Sur les variations de la déterminante et de la résolvante de Fredholm avec le champ d'intégration

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N

OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

C H . P LATRIER

Sur les variations de la déterminante et de la résolvante de Fredholm avec le champ d’intégration

Nouvelles annales de mathématiques 4^e série, tome 13 (1913), p. 183-186

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[Hllc]

SUR LËS VARIATIONS DE LA DÉTERMINANTE ET DE LA RÉSOLVANTE DE FREDHOLN AVEC LE CHAMP D INTÉGRATION;

PAR M. CH. PLATRIER, Ancien élève de l'École Polytechnique.

1. Soient (S) un domaine du plan complexe conte- nant le segment réel (o — i), a une variable réelle comprise entre o et i, H ( # , y ) une fonction holo- morphe pour x et y situés dans le domaine (S), M une limite supérieure de | H (#,y) \ pour ces valeurs de x et y.

Posons

,x œ T \ " ( ^ t » J i ) • • • ï !( * i , J o r )

H( " 2 1"" CTU

l lV ^ C T î ' 1 ' . . . ' M ' t ' C I ' JZJ )

et considérons la déterminante de Fredholm : (i) DlX,*)-]?1

, a

X / ^ , I ^ 2 . . . ƒ <&CT H l ) ,

(3)

( '84 son mineur d'ordre q :

x,«

js é t / » wr l ~ I ' ""*» —» ^ 5 51 ' 5-> 5 — ' 5 C T

, ^ * 2 > • • • > ^'<7 5 ^ 1 ) * ^ 2 Ï • • • 7 ^ C T

et la résolvante :

laquelle satisfait aux identités :

(4) X ( v , À , a ) = H(^,/) + ^ f H (a:, 5) 3C(;?,jr, X, a)</s

Je me propose de donner des dérivées premières par rapport à a des fonctions (i), (2), (3) certaines expres- sions qui sont susceptibles d'être utilisées avec profit dans l'étude des nombres fondamentaux du noyau H(x^y) lorsque Ton considère ces nombres comme des fonctions de a.

2. La dérivée par rapport à a du terme TCT(a) de rang m de la série D (X, a) est

d%

dsx I dSi... /

On le voit facilement en calculant la partie princi- pale de [TCT(a-f-Aa) — TCT(a)] et en tenant compte : d'un côté, de la non-importance du nom des variables d'intégration qui entrent dans les fonctions placées

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( '85 )

sous les signes y , et, de l'autre, de la symétrie en 5f,s,,...,sC Tdela fonction (

\Si, Si, . • . ,

Or, la série D (X, a) est une série de fonctions holo- morphes de a pour a situé dans le domaine (S); de plus, elle est absolument et uniformément convergente pour o < a < i ; car, d'une part, son terme To( a ) est moindre que

d'après le théorème de M. Hadamard sur la valeur absolue d'un déterminant et, d'autre part,

i •

La dérivée de la série D(A, a) par rapport à a s'ob- tient donc en faisant la somme des dérivées de ses diffé- rents termes, et, par suite, si o £ a < i , on a

( 5 ) = CT=O

Nous pouvons écrire aussi l'égalité (5) sous la forme

3. La formule

( 6 ; ,.Vl. Xi Xg ^{• ' )}

^ - = — XD „ a

> . , •

s'établira d'une façon analogue à la formule (5).

(5)

( ' 8 6 )

A. Enfin, dérivons par rapport à aies deux membres de la première égalilé (4), nous obtenons

= X H(*, a) 3e(aj,X, a) H- X f *H(x, s)

- o

La méthode de Fredholm pour la résolution de l'équa- tion intégrale linéaire de deuxième espèce permet de déduire de cette égalité la suivante :

d0L V '

soit, en veiiu de la seconde égalité ( 4 ) ,

(7) — '-Z——-— = X 30(sr. a, X, a) 5€(a, r, X, a).

Les égalités (5), (5 6 « ) , (6) et (7) sont les égalités que nous avions en vue.