Partie III – Prolongement d’une application absolument monotone

DS2 de MP2 22.09.15

Devoir surveill´ e

Dur´ ee : 4 heures

D´efinition : soitaetbdeux ´el´ements de la droite num´erique achev´eeR, o`ua < b, etf une application de ]a, b[ dansR, de classeC^∞sur ]a, b[ (i.e. un ´el´ement deC^∞(]a, b[)). La fonctionf est diteabsolument monotone si :

∀n∈N, ∀x∈]a, b[, f⁽ⁿ⁾(x)>0.

Partie I – G´ en´ eralit´ es

I.1 Montrer que toute application absolument monotone est positive et croissante. Donner un exemple d’application absolument monotone d´ecroissante.

I.2 Soitf et g deux fonctions absolument monotones sur ]a, b[. Montrer quef +g et f g sont absolument monotones.

I.3Montrer que sif est absolument monotone sur ]a, b[, alorse^f est absolument monotone sur ]a, b[.

Indication : on pourra effectuer une r´ecurrence forte.

Partie II – La fonction arcsinus est absolument monotone sur ]0, 1[

II.1On consid`ere l’application

g : ]0,1[ → R x 7→ ¹₂

1

1−x−_1+x¹ .

a Calculer les d´eriv´ees successives deg.

bMontrer quegest absolument monotone sur ]0,1[.

II.2Montrer que l’application

f : ]0,1[ → R x 7→ ^{√ 1}

1−x²

est absolument monotone sur ]0,1[.

Indication : on pourra consid´ererh= ln(f) et calculerh⁰.

II.3Montrer que l’application arcsinus est absolument monotone sur ]0,1[.

Partie III – Prolongement d’une application absolument monotone

On suppose iciar´eel, etf absolument monotone sur ]a, b[.

III.1Montrer quef est prolongeable par continuit´e enaen ˜f : [a, b[→R, que ce prolongement est d´erivable ena, et que ˜f⁰(a)>0.

III.2Montrer que ˜f est de classeC^∞ sur [a, b[, et que toutes ses d´eriv´ees sont positives ou nulles ena.

III.3 Montrer que mˆeme dans le cas o`u b est fini, f n’est pas n´ecessairement prolongeable par continuit´e enb.

Partie IV – Une caract´ erisation des applications absolument monotones

Etant donn´´ e un r´eelh, on d´efinit les applications

t_h : R → R

x 7→ x+h , T_h : R^R → R^R

f 7→ f◦t_h , et ∆_h : R^R → R^R

f 7→ T_h(f)−f .

IV.1Montrer que pour touth∈R, Th et ∆h sont des endomorphismes duR-espace vectorielR^R. Montrer queTh est un automorphisme deR^R. L’endomorphisme ∆h est-il injectif ?

Dans la suite,hd´esigne un r´eel strictement positif.

Notation : pour tout entier naturel n, ∆ⁿ_h d´esignera la compos´ee nfois de ∆_h. Par exemple, ∆⁰_h= Id_RR

et ∆³_h= ∆_h◦∆_h◦∆_h.

IV.2Soith∈R^∗+,f ∈R^R, etx∈R. Donner ∆²_h(f)(x) en fonction def(x+ 2h),f(x+h) et f(x).

IV.3Montrer, pour tout entier natureln, tout h∈R^∗+, tout f ∈R^R, et tout r´eelx, la formule :

∆ⁿ_h(f)(x) =

n

X

k=0

(−1)^n−k n

k

f(x+kh).

D´efinition : soitf ∈R^R. On dit quef esttotalement monotonesi pour touth∈R^∗+, toutn∈N, tout r´eel x, ∆ⁿ_h(f)(x)>0.

IV.4On souhaite montrer que toute application absolument monotone surRest totalement monotone.

aSoitf une application absolument monotone surR, etxun r´eel. Pour tout entier natureln, on d´efinit l’application :

Xn : R^∗+ → R h 7→ ∆ⁿ_h(f)(x) Montrer que pour tousn∈Net h∈R^∗+,

X_n+1⁰ (h) = (n+ 1)∆ⁿ_h(f⁰)(x+h).

bMontrer que si ∆ⁿ_h(f⁰)>0, alors ∆ⁿ⁺¹_h (f)>0.

cMontrer que toute application absolument monotone est totalement monotone.

IV.5On souhaite montrer que toute application totalement monotone est absolument monotone surR. a Montrer que toute fonction totalement monotone est positive et croissante.

bPour tout entier naturel non nuln, on d´efinit l’application

ψn : R → R t 7→ (e^t−1)ⁿ

On convient queψ0 est la fonction constante de valeur 1 surR.

Pour tout entier naturel non nuln, donner une combinaison lin´eaire non triviale `a r´esultat nul de la famille (ψ_n⁰, ψn, ψn−1) deR^R.

cMontrer que, pour tout entier natureln,ψ^(k)n (0) = 0 si 06k < n, et queψn⁽ⁿ⁾(0) =n!.

dPour toutn∈N^∗, toutj∈[[0, n]], on pose :

S_j=

n

X

k=0

(−1)^n−k n

k

k^j.

Montrer queSj vaut 0 si 06j < n, et que Sn vautn!.

Indication : on pourra utiliser la question pr´ec´edente, et calculer autrement les d´eriv´ees en 0 deψ_n, jusqu’`a l’ordren.

On rappelle (et admet) la formule de Taylor-Lagrange :

Si f est de classeCⁿ sur [a, b], d´erivablen+ 1 fois sur ]a, b[, alors il existec∈]a, b[ tel que :

f(b) =





n

X

j=0

(b−a)^j j! f^(j)(a)



+(b−a)ⁿ⁺¹

(n+ 1)! f⁽ⁿ⁺¹⁾(c).

e En utilisant cette formule et IV.3, montrer que toute fonction totalement monotone est absolument monotone.