Logique floue

(1)

Présentation générale

>-normes

Logique floue

15 F´evrier 2010

Logique floue

(2)

>-normes

Plan

1 Présentation générale

2 >-normes

Logique floue

(3)

>-normes

Degr´ es de v´ erit´ e

Logique classique : Soit il fait froid, soit il fait pas froid.

Logique intuitionniste : On ne peut pas prouver qu’il fasse froid ou qu’il fasse pas froid.

Logique floue : Soit il fait froid, soit il ne fait pas froid, soit il fait un peu froid.

avec ”un peu” entre 0 et 1.

Logique floue

(4)

>-normes

Degr´ es de v´ erit´ e

Logique floue

(5)

>-normes

Degr´ es de v´ erit´ e

Logique floue

(6)

>-normes

SoitA(t) fonction de la temp´erature t qui indique sit est froid ou non.

A(t) = 1 sit ≤t₁ avec t₁ donn´e.

A(t) = 0 sit ≤t₂ avec t₂>t₁. A d´ecroissant et continu entret1 ett2.

Logique floue

(7)

>-normes

Pourquoi flouter ?

Existence de temp´eratures d´efinitivement froides.

Existence de temp´eratures d´efinitivement pas froides.

Ces deux ensembles ne sont pas contigus.

Logique floue

(8)

>-normes

Rapport avec les probabilit´ es

Probabilit´es : Il fait froid avec une probabilit´e de 0.5.

Logique Lin´eaire : Il fait froid avec une valeur de 0.5.

Probabilit´es : On ne connaˆıt pas la valeur.

Logique Lin´eaire : On connaˆıt la valeur, et on la quantifie. Exemple des bouteilles.

Logique floue

(9)

>-normes

Rapport avec les probabilit´ es

Logique Lin´eaire : On connaˆıt la valeur, et on la quantifie. Exemple des bouteilles.

Logique floue

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>-normes

Rapport avec les probabilit´ es

Logique Lin´eaire : On connaˆıt la valeur, et on la quantifie.

Exemple des bouteilles.

Logique floue

(11)

>-normes

Rapport avec les probabilit´ es

Logique Lin´eaire : On connaˆıt la valeur, et on la quantifie.

Exemple des bouteilles.

Logique floue

(12)

>-normes

Application

A : Il fait froid dans la pi`ece.

B : Je suis habill´e chaudement.

C : J’utilise la climatisation pour r´echauffer la pi`ece.

A,B et C sont des variables floues. On pose C =A∧(¬(B))

Logique floue

(13)

>-normes

Connecteurs logiques

1 NOT :¬(a) = 1−a

2 AND : a∧b =>(a,b)

3 OR :a∨b=⊥(a,b)

Logique floue

(14)

>-normes

D´ efinition

Fonction>de [0,1]∗[0,1] vers [0,1] qui v´erifie :

1 Commutativit´e : >(a,b) =>(b,a)

2 Monotonicit´e : >(a,b)≤ >(c,d) si a≤c etb ≤d

3 Associativit´e :>(a,>(b,c)) =>(>(a,b),c)

4 Identit´e :>(1,a) =a Notation :∗

Logique floue

(15)

>-normes

D´ efinition

Logique floue

(16)

>-normes

D´ efinition

Logique floue

(17)

>-normes

D´ efinition

4 Identit´e :>(1,a) =a

Notation :∗

Logique floue

(18)

>-normes

D´ efinition

Logique floue

(19)

>-normes

Continuit´e

N´ecessaire pour la logique floue.

Id´ee intuitive : changements microscopiques sur les entr´ees n’induisent pas de changement macroscopique sur la sortie.

Logique floue

(20)

>-normes

Archim`edicit´e

∀(x,y) dans ]0,1[ on a n tel quexⁿ≤y.

Si on a cette condition : Nilpotence↔ Il existex 6= 0 nilpotent

>stricte :> non nilpotente.

Logique floue

(21)

>-normes

Archim`edicit´e

∀(x,y) dans ]0,1[ on a n tel quexⁿ≤y. Si on a cette condition : Nilpotence↔Il existe x 6= 0 nilpotent

>stricte :>non nilpotente.

Logique floue

(22)

>-normes

Ordre partiel

>₁ ≤ >₂ si et seulement si>₁(a,b)≤ >(a,b) pour tout (a,b) de [0,1]

>grande ⇔ conjonction faible

Logique floue

(23)

>-normes

Exemples

Minimum : >(a,b) = min(a,b)

Utilis´ee en logique floue pour des conjonctions faibles. Plus grande des >-normes.

Produit : >(a,b) =a·b

Utilis´ee en logique floue pour des conjonctions fortes. Stricte. Lukasiewicz :>(a,b) = max(0,a+b−1)

Nilpotente.

Drastique :>(a,b) =b si a= 1, >(a,b) =a si b= 1,

>(a,b) = 0 sinon.

Continue `a droite, mais pas continue. Plus petite des

>-normes.

Logique floue

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>-normes

Exemples

Utilis´ee en logique floue pour des conjonctions fortes. Stricte.

Lukasiewicz :>(a,b) = max(0,a+b−1) Nilpotente.

>(a,b) = 0 sinon.

>-normes.

Logique floue

(25)

>-normes

Exemples

>(a,b) = 0 sinon.

>-normes.

Logique floue

(26)

>-normes

Exemples

Drastique :>(a,b) =b si a= 1, >(a,b) =a sib = 1,

>(a,b) = 0 sinon.

>-normes.

Logique floue

(27)

>-normes

Minimum nilpotent : >(a,b) = min(a,b) sia+b >1,

>(a,b) = 0 sinon.

Continue `a gauche, mais pas continue. Non nilpotente.

Produit d’Hamacher : >(a,b) = 0 sia=b = 0,

>(a,b) = _a+b−ab^ab sinon.

Stricte. Utilisée dans des classes paramétriques de générateurs de>-normes (nommément Hamacher et Schweiser-Sklar).

Logique floue

(28)

>-normes

Minimum nilpotent : >(a,b) = min(a,b) sia+b >1,

>(a,b) = 0 sinon.

Continue `a gauche, mais pas continue. Non nilpotente.

Produit d’Hamacher :>(a,b) = 0 sia=b = 0,

>(a,b) = _a+b−ab^ab sinon.

Stricte. Utilisée dans des classes paramétriques de générateurs de>-normes (nommément Hamacher et Schweiser-Sklar).

Logique floue

(29)

>-normes

Implication

Soit>une >-norme continue `a gauche. Alors il existe une unique fonction⇒ telle que

>(z,x)≤y ↔z ≤(x⇒y) Egalement appel´e r´esidu.

On a

x⇒y = max{z|>(z,x)≤y}

Logique floue

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>-normes

Implication

Soit>une >-norme continue `a gauche. Alors il existe une unique fonction⇒ telle que

>(z,x)≤y ↔z ≤(x⇒y) Egalement appel´e r´esidu.

On a

x⇒y = max{z|>(z,x)≤y}

Logique floue

(31)

>-normes

Propri´ et´ es

x ⇒y = 1 si et seulement six≤y.

(1⇒y)⇒y

min(x,y)≥ >(x,(x⇒y)) Egalit´e si >est continue. max(x,y) = min((x ⇒y)⇒y,(y⇒x)⇒x)

Logique floue

(32)

>-normes

Propri´ et´ es

(1⇒y)⇒y

min(x,y)≥ >(x,(x⇒y)) Egalit´e si >est continue. max(x,y) = min((x ⇒y)⇒y,(y⇒x)⇒x)

Logique floue

(33)

>-normes

Propri´ et´ es

(1⇒y)⇒y

min(x,y)≥ >(x,(x⇒y)) Egalit´e si> est continue.

max(x,y) = min((x ⇒y)⇒y,(y⇒x)⇒x)

Logique floue

(34)

>-normes

Propri´ et´ es

(1⇒y)⇒y

min(x,y)≥ >(x,(x⇒y)) Egalit´e si> est continue.

max(x,y) = min((x ⇒y)⇒y,(y⇒x)⇒x)

Logique floue

(35)

>-normes

Exemples

On ax⇒y = 1 si x≤y. Donc on supposex >y. Valeurs de x⇒y pour :

Minimum : y Produit : ^y_x

Lukasiewicz : 1−x+y

Minimum nilpotent : max(1−x,y)

Logique floue

(36)

>-normes

>-conormes

Duale de la>-norme.

⊥(a,b) = 1− >(1−a,1−b) Mêmes propriétés que pour>:

1 Commutativit´e

2 Monotonicit´e

3 Associativit´e

4 Identit´e :⊥(0,a) =a

Logique floue

(37)

>-normes

Exemples

Minimum : Maximum

⊥(a,b) = max(a,b) Utilis´ee en logique floue pour des disjonctions faibles. Plus petite des >-conormes.

Produit : Somme probabilistique

⊥(a,b) =a+b−a·b Utilis´ee en logique floue pour des disjonctions fortes.

Lukasiewicz : Somme born´ee

⊥(a,b) = min(a+b,1) Drastique : Drastique

⊥(a,b) =b si a= 0, ⊥(a,b) =a si b= 0,⊥(a,b) = 1 sinon. Plus grande des >-conormes.

Minimum nilpotent : Maximum nilpotent

⊥(a,b) = max(a,b) sia+b <1,⊥(a,b) = 1 sinon. Hamacher : Somme d’Einstein

⊥(a,b) = _1+ab^a+b

Logique floue

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>-normes

Exemples

Minimum : Maximum

⊥(a,b) = _1+ab^a+b

Logique floue

(39)

>-normes

Exemples

Minimum : Maximum

⊥(a,b) = min(a+b,1)

Drastique : Drastique

⊥(a,b) = _1+ab^a+b

Logique floue

(40)

>-normes

Exemples

Minimum : Maximum

⊥(a,b) =b si a= 0, ⊥(a,b) =a sib = 0,⊥(a,b) = 1 sinon.

Plus grande des >-conormes.

⊥(a,b) = _1+ab^a+b

Logique floue

(41)

>-normes

Exemples

Minimum : Maximum

⊥(a,b) = max(a,b) sia+b <1,⊥(a,b) = 1 sinon.

Hamacher : Somme d’Einstein

⊥(a,b) = _1+ab^a+b

Logique floue

(42)

>-normes

Exemples

Minimum : Maximum

⊥(a,b) = max(a,b) sia+b <1,⊥(a,b) = 1 sinon.

Hamacher : Somme d’Einstein

⊥(a,b) = _1+ab^a+b

Logique floue

(43)

>-normes

Propri´ et´ es

El´ement nul

Pour touta de [0,1] :

>(0,1) = 0

⊥(1,a) = 1

Distribution

>(x,⊥(y,z)) =⊥(>(x,y),>(x,z)) pour tousx,y etz si et seulement si ⊥est la ⊥-conorme Maximum.

⊥(x,>(y,z)) =>(⊥(x,y),⊥(x,z)) pour tousx,y etz si et seulement si >est la >-conorme Minimum.

Logique floue

(44)

>-normes

Propri´ et´ es

El´ement nul

Pour touta de [0,1] :

>(0,1) = 0

⊥(1,a) = 1

Distribution

>(x,⊥(y,z)) =⊥(>(x,y),>(x,z)) pour tousx,y etz si et seulement si ⊥est la⊥-conorme Maximum.

⊥(x,>(y,z)) =>(⊥(x,y),⊥(x,z)) pour tousx,y etz si et seulement si >est la>-conorme Minimum.

Logique floue

(45)

>-normes

Conclusion

La logique floue permet d’opérer sur des éléments dont les états ne sont pas binaires.

Logique floue