2.1.2 Le mouvement de rotation

(1)

Analyse vectorielle : Gradients, divergences, et rotationnels

2.1 Quelques exemples de mouvements plans élémentaires

2.1.1 La translation

A un instantt, les composantesv_x etv_y de la vitesse~v sont indépendantes de la position(x, y). Il y a déplacement d’ensemble de toutes les particules dans la même direction, le même sens, et à la même vitesse. Les lignes de courants sont des droites parallèles, comme illustré sur la Figure 2.1.

0 0.5 1 1.5 2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

Mouvement de translation

Figure2.1 –Mouvement de translation.

2.1.2 Le mouvement de rotation

L’ensemble des particules du plan tourne autour d’un point. A un instantt, la vitesse angulaire de rotationΩest identique pour toutes les particules. Ce mouvement est caractérisé par un vecteur (appelé vecteur instantané de rotationΩ). Si le mouvement de rotation est dans le plan (x, y), le vecteur~ ~Ωest normal à ce plan. Le vecteur vitesse, en tout point~r du plan, se calcule par

~v=~Ω∧~r ⇒ ~v=



 v_x v_y vz



=





−Ωy Ωx

0





Les lignes de courant sont des cercles concentriques centrés sur0, comme illustré sur la Figure 2.2.

17

(2)

18CHAPITRE 2. ANALYSE VECTORIELLE : GRADIENTS, DIVERGENCES, ET ROTATIONNELS

−1 −0.5 0 0.5 1

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Mouvement de rotation

Figure 2.2 –Mouvement de rotation.

2.1.3 Le mouvement de divergence

Les deux mouvements précédents pouvaient se concevoir pour un corps rigide. La divergence est un mouvement particulier au milieu fluide : à un instant t, les particules, qui se déplacent toujours par hypothèse dans le plan (x, y) ont des vecteurs vitesses dont les supports sont concourants en un point appelécentre de divergence, ici en 0. Dans ce cas, le vecteur vitesse au point~rest simplement

~v=a·~r,

oùaest un scalaire. Siaest positif, le mouvement est divergent, siaest négatif il est convergent. Notons que, à l’instantt, toutes les particules situées sur un cercle de rayonront des vecteurs vitesse de même norme. Les lignes de courant sont des droites qui se croisent en l’origine, comme illustré sur la Figure 2.3.

−1 −0.5 0 0.5 1

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Mouvement de divergence

Figure2.3 – Mouvement de divergence.

(3)

2.2 Gradient d’une fonction scalaire

Pour plus de facilité dans l’écriture, nous allons définir un “vecteur”~nabla, vecteurnabla, avec

∇~ =







∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z







(2.1)

Gradient dans la base cartésienne

Soit un point M en (x, y, z). Soit un point M^′ proche du point M de coordonnées cartésiennes [x+dx, y+dy, z+dz]. La projection de−−−→

M M^′ sur~e_x, ~e_y, ~e_z sera respectivement[dx, dy, dz].

dx

dz

e_x

e_y e_z

dy (x,y,z)

M’

M

(x+dx,y+dy,z+dz)

Soit une fonction scalairef(x, y, z).

La variation infinitésimale de la fonction f lors d’un déplacement sur sa surface défini par le vecteur

−−→ dM =



 dx dy dz



est : df =∇~f·−−→ dM.

Le vecteur gradient [∇~f] représente et quantifie la variabilité de la fonction autour d’un point en fonction de sa position dans l’espace :

∇~f(x, y, z) = ∂f(x, y, z)

∂x ~e_x+∂f(x, y, z)

∂y ~e_y+∂f(x, y, z)

∂z ~e_z Deux remarques :

— Le gradient est un vecteur. En tant que tel, il dépend du système d’axes dans lequel il est calculé.

— Le gradient de l’équation d’une surface représente la normale à la surface.

Soit une surface f(x, y, z) = 0. Sur cette surface on a df = 0 et donc ∇~f ·dM~ = 0 ⇒ ∇~f perpendiculaire àdM~ et donc normal à la surface

(4)

2.3 Divergence

La divergence d’un vecteurA~ est un scalaire.∇ ·~ A~ représente la divergence d’un champ de vecteur en un pointP :

∇ ·~ A~ = lim

δV→0

R R

δSA~·~ndS δV

oùδV est le volume limité par la surfaceδS et~nla normale à la surfaceδS dirigée vers l’extérieur.

Cela représente le flux, par unité de volume, du vecteurA~ à travers la surfaceδS.

2.3.1 Divergence dans la base cartésienne

Prenons, par exemple, un cube infinitésimal, de cotésdx, dy,dz. Selon les faces du cube, la normale vaut~e_x,−~e_x,~e_y,−~e_y,~e_z, ou−~e_z , et les surfaces élémentairesdydz,dxdzoudxdy.

(x+dx,y+dy,z) (x,y+dy,z) (x,y+dy,z+dz)

dx

dz

e_x

e_y e_z

(x+dx,y+dy,z+dz)

dy (x,y,z) (x,y,z+dz)

(x+dx,y,z+dz)

(x+dx,y,z)

1 δV

Z Z

δS

A~·~ndS= 1 dxdydz

h

Ax(x+dx, y, z)dydz−Ax(x, y, z)dydz+Ay(x, y+dy, z)dxdz−Ay(x, y, z)dxdz +Az(x, y, z+dz)dxdy−Az(x, y, z)dxdyi

1 δV

Z Z

δS

A~·~ndS= Ax(x+dx, y, z)−Ax(x, y, z)

dx +Ay(x, y+dy, z)−Ay(x, y, z)

dy +Az(x, y, z+dz)−Az(x, y, z) dz

⇒ 1

δV Z Z

δS

A~·~ndS=∂Ax

∂x +∂Ay

∂y +∂Az

∂z =∇ ·~ A~

(5)

Si∇ ·~ A~ est positive dans le voisinage du pointP cela signifie que le flux est positif enP, etP s’appelle une source. De même, si∇ ·~ A~ est négative dans le voisinage du point P, le flux est un "flux-rentrant"

etP s’appelle un puits. Si, dans un domaine, il n’y a ni source ni puits, alors∇ ·~ A~=O, et le champ de~ vecteurA~ est dit solénoidal.

En coordonnées cartésiennes, on a donc :

∇ ·~ A~= ∂Ax(x, y, z)

∂x +∂Ay(x, y, z)

∂y +∂Az(x, y, z)

∂z Calculons à présent la divergence des écoulements définis plus haut :

— La translation est à divergence nulle, puisque toutes les dérivées s’annulent.

— La rotation est à divergence nulle, puisque

∂v_x

∂x = ∂(−Ωy)

∂x = 0

∂vy

∂y = ∂Ωx

∂y = 0

— La divergence d’un mouvement de divergence est

∂vx

∂x = ∂(ax)

∂x =a

∂vy

∂y = ∂(ay)

∂y =a

∇ ·~ ~v = ∂vx

∂x +∂vy

∂y = 2a Quelques remarques :

— La divergence est un scalaire, qui se calcule pour un champ vectoriel. La divergence appliquée à un scalaire n’a aucun sens.

— La divergence correspond intrinsèquement à un changement de volume. Il faut qu’il y ait conver- gence ou divergence. Si un champ correspond à une rotation en bloc, il est par essence indiver- gentiel, c’est-à -dire que sa divergence est nulle. De même, une translation en bloc n’est associée à aucune divergence, puisqu’une translation correspond, par définition, à un champ de vitesse constant dans l’espace.

— La divergence d’un rotationnel est toujours nulle, et ce, quel que soit le champ rotationnel.

2.3.2 Théorème de divergence de Gauss

(appelé aussi théorème d’Ostrogradski) : si V est un volume limité par une surface ferméeS et siA~ est une fonction vectorielle possédant des dérivées continues alors :

Z Z Z

V

∇ ·~ Adv~ = Z Z

S

A~·~ndS

où~nest la normale dirigée vers l’exterieur deS.

(6)

2.4 Rotationnel

2.4.1 Rotationnel dans la base cartésienne

On peut définir le rotationnel d’un champ de vecteurs en un point comme la circulation locale du champ autour de ce point. Le sens précis de cette définition découle du théorème de Stoke qui, pour une surface S, de normale~net de frontièreC, implique

I

C

A·dl= Z Z

S

(∇∧A)·~n ds

On peut montrer que la circulation d’une fonction vectorielleA~de composanteAx, AyetAzle long d’un contour ferméCinfinitésimal dans le plan (~ex, ~ey) est

e_x

e_y

e_x

e_y ey

dy

−dy

dx −dx

Z

C

A~·dl~ = Ay(x+dx, y)dy−Ax(x, y+dy)dx−Ay(x, y)dy+Ax(x, y)dx

= Ay(x+dx, y)−Ay(x, y)

dx dxdy−Ax(x, y+dy)−Ax(x, y)

dy dxdy

= ∂A_y

∂x −∂A_x

∂y dxdy

De même, le long d’un contour fermé infinitésimal dans le plan (~ex, ~ez), la circulation de A~ est Z

C

A~·dl~ =∂Ax

∂z −∂Az

∂x

dxdz (2.2)

et le long d’un contour fermé infinitésimal dans le plan (~e_y, ~e_z), la circulation de A~ est Z

C

A~·dl~ =∂A_z

∂y −∂A_y

∂z

dydz (2.3)

Si on prend un contour fermé de normale quelconque, on montre alors que la circulation projetée sur une face de normale~ez est

∂Ay

∂x −^∂A^x

∂y

dxdy, si la normale est selon~ey, on a

∂Ax

∂z −^∂A^z

∂x

dxdz et, si la normale est selon~e_x, on a

∂Az

∂y −^∂A^y

∂z

dydz.

On définit alors un vecteur appelérotationneldeA~ dont les composantes sont les circulations définies ci-dessus soit

rot~ A~ =







∂Az

∂y −^∂A^y

∂Ax ∂z

∂z −^∂A^z

∂Ay ∂x

∂x −^∂A^x

∂y





 (2.4)

(7)

Le vecteur rotationnel est donc le vecteur qui exprime latendance à la rotationd’un champ de vecteur.

Avec les notations ci-dessus, le rotationnel se notera

rot~ A~ =∇ ∧~ A~ (2.5)

2.4.2 Exemples de mouvements plans élémentaires

Calculons le rotationnel des champs de vitesse plan élémentaires :

— Le rotationnel d’une translation est nul.

— Le rotationnel d’un mouvement de divergence est nul, puisque :

∂vx

∂y = ∂(ax)

∂y = 0

∂vy

∂x = ∂(ay)

∂x = 0

— Le rotationnel d’un mouvement de rotation est

∂vx

∂y = ∂(−Ωy)

∂y =−Ω

∂vy

∂x = ∂(Ωx)

∂x = Ω

∇ ∧~ ~v = ∂vy

∂x −∂vx

∂y

~ ez= 2~Ω

La moitié du rotationnel de la vitesse lors d’une rotation uniforme est donc le vecteur rotation, c’est-à -dire le vecteur normal au plan de rotation (au plan de l’équateur, dans le cas de la Terre).

Quelques remarques :

— Le rotationnel est un vecteur, qui se calcule pour un champ vectoriel. On ne peut pas l’appliquer à un scalaire.

— Le rotationnel, en gros, mesure la rotation d’un champ vectoriel. Les champs efficaces pour le rotationnel sont les rotations en bloc. Par exemple, la circulation géostrophique dans l’atmosphère (associée aux cyclones). Le rotationnel d’un champ divergentiel ou d’une translation en bloc donne zéro.

— Le rotationnel d’un gradient est toujours nul, et ce quel que soit le champ scalaire dont on calcule le gradient.

2.5 Laplacien

La divergence du gradient d’une fonction scalairef est appeléLaplacien.

En coordonnées cartésiennes on a :

∇ ·~ ∇~f = ∂²f(x, y, z)

∂x² +∂²f(x, y, z)

∂y² +∂²f(x, y, z)

∂z²

(8)

2.6 Quelques propriétés

2.6.1 Lois de composition

∇~(f +g) =∇~f +∇~g

∇~(f g) =f ~∇g+g ~∇f

div(~u+~v) = div~u+ div~v div(f~v) =fdiv~v+~v·∇~(f) div(~u×~v) =−~u·rot(~~ v) +rot(~~ u)·~v

rot(~~ u+~v) =rot(~~ u) +rot(~~ v) rot(λ~~ v) =λ ~rot(~v)−~v∧∇~λ

2.6.2 Quelques relations

∇ ∧~ (∇~f) =O~

∇ ·~ (∇ ∧~ A) = 0~