Universit´e de Versailles - Saint Quentin Ann´ee 2016/2017
L3 Alg`ebre Maria Chlouveraki
Extensions alg´ebriques et corps alg´ebriquement clos - TD 9
1. Soit K/F et c1, c2, . . . , cn ∈ K. Si c1, c2, . . . , cn sont des ´el´ements alg´ebriques sur F, alors F(c1, c2, . . . , cn)/F est finie etF[c1, c2, . . . , cn] =F(c1, c2, . . . , cn).
2. Soit K/F et a, b ∈ K. Si a est alg´ebrique sur F et b est alg´ebrique sur F(a), alors b est alg´ebrique surF.
3. Soientρ1, ρ2les racines d’un polynˆome de degr´e 2 dansQ[x]. Montrer queQ(ρ1, ρ2) =Q(ρ1).
Quand est-ce que Q(ρ1) est une extension de Qde degr´e 2 ?
4. Soient ρ1, ρ2, ρ3, ρ4 les racines du polynˆome x4−2. D´ecrireQ(ρ1, ρ2, ρ3, ρ4).
5. Soient ρ1, ρ2, ρ3 les racines du polynˆome x3−1. D´ecrire Q(ρ1, ρ2, ρ3).
6. Soient ρ1, ρ2, ρ3 les racines d’un polynˆome de degr´e 3 dans Q[x]. Si [Q(ρ1, ρ2, ρ3) : Q] = 3, montrer que ρ1, ρ2, ρ3 ∈R.
7. Est-ce que Ra des extensions alg´ebriques ? 8. Est-ce que Ca des extensions alg´ebriques ? 9. Montrer que les corpsQ(√
2) etRne sont pas alg´ebriquement clos de deux fa¸cons diff´erentes.
10. SiF est un corps fini, alorsF n’est pas alg´ebriquement clos.
11. Si F est un corps, t est un ´el´ement transcendant sur F et f1(t) = f2(t) pour certains f1(x), f2(x) ∈F[x], alorsf1(x) = f2(x). Montrer que cela n’est pas vrai pour des ´el´ements alg´ebriques.
12. SiF est un corps ettest un ´el´ement transcendant surF, alorsF(t) n’est pas alg´ebriquement clos.
