D333. 2D dans 3D
Q1 : Six pointsA,B,C,D,EetFdans l’espace sont tels que les segmentsAB,BCetC Dsont respecti- vement parallèles aux segmentsDE,E FetF A. Par ailleurs la distanceABest strictement supérieure à la distanceDE. Démontrer que les six points sont dans un même plan.
Q2 : On considère quatre pointsA,B,CetDdans l’espace qui n’appartiennent pas à un même plan.
Les segmentsAB,BC,C DetD Asont tangents à une même sphère aux pointsI,J,K etL. Démontrer que les quatre pointsI,J,KetLsont dans un même plan.
Solution de Claude Felloneau
Q1 : Si les points A,B,C,D ne sont pas coplanaires, les droites (AB) et (BC) sont sécantes. Elles sont respectivement parallèles aux droites (DE) et (E F), donc (DE) et (E F) sont sécantes et les plans (ABC) et (DE F) sont parallèles.
Le plan (AC D) est sécant à (ABC) selon (AC), il est donc sécant à (DE F) selon la parallèle à (AC) passant parDet comme il contientF, cette droite est (F D). Ainsi (F D) est parallèle à (AC).
Or (C D) est parallèle à (F A) doncAC DFest un parallélogramme. Ainsi−−→ F D=−→
AC. Soientαetβles réels tels que−→
F E=α−→
BCet−−→ E D=β−→
AB, on a
−→AB+−→
BC=−→
AC=−−→ F D=−→
F E+−−→ E D=α−→
BC+β−→
AB, donc
(β−1)−→
AB=(1−α)−→
BC, d’où α=1 etβ=1 puisque−→
ABet−→
BCne sont pas colinéaires.
On en déduit queE D=AB, ce qui contredit l’hypothèse.
AinsiDappartient au plan (ABC).
Par suite,Fest dans le plan (ABC) puisque (F A) est parallèle à (C D), etEappartient au plan (ABC) car (E F) est parallèle à (BC) etF∈(ABC).
Les pointsA,B,C,D,E,Fsont donc coplanaires.
Q2 : Les droites (AB) et (AD) sont tangentes à la sphèreS, de centreO, enIetL, donc les triangles AI OetALOsont rectangles enO. Les pointsI etLappartiennent à la sphèreSAde diamètre [O A] et donc au cercleCA=SA∩S d’axe (O A). On a alorsAI=AL=a.
De même,B I=B J=b,C J=C K =c,DK=DL=d.
SoientP un plan contenant (AC) et un pointMtel que les segments [M A] et [MC] sont tangents à la sphèreS en deux pointsRetSvérifiantR A=aetRC =c. Le planP coupe la sphèreS suivant un cercleC contenantRetS.
– Sia=c, commeM R =M S, le triangle M ACest isocèle en M et la droite (R S) est parallèle à (AC).
– Sia6=c, les droites (R S) et (AC) sont sécantes au pointE, barycentre de (A,−c) et (C, a).
En effet, en posantm=M R=M S, R= bary
½ A M m a
¾
= bary
½ A M
−mc −ac
¾
etS= bary
½ M C c m
¾
= bary
½ M C ac am
¾ , donc
bary
½ R S
−(a+m)c (m+c)a
¾
= bary
½ A M M C
−mc −ac ac am
¾
= bary
½ A C
−mc ma
¾
=E. Les droites (R S) et (AC) sont donc sécantes enE= bary
½ A B
−c a
¾ .
En appliquant le résultat précédent aux plans (ABC) et (AC D), on en déduit que les droites (I J), (AC) et (K L) sont soit parallèles (sia=c), soit sécantes enE(sia6=c).
Les pointsI,J,K,Lsont donc coplanaires.
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