝑥1
𝑥3) ( 1
𝑥2𝑥3)
3 = (𝑥1
𝑥3)
2 3.
Ainsi 𝑥1 ≤ 𝑥3. De même, à partir de 𝑥2+ 1
𝑥3 = 4042 et 𝑥3 + 1
𝑥4= 2
2021, on
obtient 𝑥2 ≤ 𝑥4. Successivement, on a
𝑥1 ≤ 𝑥3 ≤ 𝑥5 ≤ ⋯ ≤ 𝑥2021≤ 𝑥1 et
𝑥2 ≤ 𝑥4 ≤ 𝑥6 ≤ ⋯ ≤ 𝑥2022≤ 𝑥2.
Par conséquent, 𝑥1 = 𝑥3 = 𝑥5 = ⋯ = 𝑥2021 et 𝑥2 = 𝑥4 = 𝑥6 = ⋯ = 𝑥2022.
Maintenant, de 𝑥1+ 1
𝑥2 = 2
2021 et 𝑥2+ 1
𝑥1 = 4042, on a 𝑥1 = 1
2021 et
𝑥2 = 2021. Enfin,
𝑥1 = 𝑥3 = 𝑥5 = ⋯ = 𝑥2021= 1
2021 et 𝑥2 = 𝑥4 = 𝑥6 = ⋯ = 𝑥2022 = 2021.
