Syst` emes trois-trois homog` enes
D´edou
Octobre 2010
Mon premier syst` eme homog` ene ` a trois ´ equations et trois inconnues
R´esoudre le syst`eme aux trois inconnuesx,y etz :
x+y−z = 0 x−y−z = 0 2x−y+z = 0.
c’est calculer l’intersection de trois plans dans l’espace.
Ces trois plans passent par l’origine (donc il y a toujours cette solution “triviale”).
Les deux premi`eres ´equations ne sont pas proportionnelles donc les deux premiers plans se coupent suivant une droiteD. Donc deux cas peuvent se produire
le troisi`eme plan contient la droite D, qui, du coup, est l’ensemble des solutions.
le troisi`eme plan ne contient pas la droiteD, auquel cas il ne coupe D qu’en 0, qui est la seule solution.
Syst` emes faciles
Un syst`eme sera ditfacile si l’une des inconnues n’apparaˆıt que dans une ´equation.
Le syst`eme
2x−z = 0 x+ 2y+z = 0 x+ 3z = 0 est facile.
Exo 1
Donnez un autre syst`eme facile.
R´ esolution d’un syst` eme facile
Pour r´esoudre un syst`eme facile,
on r´esout le sous-syst`eme deux-deux
on g`ere intelligemment la derni`ere inconnue.
Exo 2
R´esoudre le syst`eme
2x−z = 0 x+ 2y+z = 0 x+ 3z = 0
Syst` emes ´ equivalents
On veut apprendre `a remplacer un syst`eme pas facile par un syst`eme facile ´equivalent :
On dit que deux syst`emes sont´equivalentss’ils ont les mˆemes solutions.
Exo 3
Donner un exemple de deux syst`emes ´equivalents.
Le second principe fondamental des syst` emes d’´ equations
Le second principe fondamental des syst`emes d’´equations s’´enonce comme suit :
On ne change pas les solutions d’un syst`eme
en multipliant une ´equation par un nombrenon-nul; en ajoutant `a une ´equation un multiple d’une autre.
La m´ ethode de Gauss
La m´ethode de Gauss pour nos syst`emes consiste `a appliquer le second principe fondamental pour remplacer le syst`eme donn´e par un syst`eme facile ´equivalent.
