Représentation par automate de fonctions continues de tore

J

OURNAL DE

T

HÉORIE DES

N

OMBRES DE

B

ORDEAUX

F. B

LANCHARD

B. H

OST

A. M

AASS

Représentation par automate de fonctions continues de tore

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome

8, n

o

_{1 (1996),}

p. 205-214

<http://www.numdam.org/item?id=JTNB_1996__8_1_205_0>

© Université Bordeaux 1, 1996, tous droits réservés.

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Représentation

par automate de fonctions continues de tore

par F.

BLANCHARD,

B. HOST ET A. MAASS

RÉSUMÉ. Soient _Ap =

{0, ..., p - 1}

et Z _~

_ANp

x

_ANp

un _{sous-système.} Z

est une _{représentation} en base _p d’une fonction f du tore si _pour tout _point x du _tore, ses développements en base _{p sont} liés _par le _couplage Z aux

développements en base _p de f(x). On _{prouve que} si _f est _{représentable} en

base p alors f(x) = (ux +

_m/p-1)

mod _1, où u _{~ Z} et m _~

_Ap.

Réciproque-ment, toutes les fonctions de ce _type sont _{représentables} en base p par un

transducteur. On montre finalement que les fonctions du tore _{qui peuvent}

être _{représentées par automate} cellulaire sont exclusivement les

multiplica-tions par un diviseur d’une _puissance de la base.

1. Introduction.

La

_{représentation}

des fonctions continues de l’intervalle _par des

_systèmes

discrets

_simples,

par

exemple

les automates

cellulaires,

les automates

finis,

les

_{transducteurs,}

a fait

l’objet

de

_plusieurs

travaux

_récents;

voir par

exem-ple

[M], [BG]

ou

[BDT].

Les motivations viennent d’une

_part

de

l’informati-que

théorique,

notamment du calcul

arithmétique

en

_ligne,

et d’autre _part de la théorie

_ergodique.

Soit _p un entier

positif,

et notons

_AP

=

{0, ...,p2013 1}.

A

chaque

élément _x

du tore est associé l’ensemble de ses

développements

en base p,

Tp(x)

9

Tout le monde sait que 2. Soit Z x

A~

un

_couplage

entre

Ap

et un

_{sous-système}

_Xs

_ç

Z

_représente

une fonction

f

du tore si pour

chaque x

E

_Tp(x)

les y

E tels que

(g, y)

E Z

_{représentent}

le même élément y

= f (x)

du tore. Un tel

_couplage

est

_appellé

une

_{représentation}

en base _p de

f .

La

proposition

2.2 établit _que les fonctions

_ayant

une

représentation

en base _p sont continues. Il faut remarquer

qu’à

toute fonc-tion

_f

du tore est associé un sous-ensemble Z de

Ap

x

Ap

_qui

_la

_représente.

Il suffit de

_prendre

Z

_{= ~ (x, y)}

E

_AN

x

AN

_{/ x}

est un

_{développement}

de

x

_{et y}

de

f (x )

}.

Si f est

continue,

Z est

fermé,

mais _pas nécessairement

invariant _par le

_décalage.

Dans cette article on s’intéresse en

_particulier

aux

couplages

Z

_engendrés

par automates cellulaires et transducteurs. Dans le

premier

cas Z est

sim-plement

le

_graphe

d’une

_application.

La

_partie

2 est consacrée aux définitions et résultats

_{préliminaires.}

L’objet

essentiel de la troisième

_partie

est de démontrer que trois familles de fonctions sont

_{identiques : l’une,}

les fonctions

_{représentables,}

est définie

en termes de

_couplages

_dynamiques;

la

_seconde,

les fonctions

_{représentables}

par

transducteur,

est définie par

automates;

et la troisième se décrit de

façon

purement

arithmétique :

ce sont les fonctions

_{f (x) = (ux}

+

mod 1, où u E N et m E Ap.

’~

On _prouve dans le théorème 3.3 _que

_lorsqu’une

fonction du tore

_f

a une

représentation

en base _p, elle est de la forme

_{f (x)}

=

(ux

+ ~ 1 )

mod

1,

où u E N et m E la démonstration _repose essentiellement sur le

fait _peu connu que toute fonction continue du tore, commutant avec la

multiplication

par p, est de cette même forme. On

applique

ce résultat aux

automates cellulaires et transducteurs. Il est établi dans

_[BDT],

et

_rappelé

ici,

qu’on

peut

représenter

par transducteurs toutes les fonctions

f (x) _

(ux

mod 1.

_Finalement,

le corollaire 3.5 établit _que les automates

cellulaires ne

_peuvent

représenter

_que les fonctions du

_type

l(x) =

(ux)

mod

_1,

où u est un entier

qui

divise une

_{puissance positive}

de _p.

Le _{résultat obtenu - il n’existe pas d’autres} fonctions

_{représentables}

que celles que nous savions

_déjà

l’être au

_{départ -}

est limitatif : on

_peut

l’interpréter

en allant

_jusqu’à

dire _que les seules fonctions "bien

_adaptées"

à

la

_{représentation}

en base entière sont celles décrites

_plus

haut. Par

_contre,

on

_peut

introduire une forme

_plus

faible de la

_{représentabilité,}

_par

_exemple

en

_exigeant

_que la fonction soit seulement définie _par

transducteur,

surjec-tive et continue en dehors des

_points

_p-adiques.

On définit ainsi une classe bien

_plus

vaste de

_fonctions,

dont on ne _{sait que peu} de

_{choses; toutefois,}

comme elles sont toutes mesurables et

_préservent

la mesure

uniforme,

il

serait fort intéressant d’étudier la

_dynamique

mesurée

_qu’elles

définissent

chacune sur le tore.

Nous remercions B. Weiss de nous avoir

_signalé

la relation avec les

résultats

_figurant

dans

_[JR~.

2. Définitions et Notations.

Soit A un

_alphabet

fini. On

_appellera

Ak

l’alphabet

~0, ..., k -- 1}.

On

note A* l’ensemble des suites finies ou mots de A. Un

_langage

est une

entiers

_positifs.

AN

est l’ensemble des suites infinies x = où _{xi E} A. On munit

AN

de la

_{topologie produit}

et du

_décalage

o, :

u(z) = (Xi+l)iEN.

Un

_{sous-système}

S C

AN

est un ensemble fermé et u invariant. Le

_langage

associé au

_{sous-système}

S‘ est

_{L(S) - {~;}

=

wo...wn E

A* /3 z

E S tel que w =

xo ... x,,I.

111 est bien _{connu que} S est

complétement

décrit _par

son

_langage.

Un

couplage

entre deux

_{sous-systèmes}

X C

_A~

et Y C

_B~

est un

sous-système

Z C

A~

x

BN

dont les

_projections

sur les

_première

et

deuxième

_composantes

sont X et Y

_{respectivement.}

Soit

_{p e N.}

On note T le tore

_R/Z

et on _pose

_[.]p

=

(.)

_{mod p.}

A

_chaque

point x

E T on associe l’ensemble des

développements

en base _p,

est la valuation de x.

_Tp

est 1-1 sauf pour les éléments

p-adiques

du

_tore,

_pour

_lesquels

DÉFINITION 2.1. Soit

_{f : 1r}

2013~ 1r une fonction du tore. On dira _que

_f

a une

_{représentation}

en s’il existe un

_{sous-système}

_{Z f}

C

_AN

x

AN

tel _{que :}

_(i)

_quels

_que soient x E

_T,

x E

_Tp(x),

y E

_A~

avec

(x, y)

E

_{Z f}

alors y

et

_(ü)

si on note

X E

et

Xs

les

_{pro jections}

de

_Zf

sur les

première

et deuxième

_composantes

_{respectivement, XE}

=

A~.

La condition

(ü)

fait de

_{Z f}

un

couplage

entre

A~

et

Xs.

Le fait d’être

représentable

en base _p est une

propriété

forte. Un

_couplage

qui

représente

une fonction doit

_coupler

tous les

_{développements}

_(il

_y en a au

_plus

deux)

d’un

_point

du tore avec des

_{développements}

de son

_image.

La

proposition

suivante met en valeur deux

propriétés

cruciales des fonctions

représentables.

PROPOSITION 2.2. Si la fonction

f : ~ -~

~’ est

_{représentable}

en base

elle est continue et commute avec la

_{multiplication}

_{par p}

_{(mod 1).}

Preuve. La continuité découle directement de la

_compacité

du

_{sous-système}

Z f

qui représente

f .

En

_effet,

fixons x E T. Soit

_{C T}

tel _que lim xn = _{x et} lim

f (xn)

= z E 1r. 111 est facile de voir

_{qu’il existe x}

E

n-+oo nie

E

_N,

telle que lim - x C

_Tp(x).

Pour

_simplifier

on va

-+00

oublier les _nk. n découle de 2.1

_(ii),

_qu’il

existe

_{X s, n}

_E

_N,

tel _que

_{Z f.}

En

_outre,

via l’extraction d’une

_sous-suite,

on

_peut

supposer Comme

Zf

est fermé

(x, y)

E

Z f.

Mais

Z f

représente f ,

donc

En

_{conséquence,}

si on se donne une suite T

_qui

_converge vers

x, toute sous-suite converge vers

f (x),

d’où la continuité de

_{f .}

La commutation avec _xp

(mod

1)

résulte immédiatement de l’invariance

de

_Zf

x (j.

On s’intéresse ici avant tout aux

sous-systèmes

Z f

engendrés

_par

trans-ducteurs et automates cellulaires. En

_général

ils ne

_{représentent}

_pas une

fonction.

-DÉFINITION 2.3. Un transducteur est un

_quadruplet

T =

(AE,

As,

G,

6)

où

_AE

et

_As

sont des

_alphabets

finis d’entrée et

_{sortie, respectivement;}

G est un

graphe

orienté

fini,

_ayant

K _pour ensemble des _arcs; et enfin 6 : K 2013~

AE

x

_As

est la fonction de transduction : un arc e E .K est

_étiqueté

(aE, as)

E

AE

x

_As

si

_{b(e) = (aE, as).}

Soient WE =

(wl, ..., wn)

_E

A*

et

ws =

(wi,

..., wn)

_e

As.

On dira _{que ws} est une transduction de _{WE, et} on

notera ws E

?’(wE),

s’il existe un chemin sur le

_graphe

_G,

v =

el, ..., en,

tel _que

_{b(ei) =}

_{(wz, wi)}

_pour i =

1, ..., n.

Le

langage

associé à Test

L(T) =

E

_A*

X

_{As /}

_{Ws E}

Au transducteur ?~ on associe deux

couplages.

Le

_{premier, qu’on}

lit de

gauche

à

_droite,

_Zg

C

_(AE

tel que =

L(T),

_et le

_{second, Zd}

C

(AE

x AS)N,

qu’on

lit de droite à

_gauche,

tel que E

_(AE

X

As)*Iwl ... wn E L(Zd)l

=

L(T).

Les transducteurs

_agissant

de droite à

gauche

ont

_déjà

été utilisés dans

_[BDT],

_pour

_représenter

la

_{multiplication}

par un nombre entier en base _p.

_Lorsqu’une

fonction

_f

du tore

_peut

être

représentée

en base _{p par}

_Zg

ou

_Zd,

on dit

_qu’elle

est transductorielle

_(à

droite ou à

gauche respectivement).

Soit

_{L’algorithme}

de

_{multiplication}

_par un

entier, k

E

~1,

agit

sur le mot w =

b, .... bl,

de droite à

gauche,

de la

façon

suivante : si

_{, la}

retenue ci =

est la

_partie

entière

_{inférieure).}

Un calcul

_simple

multiplication

par 1~ en base _p suivant

_{l’algorithme}

ci-dessus. Les états du

transducteur

_{correspondent}

aux retenues et un arc entre deux retenues c et

b est

_étiqueté

par

( a, v )

E

_Ap

x

_Ap

si et seulement si ka + c =

_bp

_{+ v.} Soit a E

_Ap,

on note E

Ak

et

_{f a,p}

E

_Ap

les entiers tels que ka =

ld,pp

+

_fa,p.

_{Lorsqu’il n’y}

a _pas

_ambiguïté

_par

_rapport

à la base on écrit

simplement 1,

et

Le lemme suivant

_précise

certains

_propriétés

de

_{l’algorithme}

de la

mul-tiplication.

LEMME 2.4.

(i)

Soit a E

_{A 1}

r E l~. Alors il existe

₉

_Ap

tel _que ka = ₊

(ii)

Si k divise p

quel

que soit a E

_{Ap, fa,p}

_{+&#x26;-!?-1.}

(iii)

Si k _p et k ne divise aucun

_puissance

de _p alors il existe _{ao, ... , aT-1 E}

~

Ap

tels que pour

tout j

E

_AT,

+

_1.1j+IIT

=

_{p -1}

_{et E}

Preuve.

(i)

C’est direct.

(ii)

Supposons

que k divise p, donc

résultat.

(iii)

Supposons

que k p et k ne divise aucun

_puissance

de _p.

_Donc,

-n’est pas un

p-adique

du

_tore,

et son

_{développement}

en base =

p est

ultimement

_périodique

avec

_partie

_périodique

non nulle. Notons x =

(aO....aT)OO

la

_partie

_périodique.

Il est direct que 0. Soit

_yn

=

_y~ est

le

développement

en base _p d’un

_point

_yn du tore.

Choisissons n assez

_grand,

de

_façon

que la suite des retenues obtenue en

appliquant

l’algorithme

de la division

_{par k}

_{à yn}

devient aussi

_périodique

(à

gauche).

Notons ri

la retenue associé à a~. Alors

kai

+

rjp + Si. Comme

k-1

=

1,

_Si = 0 _V

(p - 1). Mais yn

converge, par la

_gauche,

vers

Vp(z),

donc, forcement,

_si = _{p - 1.} En

_{conséquence,}

+ riP + P - = _{P +}

lai

_{+ comme k}

p,

lai

+ P - 1 et

lai

= _{ri E}

Ak,

d’où la

_première

_{affirmation de}

(iii).

En itérant on déduit _que ai =

_{p -1}

_et

ri = k -1 _pour tout i _E

AT,

ce

_qui

est une contradiction. On a donc montré _{que ri} E et par

conséquent

l’affirmation

_(iii).

Dans cet

_article,

on ne considère _que des automates cellulaires uni-latéraux.

DÉFINITION 2.5. Soit A un

alphabet

fini. Un automate cellulaires

(uni-latéral)

est une

_application

F :

AN

définie _{par :}

où

_{f :}

Ar+1-~

A est une

_application

donnée. L’entier r est

_appelé

_{le rayon}

de l’automate cellulaire.

Soit F :

_{A’ --+ AN}

un automate cellulaire et r son _{rayon. F}

_peut

être vu comme un transducteur. L’ensemble d’états du transducteur est

_Ap

et un

état

_{(ab1...br-1) E}

_A~

est connecté _par un arc avec

_{(bi ...br-ib)}

E

_Ar

pour

tout b E A. On

_étiquette

ce

_graphe

_par

(a, F(a,

_{bl, ..., b,-,,}

_b))

sur l’arc

qui

relie les états et De cette

_façon

_pour

chaque x

=

(xi)iem

_E

AP

il existe un

_unique

_{état q}

=

(xl,

...,

xr)

du

graphe

depuis

lequel

on lit

(de

_gauche

à

droite)

_x. On lui associe les

_couplages

_Zd

et

_Zg

définis ci-dessus _pour les transducteurs. On dit _que

_{f :}

1r - 1r est

réalisable par automate cellulaire en base _p si

_Zd

ou

_Z.

_représente

_f

_(on

garde

la notation _pour

_indiquer

de

_gauche

à droite et

_{l’inverse).}

Dans ce cas

_Z.

est

_simplement

le

_graphe

d’une

_application.

3. Résultats.

Rappelons

d’abord un lemme

_{classique qui}

va nous servir

immédiate-ment.

LEMME 3.1. Soit

_{f : T - T}

une fonction continue du tore. D existe une

_{fonction g :}

[0,1]

2013 I continue telle _que V X _E

1r,

f (x) _

¿_’- , , - , ""---’B. "-,,

-Le résultat

_{suivant, qui}

est une

_description

_complète

du _commutant

topologique

des

_{multiplications}

entières

_{(mod 1)}

sur le

_tore,

est connu

depuis

longtemps

de H.

_Furstenberg

et B.

_Weiss,

et affirmé sous une forme un _peu

plus

faible dans

[JR].

Nous en donnons ici une preuve

simple.

PROPOSITION 3.2. Si la fonction

_{f :}

’Ir -4 1I’ est continue et commute avec

la

_{multiplication}

par

p E N

(mod 1)

alors il existe u E

_Z,

m E

_Ap

tels que

Preuve. On obtient le résultat en résolvant une

équation

de récurrence

relative à la

_{fonction 9}

du lemme

_précédent.

L’hypothèse

de commutation se

_{traduit, indépendamment}

de la

conti-nuité,

par

l’égalité

suivante :

En fait

₍₁₎

est aussi vrai _{pour x} =

_1,

_{en posant}

f (0)

=

f (1).

D’après

la

_proposition

2.1 et le lemme

_3.1,

il existe _{g :}

_{[0, 1]}

-&#x3E; R telle

que pour tout x E

_(0,1~,

_{f (~) _}

_(g(x)~1.

Il s’ensuit que

Mais toute fonction à valeurs entières continue sur l’intervalle est

con-stante,

d’où =

C(k, l).

Calculons _{ces constantes.} Si _on évalue

(2)

aux

points x

= 0 et x = 1 on

_obtient,

En

_{conséquence,}

si J

qui

est donc

_entier,

et

Donc pour tous les

_p-adiques

de

_[o,1J,

_g(x)

=

x(g(1) - g(0))

₊

g(o);

_par continuité c’est aussi valable pour tout l’intervalle. Mais

g(1)-g(0)

= u E Z

et

_g(O)

=

f (0)

= v E

T,

d’où

_{J(x) =}

_[uz

+

_vJl.

Pour finir il suffit de calculer

_{f (0).}

_D’après

_(3.2),

et en considérant 1 =

_1,

k = 0 et x =

_0,

_on obtient _que

pf (0) - f (0) = (p -1) f (0)

= m e Z. Mais

m

E Ap,

d’où le résultat.

THÉORÈME

3.3. Si la fonction

_{f :}

~’ -~ T a une

_{représentation}

en base

alors j existe u E

_Z,m

E

_Ap

tels que

f (x) =

[ux

+

Preuve. Elle s’obtient en enchaînant les

_Propositions

2.2 et 3.2.

En

_particulier

le théorème 3.2 montre _que les rotations irrationnelles du

tore ne sont _pas

_{représentables}

en base _p.

On a montré dans la deuxième

_partie

de l’article

qu’avec

des

trans-ducteurs

_agissant

de droite à

_gauche

on

pouvait

représenter

les fonctions

f (x) -

[ux],, u

e N. En

_fait,

avec une construction

_analogue

on

_peut

prouver le corollaire suivante.

COROLLAIRE 3.4 Soit

_{p e N.}

Toutes les fonctions

_{f (x) _}

_[ux

_{+ ]i ,}

u E

_Z,

m E

_Ap,

sont transductorielles en base _p à

_gauche.

Preuve. Il suffit de modifier le transducteur de

_{multiplication}

_par u

[BDT],

décrit dans la deuxième

_partie,

de

_façon

_qu’il

additionne au

_produit

le dont le

_{développement}

est m"0.

Un calcul

_simple

montre que l’ensemble des retenues

_peut

alors devenir Alors un état

(une retenue)

_{ci est} lié à un

_autre,

_{c2, par} un arc

d’étiquette

(a, b)

E

_Ap

x

_Ap,

si et seulement si ka + ci + U = _{c2 p +} b. La preuve découle des

arguments

de

_[BDT].

Maintenant on caractérise les fonctions du tore

_qui

sont

_{représentables}

par automate cellulaire. Pour les automates cellulaires on considère

seule-ment la transduction à

_droite;

le cas à

gauche

est une

conséquence

de

l’interprétation

comme transducteur.

COROLLAIRE 3.5 Une fonction

_{f : ~ -~ ~}

est réalisable par un automate cellulaire en base _p à droite si et seulement si

_{f (x) _}

_[ux]l,

où u est un

entier

_qui

divise une

_{puissance positive}

de p.

Preuve. Soient

_{p E N}

une base fixe et F un automate cellulaire de _rayon

r

qui

réalise

f

à droite.

_D’après

le théorème 3.3 il existe u E ~ et a E

_Ap

Supposons

r minimal : c’est donc

qu’il

existe B =

bl...br

_E

A~

et b E

Ap B

~0~

tels _que

_F(b1...brb)

=

a ~

F(&#x26;i..~(&#x26; - 1)).

Comme x = Bb0°° _et y =

B(b -1)(p -1)°°

représentent

le même élément _{x E}

T,

F(z)

_et

F(y)

représentent

f (x).

Alors,

forcément,

F(x)

= a0°° _et

F(1l) =

ou inversement. En

_conséquence

f (0)

= 0 = _m.

Pour finir on va calculer les valeurs de u

possibles

_{pour la}

représentation

en base _p. On considère seulement les u

positifs,

_pour les

négatifs

le calcul

est

_analogue.

Soit u E N tel que

D’après

le lemme 2.4

(ii),

pour tout a E

_Ap,

f a + u -1 p -1.

Cela

_signifie

_que

_quel

_que soit R E

Au,

f a

+ R

_{p -1,}

et donc la retenue associée à ua + R

est la

indépendamment

de R. Ainsi

l’algorithme

de la

_{multiplication}

par un entier est local. Cela nous

_permet

de bien définir un automate cellulaire

_{qui représente}

_[ux],

en base _{p :}

V _xo,

_{xi C.Ap}

on _pose

En

_général,

si u divise

_{pl, d’après}

le lemme 2.4

_(i),

l’automate cellulaire

est :

Maintenant _{montrons que} si u ne divise aucun

_puissance

de _p alors il

n’existe _pas d’automate cellulaire

_qui

réalise la

_{multiplication}

par u en

base _p.

_D’après

le lemme 2.4

_(i),

et de

_{façon analogue}

au cas

_précédent,

on

peut se restreindre au cas u _p.

Toujours

par le lemme 2.4

(iii),

il existe E

_Ap

tels _{que pour}

tout JEAn:

fa;

+ =

_{p - 1}

_avec

las

E

Au-i .

Il s’ensuit _que la

retenue associée à

_chaque

_{aj dans}

_{l’algorithme}

de la

_{multiplication}

_par u

est soit

_las

soit

_(laj

+

_1);

_{+ 1)}

est attendu

_lorsque

u _p et ne divise

pas p.

Quand aj

reçoit

comme retenue 1 uaj + =

lajp

+ +

=

la;P

+ p -1

et il donne comme retenue

_la;,

d’autre

_part

s’il

_reçoit

+

₁₎

il donne

_la;

+ 1. Choisissons

_b,

b’ E

_Ap

tels que

conséquence,

s’il existe un automate

_{cellulaire, F, qui}

réalise

_{f (x )}

=

en base p,

(p -

1)°°

et

000,

ce

_qui

est une contradiction.

Remarque

3.6. Le corollaire 3.5 montre aussi une

_façon

de construire des

transducteurs à droite

_qui

réalisent la

_{multiplication}

par u en base _p,

_quand

u divise une

_puissance

de p.

Rerrtarque

3. 7. Soit p =

...pl

l

E

_N,

où les _pi sont des nombres

_premiers.

Si l’on note

_Fp,

l’automate cellulaire

_qui

réalise

_{J(x) =}

on obtient

une factorisation du

décalage, a

= o ... o où les automates

Fps

commutent deux à deux. Au

_surplus,

si on considère maintenant leur action sur

Ap,

ils sont

_bijectifs,

et donc des

_{automorphismes}

du shift.

BIBLIOGRAPHIE

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N. Bourbaki, Espaces vectoriels _{topologiques,} Masson.

[BDT]

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J.M. Muller, Some characterizations of functions computable in on-line

arith-metic, Rapport LIP, 91-15.

François BLANCHARD et Bernard HOST Laboratoire de Mathématiques Discrètes Case 930 - 163 avenue de Luminy

13288 Marseille Cedex 09, France

Alejandro MAASS

Departamento de

_Ingenieria

Matemàtica Universidad de Chile

Casilla _170/correo 3