Lois de probabilités finies

Lois de probabilités finies

La loi uniforme. C’est la loi qui correspond à un tirage « au hasard » d’un élément parmin. Plus précisément, une variable aléatoire finieXsuit une loi uniforme sur‚1,nƒ(notation :X,→U(‚1,nƒ)) lorsque :

• Xprend ses valeurs dans‚1,nƒ;

• Pour touti∈ ‚1,nƒ,P(X=i)=1 n. On a alorsE(X)=n+1

2 etV(X)=n²−1 12 .

Situation type :on considère une urne qui contientnboules numérotées de 1 àn. On tire une boule au hasard et on noteXle numéro de la boule obtenue, alorsX,→U(‚1,nƒ).

La loi de Bernoulli. C’est la loi qui représente les expériences aléatoires qui n’ont que deux issues possibles (succèsetéchec), la probabilité de succès étantp. Plus précisément une variable aléatoire Xsuit une loi de Bernoulli de paramètrep∈]0, 1[ (notation :X,→B(p)) lorsque :

• Xprend ses valeurs dans {0, 1} ;

• P(X=1)=petP(X=0)=1−p.

On a alorsE(X)=petV(X)=p(1−p).

Situation type :on considère une pièce pour laquelle la probabilité d’obtenirpileestp∈]0, 1[. On lance la pièce et on poseX=1 si elle tombe surpileetX=0 sinon, alorsX,→B(p).

La loi binomiale. C’est la loi qui correspond au nombre de succès lorsque l’on réalisen expé- riences indépendantes et que pour chacune d’elles la probabilité de succès est p. Plus précisé- ment, une variable aléatoireXsuit une loi binomiale de paramètresn∈N^∗etp∈]0, 1[ (notation : X,→B(n,p)) lorsque :

• Xprend ses valeurs dans‚0,nƒ;

• Pour toutk∈ ‚0,nƒ,P(X=k)=



ⁿ_k



p^k(1−p)^n−k. On a alorsE(X)=npetV(X)=np(1−p).

Situation type :on considère une pièce pour laquelle la probabilité d’obtenirpileestp∈]0, 1[. On lancenfois cette pièce et on noteXle nombre de fois où le résultat estpile, alorsX,→B(n,p).

Remarque. La loiB(1,p) est la loi de BernoulliB(p).

Somme de variables aléatoires suivant la loi binomiale. On considère une pièce pour laquelle la probabilité d’obtenirpileestp∈]0, 1[. Considérons les deux expériences suivantes :

1

• On lancenfois la pièce, on noteX1le nombre de fois où l’on obtientpile, on lancemfois la pièce, on noteX2le nombre de fois où l’on obtientpilepuis on poseX=X1+X2;

• On lancen+mfois la pièce et on noteXle nombre de fois où l’on obtientpile.

Dans le cas de la première expérience, on aX1,→B(n,p) etX2,→B(m,p). Pour la deuxième, on a X,→B(n+m,p). Du point de vue de la variable aléatoireXobtenue, ces deux expériences sont les mêmes ce qui permet de se convaincre du résultat suivant :

siX1,→B(n,p) etX2,→B(m,p) (etX1etX2sont indépendantes), alorsX1+X2,→B(n+m,p) (attention : le paramètrep doit être le même pour les deux lois binomiales). En tenant compte du fait que la loiB(p) est la loiB(1,p) :

siX1, . . . ,Xn,→B(p) (etX1, . . . ,Xnsont mutuellement indépendantes), alorsX1+ · · · +Xn,→B(n,p)

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