Montrer que le syst`eme (”d’ondes non-lin´eaires”) ∂tu=∂x(F(v

Examen EDP du 24 janvier 2019. Notes manuscrites autoris´ees. Toutes les connexions internet, t´el´ephoniques, etc... doivent ˆetre ´eteintes. L’heure sera r´eguli`erement indiqu´ee au tableau.

1. Exercice

Soit F une fonction strictement croissante et lisse (par exemple F(v) = ^√v

1+v²). Montrer que le syst`eme (”d’ondes non-lin´eaires”)

∂_tu=∂_x(F(v)), ∂_tv=∂_xu,

o`u u = u(t, x) ∈ R, v = v(t, x) ∈ R, t ≥ 0, x ∈ R, est un SELC (au sens du cours). [On montrera directement que toute solution C¹ admet une loi de conservation suppl´ementaire pour une entropie strictement convexe de la formeE(u, v) =G(v) +u²/2 et on calculera explicitementGen fonction deF, en particulier dans le casF(v) = ^√v

1+v².]

2. Probl`eme

Etant donn´e un ouvert lisse et born´e U de R^d, on note H₀¹(U) l’espace obtenu par compl´etion de C_c^∞(U) pour la norme

u→ ||u||_H1= sZ

U

(|∇u(x)|²+u²(x))dx . On consid`ere le probl`eme de minimisation

J,min= inf

u∈H₀¹(U)

J(u), J(u) = Z

U

(G(∇u(x)) + (u(x)−1)²)dx, o`u >0 est fix´e etG:y∈R^d→|y|²+p

+|y|². 1) Montrer que ce probl`eme admet une unique solutionu. 2) Trouver l’EDP et les conditions aux limites satisfaites paru. 3) Montrer queu prend ses valeurs dans [0,1]

(on pourra supposer a prioriu∈H₀¹(U)∩C²(U) pour simplifier l’argument).

On se limite, pour la suite du probl`eme, au cas particulierd= 1, U =]0, L[ et on suppose ∈]0, L²/4].

Pourσ∈[0,1], on introduit

Eσ={u∈H₀¹(U), sup

x∈]0,L[

u(x) =σ}, Jσ,,min= inf{J(u), u∈Eσ}.

4) Montrer que pour toutu∈Eσ,RL

0 |u⁰(x)|dx≥2σ et en d´eduire queJσ,,min≥2σ+ (σ−1)²L.

5) Montrer queJσ,,min≤2σ+ (σ−1)²L+O(√ ).

6) Calculer la limite deJ_,min quand↓0.

7) Deviner la limite de u quand ↓ 0 et dire (au moins dans le cas L ≥1) s’il y a convergence dans H₀¹(]0, L[) (fort ou faible). Commenter sur la pertinence du probl`eme de minimisation quand= 0.

3. Exercice

SoitU un ouvert born´e lisse deR^d etf ≥0 positive. On consid`ere le probl`eme aux limites : (3.1)

∆²u = f dansU u= ∆u = 0 sur∂U

Montreru≥0. (On pourra supposer quef,uet ∆usont dansC²(U) pour simplifier.)

1

2

4. Corrig´e de l’exercice Pour toute solutionC¹de du syst`eme (”d’ondes non-lin´eaires”)

∂tv=∂xu, ∂tu=∂x(F(v)) on a, en posant

E(v, u) = u²

2 +G(v),

∂_t(E(v, u)) =u∂_tu+G⁰(v)∂_tv=u∂_x(F(v)) +G⁰(v)∂_xu

=∂x(F(v)u),

`

a condition de prendreG⁰(v) =F(v). PourF(v) =^{√ v}

1+v²,G(v) =√

1 +v² convient.

5. Corrig´e du probl`eme

1) (On omet momentan´ement l’indicepour all´eger l’´ecriture.) Ce probl`eme admet une unique solution pour les raisons suivantes :

a) la fonctionnelleJ eststrictementconvexe surH₀¹(U) (carGl’est surR^d) ;

b) elle est sci sur l’espace compl´et´eH₀¹(U) (alors qu’elle ne le serait pas surC_c^∞(U)) ; c) l’infimumJ_min est positif ou nul (´evident) et fini (il suffit de prendreu= 0 pour le voir) ; d) Pour toute suite minimisanteun, on voit que

sup

n

Z

U

|∇un(x)|²<+∞, donc, par in´egalit´e de Poincar´e (cf. cours)

sup

n

||un||_H1 <+∞,

et il s’ensuit qu’il existe une sous-suite, encore not´ee un qui converge faiblement dans H₀¹(U) vers une limiteu.

Comme la fonctionnelle est convexe sci on a forc´ement J(u)≤lim infJ(un) et donc J(u) =Jmin ce qui montre queuest optimale. Comme J est strictement convexe, le minimum est forc´ement unique.

2) En perturbant uparηφ, o`u φest arbitrairement donn´ee dansH<sub>c</sub><sup>1</sup>(U), et en d´erivant J(u+ηφ) par rapport `a η enη= 0, on voit que

Z

U

(∇φ(x)·(∇G)(∇u(x)) + 2φ(x)(u(x)−1))dx= 0, ce qui est la formulation ”variationnelle” de l’EDP

−∇ ·((∇G)(∇u)) + 2(u−1) = 0, avec condition aux limites de ”Dirichlet homog`ene”u= 0 sur ∂U. Comme

∇G(y) = 2y+ 2y p+|y|², on a, plus explicitement

−∆u− ∇ ·( ∇u

p+|∇u|²) +u−1 = 0, soit, en coordonn´ees (et en notant les d´eriv´ees partielles avec des virgules),

−u,kk− u,k

p+|∇u|²

!

,k

+u−1 = 0, ou encore

−u,kk−((+|∇u|²)δij−u,iu,j)u,ij

p+|∇u|²³

+u−1 = 0.

3

3) Si on supposeude classeC²on peut appliquer le principe du maximum. Soitx0un point de maximum deusurU. Six₀∈∂U, on au(x₀) = 0 (caru∈H₀¹(U)) et tout va bien. Six₀ est int´erieur, i.e. x₀∈U, on a∇u(x₀) = 0 et la matriceu_,ij(x₀) est semi-d´efinie n´egative En utilisant l’EDP et en remarquant que la matrice

(+|∇u|²)δij−u,iu,j

est toujours sym´etrique d´efinie positive, on obtient

((+|∇u|²)δij−u,iu,j)u,ij

p+|∇u|²³

(x0)≥0,

u,kk(x0)≥0 et doncu(x0)≤1. Pour un point de minimum int´erieur, on devrait avoir u(x0)≥1 pour exactement la mˆeme raison. Commeuest nulle sur le bord deU, ce n’est pas possible. Ainsi le minimum est forc´ement atteint sur le bord et vaut donc 0. Finalement on a bien montr´e queuest `a valeurs dans [0,1].

4) (Pour cette question (et les suivantes) on note explicitement la d´ependance par rapport `a≥0.) Soitu∈Eσ. Comme uest dansH<sub>0</sub><sup>1</sup>(]0, L[), uest une fonction absolument continue (car sa d´eriv´ee est dansL<sup>2</sup>). Soitx0un point o`u uatteint sa valeur maximaleu(x0) =σ. On a donc

Z L

0

|u⁰(x)|dx≥ |u(x0)−u(0)|+|u(L)−u(x0)|=|σ−0|+|0−σ|= 2σ.

Par d´efinition deJon a donc J(u)≥

Z L

0

|u⁰(x)|+ (u(x)−1)²

dx≥2σ+L(1−σ)², en utilisant le r´esultat pr´ec´edent et le fait que 1−u(x)≥1−supu= 1−σ≥0.

5) Comme 0<√

≤L/2, on voit que la fonctionud´efinie paru(x) =σmin{1, x/√

}lorsquex∈[0, L/2], et ´etendue par sym´etrie `a [L/2, L], appartient bien `aEσ. (Elle est lipschitzienne et s’annule au bord, elle est donc dansH₀¹(]0, L[), et admetσpour valeur maximale.) Il est facile d’´evaluer

J(u) = Z L

0

(|u⁰(x)|²+p

+|u⁰(x)|²+ (u(x)−1)²)dx

= 2 Z

√

0

(σ²/+p

+σ²/+ (σx/√

−1)²)dx+ 2 Z L/2

√

(√

+ (σ−1)²)dx

≤2(√

σ²+p

²+σ²+√

) +L√

+L(σ−1)²

≤2σ+L(σ−1)²+C√ o`u Cest une constante qui ne d´epend que deL(sachant que√

≤L/2).

6) On sait que la solution optimaleuprend ses valeurs dans [0,1] et donc appartient `a l’un desEσ pour σ∈[0,1]. On a donc

J_,min=J(u) = inf

0≤σ≤1J_σ,,min. Comme (d’apr`es la question pr´ec´edente)

2σ+L(σ−1)²≤Jσ,,min≤2σ+L(σ−1)²+C√ , on voit queJ_,minne peut que converger vers

I= inf

0≤σ≤1(2σ+L(σ−1)²).

Ce qui donne comme limite 2−1/LsiL≥1 (car l’inf est alors atteint pourσ= 1−1/L) etLautrement (auquel cas l’inf est atteint pourσ= 0).

4

7) Le r´esultat pr´ec´edent sugg`ere que la limite deu est la constante 1−1/LsiL≥1 et la constante 0 si L <1. Dans le premier cas, la convergence ne peut pas avoir lieu dans l’espace H<sub>0</sub><sup>1</sup>(]0, L[) (faible ou fort) car la constante 1−1/L n’en est pas ´el´ement. Le casL <1 est moins clair. De toutes fa¸cons, si = 0, dans le cas g´en´eral d’un ouvert born´e lisseU deR<sup>d</sup>, l’espaceH<sub>0</sub><sup>1</sup>(U) n’est pas la bonne compl´etion deC<sub>c</sub><sup>∞</sup>(U) pour la norme adapt´ee au probl`eme qui devrait plutˆot ˆetre

u→ Z

U

|∇u|dx+ sZ

U

u²(x)dx . 6. Exercice (Bi-Laplacien

Soit U un ouvert born´e de R^d et f positive (f : U → R⁺). On consid`ere le probl`eme aux limites suivant:

(6.2)

∆²u = f dansU u= ∆u = 0 sur∂U