Différents types de raisonnement en mathématiques

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Abdellah ZEROUALI

Professeur chercheur de math´ematiques CRMEF/FES/MAROC

08 Avril 2017.

Abdellah ZEROUALI Diff´erents types de raisonnement en math´ematiques

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2 Raisonnement direct

3 Raisonnement par contre-exemple

4 Raisonnement par disjonction des cas

5 Raisonnement par contraposition

6 Raisonnement par l’absurde

7 Raisonnement par r´ecurrence

8 Raisonnement par analyse-synth`ese

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Plan

1 Introduction

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La place de la logique et du raisonnement est tr`es

importante dans les programmes du secondaire. En effet, l’étude des formes diverses de raisonement et la nécessité de distinguer implication et causalité sont essentielles à la formation mathématique.

Ainsi, les mathématiques vont permettent de distinguer le vrai du faux grâce à la mise en place d’une démarche logique qui mène à la conclusion. Cette démarche doit être convaincante pour tous: il s’agit du raisonnement.

Le raisonnement est le moyen de valider ou d’infirmer une hypoth`ese et de l’expliquer `a autrui.

Reste `a savoir quel type de raisonnement il faut mener pour arriver au r´esultat attendu.

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Plan

1 Introduction

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D´efinition

Ce type de raisonnement se base sur la valeur de verit´e de l’implicationP ⇒Q.

Pour montrer que l’assertionP ⇒Q est vraie, on suppose queP est vraie et on montre queQ est vraie.

Remarque

Dans le cas où P est fausse alors l’assertion P ⇒Q est vraie, quelque soit la valeur de vérité de Q.

Exemple

Montrer que pour tout n∈Z, 16n²−48n+ 33∈N.

On suppose quen est un entier relatif et on montre, dans un premier temps, que 16n²−48n+ 33 est un entier relatif et dans un second temps, on montre que 16n²−48n+ 33≥1.

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D´efinition

Remarque

Exemple

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D´efinition

Remarque

Exemple

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Plan

1 Introduction

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D´efinition

Si l’on veut montrer qu’une assertion du type (∀x ∈E, P(x)) est fausse, il suffit de trouver unx de Etel queP(x) soit fausse.

Trouver un telx, c’est trouver un contre-exemple `a l’assertion (∀x ∈E, P(x)).

Exemple

Montrer que l’implication suivante est fausse:

Si (un)n≥0 et (vn)n≥0 sont deux suites qui n’admettent pas de limites, alors la suite(u_nv_n)n≥0 n’admet pas de limite.

Il suffit de prendre comme contre exemple les suites un=vn= (−1)ⁿ.

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D´efinition

Si l’on veut montrer qu’une assertion du type (∀x ∈E, P(x)) est fausse, il suffit de trouver unx de Etel queP(x) soit fausse.

Trouver un telx, c’est trouver un contre-exemple `a l’assertion (∀x ∈E, P(x)).

Exemple

Montrer que l’implication suivante est fausse:

Si (un)n≥0 et (vn)n≥0 sont deux suites qui n’admettent pas de limites, alors la suite(u_nv_n)n≥0 n’admet pas de limite.

Il suffit de prendre comme contre exemple les suites un=vn= (−1)ⁿ.

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1 Introduction

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D´efinition

Si l’on souhaite v´erifier une assertion P(x) pour tous lesx dans un ensembleE, on montre l’assertion pour lesx dans une partie Ade Epuis pour tous lesx n’appartenant pas `aA.

C’est la m´ethode de disjonction des cas.

Remarque

Finalement, on partitionneEenE=A∪C_E^A. Exemple

Montrer que pour tout (x,y)∈R² : max(x,y) = 1

2(x+y+|x−y|).

On montre l’´egalit´e dans les deux casx ≥y et x<y.

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D´efinition

Remarque

2(x+y+|x−y|).

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D´efinition

Remarque

2(x+y+|x−y|).

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1 Introduction

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D´efinition

Le raisonnement par contraposition permet de d´emontrer qu’une implication de type (P ⇒Q) est vraie.

Ce raisonnement est bas´e sur l’´equivalence suivante:

(P ⇒Q)⇔ (non Q ⇒ non P).

Donc si l’on souhaite montrer l’assertion (P ⇒Q), on montre en fait que si non Q est vraie alors non P est vraie.

Exemple

Montrer que(∀ε >0,|x| ≤ε)⇒(x = 0).

il suffit de montrer la contrapos´ee (x 6= 0)⇒(∃ε >0,|x|>0).

Ceci est imm´ediat. En effet, si on ax6= 0, il suffit de prendre ε= ^|x|₂ .

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D´efinition

Le raisonnement par contraposition permet de d´emontrer qu’une implication de type (P ⇒Q) est vraie.

Ce raisonnement est bas´e sur l’´equivalence suivante:

(P ⇒Q)⇔ (non Q ⇒ non P).

Donc si l’on souhaite montrer l’assertion (P ⇒Q), on montre en fait que si non Q est vraie alors non P est vraie.

Exemple

Montrer que(∀ε >0,|x| ≤ε)⇒(x = 0).

il suffit de montrer la contrapos´ee (x 6= 0)⇒(∃ε >0,|x|>0).

Ceci est imm´ediat. En effet, si on ax6= 0, il suffit de prendre ε= ^|x|₂ .

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1 Introduction

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D´efinition

Le raisonnement par l’absurde pour montrer l’implication (P ⇒Q) repose sur le principe suivant: on suppose `a la fois queP est vraie et queQ est fausse et on cherche une contradiction. Ainsi, siP est vraie alorsQ doit ˆetre vraie et donc (P ⇒Q) est vraie.

Exemple

Soitf :R−→R une fonction d´efinie sur R et `a valeurs dans R. On suppose que f est continue sur R mais ne s’annule pas sur R. Montrer que f garde un signe constant strict sur R.

Supposons, par l’absurde, que (∃a∈R,f(a)≤0) et

(∃b∈R,f(b)≥0). Par le théorème des valeurs intermédiaires, on peut affirmer l’existence d’un réel c tel quef(c) = 0. Ce qui est absurde carf ne s’annule pas sur R.

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D´efinition

Le raisonnement par l’absurde pour montrer l’implication (P ⇒Q) repose sur le principe suivant: on suppose `a la fois queP est vraie et queQ est fausse et on cherche une contradiction. Ainsi, siP est vraie alorsQ doit ˆetre vraie et donc (P ⇒Q) est vraie.

Exemple

Soitf :R−→R une fonction d´efinie sur R et `a valeurs dans R. On suppose que f est continue sur R mais ne s’annule pas sur R. Montrer que f garde un signe constant strict sur R.

Supposons, par l’absurde, que (∃a∈R,f(a)≤0) et

(∃b∈R,f(b)≥0). Par le théorème des valeurs intermédiaires, on peut affirmer l’existence d’un réel c tel quef(c) = 0. Ce qui est absurde carf ne s’annule pas sur R.

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1 Introduction

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R´ ecurrence simple

Principe de r´ecurrence

Le principe de récurrence permet de montrer qu’une assertion P(n), dépendante den, est vraie pour toutn∈N. Il est basé sur la construction deN. En effet, un des axiomes pour définirN est le suivant : SoitAune partie de Nqui contient 0 et telle que sin∈Aalors n+ 1∈A, on a:A=N.

D´emonstration par r´ecurrence

Initialisation : On prouve que P(0) est vraie.

Hérédité : On supposen≥0 donné avecP(n) vraie et on démontre que l’assertionP(n+ 1) est vraie.

Conclusion : On rappelle que, par le principe de r´ecurrence, P(n) est vraie pour tout n∈N.

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R´ ecurrence simple

Principe de r´ecurrence

Le principe de récurrence permet de montrer qu’une assertion P(n), dépendante den, est vraie pour toutn∈N. Il est basé sur la construction deN. En effet, un des axiomes pour définirN est le suivant : SoitAune partie de Nqui contient 0 et telle que sin∈Aalors n+ 1∈A, on a:A=N.

D´emonstration par r´ecurrence

Initialisation : On prouve que P(0) est vraie.

Hérédité : On supposen≥0 donné avecP(n) vraie et on démontre que l’assertionP(n+ 1) est vraie.

Conclusion : On rappelle que, par le principe de r´ecurrence, P(n) est vraie pour tout n∈N.

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R´ ecurrences doubles, triples,...

Il existe aussi des récurrences doubles, triples, etc. . . . Dans ce cas, par exemple pour une récurrence triple, les trois étapes deviennent Récurrence triple

Initialisation : On prouve que P(0),P(1) etP(2) sont vraies.

Hérédité : On supposen≥3 donné avecP(n−3),P(n−2) et P(n−1) vraies et on démontre que l’assertion P(n) est vraie.

Conclusion : On rappelle que, par le principe de r´ecurrence triple,P(n) est vraie pour tout n∈N.

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R´ ecurrence forte

Remarque

Lorsqu’on ne sait pas à l’avance combien de rangs il faut supposer vrais avant d’en déduire l’hérédité, on utilise le principe de

récurrence forte. Dans l’étape d’hérédité, on fixe n≥0 et on suppose que, pour tout 0≤k ≤n,P(k) est vraie et on montre queP(n+ 1) est vraie. Dans la conclusion, on invoque le principe de récurrence forte.

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Exemples

Exemple 1

Soit (f_n)n≥0 la suite de fonctions polynomes d´efinies par:







f₀(x) = 2

f₁(x) = x

fn+2(x) = xfn+1(x)−fn(x), ∀n∈N Montrer que∀n∈N,f_n(x+_x¹) =xⁿ+ _x¹n.

On utilise la r´ecurrence double.

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Exemples

Exemple 2

Soit (S_n)n≥0 la suite d´efinies par:







S0(x) = 1 S_n+1 =

n

P

k=0

C_n^kS_k Montrer que∀n∈N,S_n≤n!.

On utilise la r´ecurrence forte.

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Plan

1 Introduction

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D´ efinition

Pour justifier l’existence et parfois l’unicité d’une solution, on peut être amené à déterminer la forme de cele-ci (forme qui n’est pas nécessairement donnée dans l’énoncé). On raisonne par

analyse-synth`ese.

Analyse : On suppose qu’il existe au moins une solution et on essaie d’en tirer le maximum de renseignement la concernant.

Cette ´etape assure parfois l’unicit´e.

Synthèse: On reporte dans le problème la ou les solutions trouvées précédemment, ce qui permet de déterminer s’il y a bien une solution au problème, puis une unique ou plusieurs.

Cette ´etape assure l’existence.

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Exemple

Question: montrer que toute fonctionf :R→Rpeut s’´ecrire d’une seule faccon sous la forme f =p+i, o`u p est une fonction paire eti est une fonction impaire.

R´eponse:

Analyse: supposons qu’il existe une fonctionppaire et i impaire telles quef =p+i. Nécessairementpeti sont définies à partir def comme:p(x) =^f^(x)+f₂^(−x) et

i(x) = ^f^(x)−f₂^(−x),∀x ∈R.Elles sont donc uniques mais leur existence n’est pas encore d´emontr´ee.

Synthèse: pour toute fonctionf :R→R, définissons à partir def deux fonctionsp eti par les relations précédents. On vérifie quep(x) = ^f^(x)+f₂^(−x) est paire, i(x) =^f^(x)−f₂^(−x) est impaire et quef(x) =p(x) +i(x). Ceci prouve qu’on a bien l’existence d’une solution.