Quizz sur le calcul propositionnel
Jérôme Feret DI (INRIA,ÉNS,CNRS)
22 octobre 2013
1. Parmi les tables de vérité données Fig. 1, lesquelles sont celles de l’implication ?
rAsσ rBsσ faux faux faux faux vrai vrai vrai faux faux vrai vrai vrai
(a)
rAsσ rBsσ faux faux faux faux vrai faux vrai faux faux vrai vrai vrai
(b)
rAsσ rBsσ faux faux vrai faux vrai vrai vrai faux faux vrai vrai vrai
(c)
rAsσ rBsσ
faux faux vrai faux vrai faux vrai faux faux vrai vrai faux
(d)
Figure1 – Tables de vérité.
Correction.
La réponse est seule la table de vérité (c) (voir le cours).l
2. Parmi les propriétés suivantes, lesquelles sont vraies ? (On donnera une preuve du résultat).
(a) pA_ p Aqq “ p pA^ p Aqqq; (b) pA_ p Aqq ” p pA^ p Aqqq;
(c) pppAñBq ^ pBñCqq ñ pAñCqq ” J; (d) pppAñBq ^ pBñCqq ðñ pAñCq ” J;
(e)
¨
˚
˚
˝
siAalors
ˆ siB alorsJ sinonK
˙
sinon
ˆ siBalorsK sinonK
˙
˛
‹
‹
‚
”
¨
˚
˚
˝
siAalors
ˆ siB alorsK sinonK
˙
sinon
ˆ siBalorsJ sinonK
˙
˛
‹
‹
‚ .
Correction.
(a) Le symbole de l’égalité ’=’ représente l’égalité syntaxique (ou à la Herbrand) entre suites de sym- boles. Ces deux formules sont textuellement différentes (par exemple le second symbole est différent
’A’ versus ’ ’). La propriété est donc fausse.
(b) La propriété est vraie, comme le montre la table de vérité suivante :
rAsσ rp Aqsσ rpA^ p Aqqsσ rpA_ p Aqqsσ rp pA^ p Aqqqsσ
faux vrai faux vrai vrai
vrai faux faux vrai vrai
1
(c) La propriété est vraie, comme le montre la propriété suivante :
rAsσ rBsσ rCsσ rAñBsσ rBñCsσ rAñCsσ rpppAñBq ^ pBñCqq ñ pAñCqqsσ
faux faux faux vrai vrai vrai vrai
faux faux vrai vrai vrai vrai vrai
faux vrai faux vrai faux vrai vrai
faux vrai vrai vrai vrai vrai vrai
vrai faux faux faux vrai faux vrai
vrai faux vrai faux vrai vrai vrai
vrai vrai faux vrai faux faux vrai
vrai vrai vrai vrai vrai vrai vrai
(d) La propriété est fausse. Par exemple, prenons l’environnementσ“ pA,∆ fauxq,pB,vraiq,pC,fauxq.
Nous avons :
rBsσ “vrai rCsσ “faux rBñCsσ “faux rpAñBq ^ pB ñCqsσ “faux rAsσ “faux rpAñCqsσ “vrai rpppAñBq ^ pBñCqq ñ pAñCqqsσ “faux
(e) La réponse est fausse, car ce sont deux formules en forme canonique pour AăB qui sont diffé- rentes textuellement, car le symbole ’J’ est différent du symbole ‘K’. Or la forme canonique est unique pour une table de vérité donnée.
l
3. Parmi les formules données Fig. 2, lesquelles correspondent à la forme canonique pour AăB de la formule suivante :
ppA^ p Bqq _Bq.
¨
˚
˚
˝
siAalors
ˆ siBalorsJ sinonJ
˙
sinon
ˆ siBalorsJ sinonK
˙
˛
‹
‹
‚
(a)
¨
˚
˚
˝
siBalors
ˆ siAalorsJ sinonJ
˙
sinon
ˆ siAalorsJ sinonK
˙
˛
‹
‹
‚
(b)
¨
˚
˚
˝
siAalors
ˆ siBalorsJ sinonK
˙
sinon
ˆ siBalorsK sinonK
˙
˛
‹
‹
‚
(c)
¨
˚
˚
˝
siBalors
ˆ siAalorsJ sinonK
˙
sinon
ˆ siAalorsK sinonK
˙
˛
‹
‹
‚
(d)
Figure2 – Formes canoniques.
Correction.
2
La réponse est seule la formule (a). En effet, les formules (b) et (d) ne sont pas en forme canonique pourAăB, car la variableB est testée avant la variableA. Ensuite, nous départageons les formules (a) et (c) gràce à la table de vérité de la formule ppA^ p Bqq _Bq(à lire dans l’ordre inverse pour reconstituer la liste des feuilles de la forme canonique).
rAsσ rBsσ rp Bqsσ rpA^ p Bqqsσ rppA^ p Bqq _Bqsσ
faux faux vrai faux faux
faux vrai faux faux vrai
vrai faux vrai vrai vrai
vrai vrai faux faux vrai
l
3
