Le discriminant est ∆= −2 − 4 × 1 × 5 = −16 < 0 deux solutions complexes conjuguées :

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Ex1. Résoudre dans ℂ chacune des équations suivantes d’inconnue .

a) − 2 + 5 = 0

Le discriminant est ∆= −2 − 4 × 1 × 5 = −16 < 0 deux solutions complexes conjuguées :

=

= 1 − 2 ;

= 1 + 2

S = { 1 − 2 ; 1 + 2 }

b) 5 − 1 = 4 + 3

⇔ 5 − 3 = 1 + 4

⇔ 2 = 1 + 4

⇔ = = + 2 = 0,5 + 2

BONUS c) 2 + ̅ = 4 on pose = ! + " ;

#^$é&'() *+ ,-. -+) ∶ 2 ! + " + ! − " = 4

2! + 2" + ! + " − 4 = 0 0* ) 2! + " − 4 + ! + 2" = 0 soit 2! + " − 4 = 0 -) ! + 2" = 0

système de deux équations à deux inconnues 12! + " − 4 = 0! + 2" = 0 on obtient ! = ²₃ -) " = − ₃ ; une solution = ²₃ − ₃

d) − 2 + ̅ + − 2 = 0

⇔ − 2 + = 0 *' ̅ + − 2 = 0

⇔ = = −2 − 1 *' ̅ = 2 − 0* ) = 2 + deux solutions = −1 − 2 -) = 2 +

Ex2.

Ex3. Calculer et donner l’écriture algébrique des complexes suivants :

a) 1 + 3 = 1 + 6 + 9 = −8 + 6 b) 2 − 1 + 2 = 2 + 4 − − 2 = 4 + 3 c) = ^×_× = − = −

d) 3 = ₃ ³₃ = ^{3 2}_@ = ^{A @}_@ = ^A_@ − ^@_@ = _@ − _@

= 0,4 − 0,2

BONUS. Déterminer les entiers naturels + tels que B1 + √3C^D soit un réel.

E1 + √3E = F1 + B√3C = √4 = 2 ; G = arg 1 + √3 cos G = et sin G = ^√3 donc G =^L₃

B1 + √3C^D = M2- ^NOP^D = 2^D× M- ^NOP^D = 2^D × - ^DNO Un complexe est un réel si son argument est 0 T .

Il faut donc +^L₃ = 0 + XT avec X entier naturel soit + = 3X avec k entier naturel.