Mouvement de rotation, approche énergétique 1.

(1)

Sup PCSI1 - Exercices de physique mouvement de rotation, approche énergétique.

1 Mouvement de rotation, approche énergétique

1. Mouvement d'un cylindre :

a) Un cylindre peut tourner librement autour de son axe horizontal ∆ qui est fixe par rapport au référentiel du laboratoire considéré comme galiléen. Le moment d'inertie du cylindre par rapport à ∆ est J ; son rayon est R.

Un fil inextensible et de masse négligeable est enroulé autour du cylindre ; un corps de masse m est attaché à l'extrémité libre de ce fil.

Caractériser le mouvement de m que l'on pourra repérer par la coordonnée z comptée suivant la verticale descendante et décrire l’évolution ω(t) de la vitesse angulaire du cylindre. On souhaite traiter la question par une méthode énergétique.

b) Le dispositif précédent est modifié : un système de palettes est fixé sur l’axe; l’entraînement en rotation de ces palettes introduit un couple de frottement fluide dont le moment, de module M

_f

= h ߠሶ s’oppose au mouvement. Déterminer l’évolution temporelle de la vitesse angulaire ω(t) du cylindre, partant d’une valeur initiale nulle. (Le fil est supposé suffisamment long pour ne pas arriver en bout de déroulement avant la fin de l’étude...)

Réponses :

a) écrire la conservation de l’énergie pour le système (cylindre, masse suspendue), en faisant intervenir l’énergie cinétique de rotation du cylindre autour de l’axe ∆, l’énergie cinétique de la masse suspendue et son énergie potentielle de pesanteur. Par la présence du fil ݖሶ = ܴ ߠሶ

On peut aussi écrire la variation de l’énergie cinétique du cylindre comme égale à la puissance développée par la tension du fil ; cette tension étant explicitée à partir de la RFD écrite pour la masse m ou par un bilan énergétique instantané pour la masse m.

ω(t) = mgR.t / (J + mR²).

b) Dans le bilan énergétique précédent, vient s’ajouter la puissance dissipée par frottement fluide -h ߠሶ² . ω(t) = (mgR / h).(1 – exp(-t/τ)) avec τ = h / (J + mR²).

2. Pendule avec frottement :

Un dispositif est constitué d’une barre de masse négligeable, de longueur 3a, portant à ses extrémités des masses m et 2m, assimilables à des points matériels, pouvant tourner dans un plan vertical autour d’un axe horizontal passant à une distance 2a de la masse 2m.

Le pendule est lâché sans vitesse initiale, avec un angle θ = θ

_o

. La liaison pivot est supposée non idéale : le mobile subit un frottement linéaire traduit par un couple de frottement de moment : C h e

_x

•

−

= θ . Etablir l’équation du mouvement à partir d’un bilan énergétique.

Etudier θ(t) si θ

o

est proche de π, et en considérant h faible.

θ g

2a 2m

m

a y

z

(2)

Sup PCSI1 - Exercices de physique mouvement de rotation, approche énergétique.

2 Réponse : voir exercice sur la même situation dans feuilles d’exercice « Lois du moment cinétique ».

3. Mise en mouvement d'un volant par un rotor :

Un rotor constitué d’un solide S

1

et un volant d’inertie S

2

peuvent tourner sans frottement autour d'un axe de rotation horizontal (zz') commun. S

1

tourne à la vitesse angulaire ω

o

, et S

2

est initialement immobile. On désigne respectivement par J

1

et J

2

les moments d'inertie de S

1

et S

2

par rapport à l'axe (zz').

La mise en rotation de S

2

à partir du mouvement de S

1

est obtenue par un système d’embrayage. A un instant donné, on met en contact les deux disques D

₁

et D

₂

solidaires respectivement de S

₁

et S

₂

. Ces disques ont un moment d’inertie négligeable.

Au bout d'un certain temps, du fait des frottements entre D

1

et D

2

, le rotor et le volant tournent à la même vitesse ω

f

. 1°) Déterminer la vitesse angulaire ω

_f

.

2°) Faire un bilan énergétique entre l'état initial et l'état final du système et exprimer le travail des forces de frottement.

Réponses :

1°) Ecrire le TMC. Conservation du moment cinétique, donc J

1

.ω

o

= (J

1

+ J

2

).ω

f

2°) W

frott

= ∆E

c

= ... = J

1

.J

2

.ω

o

/ (2.(J

1

+ J

2

))

4. Contraction d’un système d’étoile double :

Un système d’étoile double est constitué de deux étoiles E

₁

et E

₂

de masses respectives m

₁

et m

₂

en interaction gravitationnelle. Toute interaction avec d’autres astres est supposée négligeable. L’ensemble constitue un système lié.

A l’état initial, les deux étoiles tournent autour de leur barycentre G, à une distance respective d = E

1

E

2

et avec une vitesse angulaire Ω, selon des trajectoires circulaires de centre G. Du fait de phénomènes dissipatifs, mettant en jeu une perte énergétique W, les deux étoiles sont amenées progressivement à se rapprocher l’une de l’autre à une distance d’ = E

₁

E

₂

. On suppose qu’elles conservent pratiquement une trajectoire circulaire durant le processus, le rayon de cette trajectoire variant à mesure que leur distance passe de d à d’.

Faire un bilan énergétique du processus. Calculer la valeur que prendra alors la période de révolution des étoiles autour de leur barycentre. On notera K = 6,67.10

Mouvement de rotation, approche énergétique 1.

Sup PCSI1 - Exercices de physique mouvement de rotation, approche énergétique.

1 Mouvement de rotation, approche énergétique

1. Mouvement d'un cylindre :

a) Un cylindre peut tourner librement autour de son axe horizontal ∆ qui est fixe par rapport au référentiel du laboratoire considéré comme galiléen. Le moment d'inertie du cylindre par rapport à ∆ est J ; son rayon est R.

Un fil inextensible et de masse négligeable est enroulé autour du cylindre ; un corps de masse m est attaché à l'extrémité libre de ce fil.

Caractériser le mouvement de m que l'on pourra repérer par la coordonnée z comptée suivant la verticale descendante et décrire l’évolution ω(t) de la vitesse angulaire du cylindre. On souhaite traiter la question par une méthode énergétique.

b) Le dispositif précédent est modifié : un système de palettes est fixé sur l’axe; l’entraînement en rotation de ces palettes introduit un couple de frottement fluide dont le moment, de module M

= h ߠሶ s’oppose au mouvement. Déterminer l’évolution temporelle de la vitesse angulaire ω(t) du cylindre, partant d’une valeur initiale nulle. (Le fil est supposé suffisamment long pour ne pas arriver en bout de déroulement avant la fin de l’étude...)

Réponses :

On peut aussi écrire la variation de l’énergie cinétique du cylindre comme égale à la puissance développée par la tension du fil ; cette tension étant explicitée à partir de la RFD écrite pour la masse m ou par un bilan énergétique instantané pour la masse m.

ω(t) = mgR.t / (J + mR²).

b) Dans le bilan énergétique précédent, vient s’ajouter la puissance dissipée par frottement fluide -h ߠሶ² . ω(t) = (mgR / h).(1 – exp(-t/τ)) avec τ = h / (J + mR²).

2. Pendule avec frottement :

Un dispositif est constitué d’une barre de masse négligeable, de longueur 3a, portant à ses extrémités des masses m et 2m, assimilables à des points matériels, pouvant tourner dans un plan vertical autour d’un axe horizontal passant à une distance 2a de la masse 2m.

Le pendule est lâché sans vitesse initiale, avec un angle θ = θ

. La liaison pivot est supposée non idéale : le mobile subit un frottement linéaire traduit par un couple de frottement de moment : C h e

−

= θ . Etablir l’équation du mouvement à partir d’un bilan énergétique.

Etudier θ(t) si θ

est proche de π, et en considérant h faible.

θ g

2a 2m

m

a y

z

Sup PCSI1 - Exercices de physique mouvement de rotation, approche énergétique.

2 Réponse : voir exercice sur la même situation dans feuilles d’exercice « Lois du moment cinétique ».

3. Mise en mouvement d'un volant par un rotor :

Un rotor constitué d’un solide S

et un volant d’inertie S

peuvent tourner sans frottement autour d'un axe de rotation horizontal (zz') commun. S

tourne à la vitesse angulaire ω

, et S

est initialement immobile. On désigne respectivement par J

et J

les moments d'inertie de S

et S

par rapport à l'axe (zz').

La mise en rotation de S

à partir du mouvement de S

est obtenue par un système d’embrayage. A un instant donné, on met en contact les deux disques D

et D

solidaires respectivement de S

et S

. Ces disques ont un moment d’inertie négligeable.

Au bout d'un certain temps, du fait des frottements entre D

et D

, le rotor et le volant tournent à la même vitesse ω

. 1°) Déterminer la vitesse angulaire ω

.

2°) Faire un bilan énergétique entre l'état initial et l'état final du système et exprimer le travail des forces de frottement.

Réponses :

1°) Ecrire le TMC. Conservation du moment cinétique, donc J

.ω

= (J

+ J

).ω

2°) W

= ∆E

= ... = J

.J

.ω

/ (2.(J

+ J

))

4. Contraction d’un système d’étoile double :

Un système d’étoile double est constitué de deux étoiles E

et E

de masses respectives m

et m

en interaction gravitationnelle. Toute interaction avec d’autres astres est supposée négligeable. L’ensemble constitue un système lié.

A l’état initial, les deux étoiles tournent autour de leur barycentre G, à une distance respective d = E

E

et avec une vitesse angulaire Ω, selon des trajectoires circulaires de centre G. Du fait de phénomènes dissipatifs, mettant en jeu une perte énergétique W, les deux étoiles sont amenées progressivement à se rapprocher l’une de l’autre à une distance d’ = E

E

. On suppose qu’elles conservent pratiquement une trajectoire circulaire durant le processus, le rayon de cette trajectoire variant à mesure que leur distance passe de d à d’.

Faire un bilan énergétique du processus. Calculer la valeur que prendra alors la période de révolution des étoiles autour de leur barycentre. On notera K = 6,67.10

usi.

Réponse : Bilan énergétique : ∆ E = -W = ∆ E