F F F F F F A320. ABSOLUMENT PREMIERS

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A320. ABSOLUMENT PREMIERS

Un nombre premier est dit « absolu » (NPA) si toute permutation de ses chiffres donne aussi un nombre premier (par exemple 13 et sa permutation 31).

Q1 : Démontrer qu'un NPA ne comporte jamais quatre chiffres distincts ou plus ni trois fois le chiffre x et deux fois le chiffre y, avec x différent de y.

Q2 : Pour les plus audacieux : démontrer qu'un NPA a au plus deux chiffres distincts.

Q3 : Dénombrer les NPA inférieurs à 10¹⁵

Source : d'après Olympiades de mathématiques en URSS.

Solution proposée par Claudio Baiocchi

Soit N un NPA. Les cas de N = 2 et N = 5 mis à part, seuls les chiffres 1, 3, 7 et 9 peuvent paraître dans N: la présence de tout autre chiffre, après permutation convenable, donne lieu à un nombre pair ou à un multiple de 5. Cela fixé, toute la discussion sera basée sur la divisibilité par 7.

Une famille

F

de nombres sera dite complète si les restes de la division par 7 des éléments de la famille donnent l’ensemble {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} tout entier. On remarquera que, pour tout nombre N et toute famille complète

F

, un au moins des nombres du type N+F avec F in

F

est un multiple de 7.

Un simple programme pour ordinateur montre que, pour tout triplet {a, b, c} de nombres distincts choisis dans {1, 3, 7, 9}, la famille

F

:= {abc, acb, bac, bca, cab, cba} est complète. En particulier si un tel triplet est inclus dans les chiffres d'un nombre N, parmi les permutations de N on trouve, pour M convenable, tous les nombres du type M * 10³ + F avec F en

F

; donc au moins un nombre multiple de 7, ce qui entraine que N ne peut pas être un NPA. On a donc démontré la propriété Q2; la partie restante de Q1 s'obtient de façon analogue, grâce au fait que, pour tout couple {a,b} de nombres distincts choisis dans {1, 3, 7, 9}, est complète la famille

F

:= {aaabb, aabab, aabba, abaab, ababa, abbaa, baaab, baaba, babaa, bbaaa}.

Remarque. Des langages de programmation admettent des cycles du type «pour x dans {1, 3, 7, 9} ...». Si le langage utilisé n'admet pas de tels cycles les choses deviennent un peu plus compliquées,à moins que, comme dans le cas présent, la valeur de x n'intervient que modulo 7. Dans ce cas, puisque (modulo 7) on a 7=0 et 9=2, il suffit de faire le cycle «pour x allant de 0 à 3...»

Pour ce qui concerne la question Q3 on va séparer les cas en fonction du nombre de chiffres.On peut naturellement se borner aux nombres tels que les chiffres, de gauche à droite, paraissent en ordre non décroissant.

1. Un seul chiffre: 2, 3, 5 et 7.

2. Deux chiffres: on cherche parmi aa et ab avec a<b; on trouve uniquement 11, 13, 17, 37 et 79.

3. Trois chiffres: cherchant parmi aaa , aab et abb avec a<b on trouve 113, 199, 337.

4. Quatre chiffres et plus: bien que la stratégie des famille s complètes puisse être adaptée à bien de sous-cases, la façon la plus simple de traiter le problème est sans doute l’emploi d’un programme pour

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ordinateur en faisant attention à choisir un langage qui permet de traiter des entiers d’au moins 16 chiffres (l’exemple suivant est écrit en JavaScript); le résultat est que aucun NPA n’existe dans ce rang.

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<title>Numbres Premiers Absolus</title>

</head><body>

// Pour tout argument x (avec x entier, x>1) ppd(x) est le Plus Petit Diviseur de x x=eval(x)

if( x <= 1 || x != Math.floor(x) ){

alert('function ppd: l\'argument vaut '+x+'; mais il doit être un entier > 1 !!');return 'No!' }

var r=Math.sqrt(x), q=2, y if( x % 2 == 0 ) { return 2 } if( x % 3 == 0 ) { return 3 } if( x % 5 == 0 ) { return 5 } for( y=7; y<=r; y+=q ) {

q = 6-q ; if( x % y == 0 ){ return y } }

return x }

function estPremier(x){ return x==ppd(x) } function npa(x,y,nc){

// Pour nc chiffres, toutes égales à y, sauf une qui vaut x var j, k, n

for(j=0;j<nc;j++){

n=0; for(k=0;k<nc;k++) {n*=10;n+=(k==j)?x:y}

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if( !estPremier(n) ) return 0 }

return n }

var s='1', z

for(numC=2;numC<18;numC++) {

document.write('<br>Nombre de chiffres = '+numC.toString()+'<br>') s+='1'; if(estPremier(s)) {document.write(s+'; ')}

z=npa(1,3,numC); if(z>0) {document.write(z.toString()+'; ')}

if(numC>2) {

}

if(numC>2) {

}

if(numC>2) {

}

document.write('<br>') }

//--></script>

</body></html>