Théorème de Pythagore

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JACQUES MAROT

N’hésitez pas à me transmettre remarques et critiques.

19 septembre 2002

Il est possible de démontrer le théorème de Pythagore d’une manière abordable à partir du niveau 4^e( peut-être même en 5^e). Il suffit pour cela de savoir calculer l’aire d’un carré et avoir quelques intuitions sur les conservations d’aire par déplacement d’une figure, là où un mathé- maticien parlera d’isométrie, il n’y aura que des évidences pour un col- légien sachant jouer avec un puzzle.

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1. Premier puzzle dans un cas particulier

A B

C J

I

D E

4 cm

4 cm 3 cm

3 cm

⊕ FIG.1

Découpons selon une diagonale les deux rectangles rose et jaune ci-contre à droite de même largeur 3 cm et de même longueur 4 cm, on obtient 4 triangles rectangles tous superposables.

A B

C J

I

K D

E G

F

H

4 cm 3 cm

⊕ FIG.2

Disposons ces 4 triangles rectangles comme in- diqué ci-contre à gauche . En remarquant que le triangle jaune a effectué un quart de tour dans le sens contraire des aiguilles d’une montre au- tour du point C et que le triangle rose a effectué un quart de tour dans le sens des aiguilles d’une montre autour du point E, on a donc sur cette fi- gure trois carrés

• BEFC est un carré dont les 4 cotés ont même mesure que la diagonale d’un rectangle.

• AKHC est un carré dont les côtés ont même me- sure que la longueur d’un rectangle.

• KDEG est un carré dont les côtés ont même me- sure que la largeur d’un rectangle.

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A B

C J

I

K D

E H

G

4 cm

4 cm 3 cm

3 cm

4 cm 3 cm

⊕ FIG.3 _A _B

C J

I

K D

G E F

H

?cm

⊕ FIG.4

Début(Pour répondre aux questions ou repartir à zéro cliquez sur le mot début en rouge à gauche.) 1.Quelle est l’aire du carré AKHC entouré en noir sur la figure ci-dessus ?

12 cm² 25 cm² 16 cm² 9cm²

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A B

C J

I

K D

E H

G

4 cm

4 cm 3 cm

3 cm

4 cm 3 cm

⊕ FIG.3 _A _B

C J

I

K D

G E F

H

?cm

⊕ FIG.4

12 cm² 25 cm² 16 cm² 9cm²

2.Quelle est l’aire du carré KDEG entouré en rouge sur la figure ?

12 cm² 25 cm² 16 cm² 9cm²

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A B

C J

I

K D

E H

G

4 cm

4 cm 3 cm

3 cm

4 cm 3 cm

⊕ FIG.3 _A _B

C J

I

K D

G E F

H

?cm

⊕ FIG.4

12 cm² 25 cm² 16 cm² 9cm²

3.En déduire l’aire du carré CBEF entouré en vert sur la figure ci dessus qui est la même que celle de l’hexagone ADEGHC entouré par un trait noir ou rouge ; puisqu’ils sont constitués des mêmes « pièces » superposables que nous avons indiquées par des couleurs identiques.

12 cm² 25 cm² 16 cm² 9cm²

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A B

C J

I

K D

E H

G

4 cm

4 cm 3 cm

3 cm

4 cm 3 cm

⊕ FIG.3 _A _B

C J

I

K D

G E F

H

?cm

⊕ FIG.4

12 cm² 25 cm² 16 cm² 9cm²

4.En déduire la mesure d’un côté du carré CBEF

3 cm 4 cm 5 cm 6 cm 7 cm

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1er cas particulier

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A B

C J

I

K D

E H

G

4 cm

4 cm 3 cm

3 cm

4 cm 3 cm

⊕ FIG.3 _A _B

C J

I

K D

G E F

H

?cm

⊕ FIG.4

12 cm² 25 cm² 16 cm² 9cm²

3 cm 4 cm 5 cm 6 cm 7 cm

Fin Pour voir le score cliquez sur le mot fin en rouge à gauche.

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A B

C J

I

K D

E H

G

4 cm

4 cm 3 cm

3 cm

4 cm 3 cm

⊕ FIG.3 _A _B

C J

I

K D

G E F

H

?cm

⊕ FIG.4

12 cm² 25 cm² 16 cm² 9cm²

3 cm 4 cm 5 cm 6 cm 7 cm

Fin Pour voir le score cliquez sur le mot fin en rouge à gauche.

Pour voir la correction cliquez sur ce bouton.

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2. Premier puzzle dans le cas général

Dans ces figures la largeur des rectangles ABJC et BDEI est un nombre quelconque b et leur longueur est un nombre quelconque a. Les diagonales des deux rectangles sont aussi appelées hypoténuses des quatre triangles rectangles, on désignera sa mesure par c.

A B

C

E H J

K

I G

D F

a b

c

a b

c

⊕ FIG.5

A B

C

E H J

K

I G

D F

a b

c

a b

c

⊕ FIG.6

Début

1.Quelle est l’aire de AKHC ?

ab ac bc a² b²

2.Quelle est l’aire de KDEG ?

ab ac bc a² b²

3.ADEGHC et CBEF ont des aires égales puisque l’on passe simplement de l’un à l’autre en déplaçant les triangles bleu ou vert ; en déduire une expression de l’aire de CBEF.

(a+b)² a²+b² b²−a² a²−b²

Fin ^{Score :}

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Le quadrilatère CBEF en jaune sur la figure ci-dessous est un carré dont les côtés ont pour mesure c, son aire est donc égale à c², nous venons de vérifier que l’aire en jaune est la somme des aires des carrés bleu et rose. On vient donc de démontrer le théorème de Pythagore, qui affirme que si les côtés de l’angle droit d’un triangle rectangle ont pour mesure a et b, alors l’hypoténuse a une mesure c qui vérifie : c²=a²+b².

A B

C

E F

c c

²

= a

²

+ b

²

D

a

G

a

²

H I

b b

²

⊕ FIG.7

Si ABC est rectangle en A alors

BC ² = AB ² + BC ²

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3. 2eme méthode dans un cas particulier

A B

C

J

I

F

D E

K H

G

12 cm

12 cm 5 cm

5 cm

5 cm 12 cm

⊕ FIG.8

Découpons selon une diagonale les deux rec- tangles ABJC et BDEI ci-dessus, on obtient 4 triangles rectangles superposables. Déplaçons 2 de ces 4 triangles rectangles sur les triangles gri- sés, en faisant tourner le triangle CJB autour de C d’un quart de tour dans le sens contraire des aiguilles d’une montre, et en faisant tourner le triangle EBI autour de E d’un quart de tour dans le sens des aiguilles d’une montre. Le quadrila- tère BEFC obtenu en vert clair est donc un carré dont les 4 cotés ont même mesure que la diagonale de l’un des rectangles.

Début

1.Quelle est la mesure d’un côté du carré ADHG ?

15 cm 16 cm 17 cm 18 cm 19 cm

2.En déduire son aire.

225 cm² 256 cm² 289 cm² 324 cm² 361 cm²

3.Quelle est l’aire totale des 4 triangles coloriés en rose ou jaune ?

100 cm² 110 cm² 120 cm² 130 cm² 140 cm²

4.En déduire par soustraction l’aire du carré CBEF resté en vert clair.

125 cm² 146 cm² 169 cm² 194 cm² 221 cm²

5.En déduire la mesure de l’hypoténuse des triangles rectangles jaune ou rose.

13 cm 14 cm 15 cm 16 cm 17 cm

Fin ^{Score :}

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4. Deuxième puzzle dans le cas général

Cette fois ci la longueur des rectangles bleu ou vert n’est pas connue, nous désignerons cette mesure par b, leur largeur non plus, nous la désignerons par a.

Leur diagonale aura une mesure désignée par c.

A B

C J I

F

D E

K H

G

b

a b

a

c

⊕ FIG.9 Début

1.Quelle est l’aire totale des deux triangles verts et des deux triangles bleus réunis ?

a+b 2ab c² a² b²

2.Quelle est l’aire du grand carré ADHG ?

a²+b² a²+b²−2ab a²+b²+2ab c² a²−b² 3.En déduire l’aire du carré CBEF ?

b² a² a²+b² 2a 2b

Fin

Puique le carré CBEF a 4 côtés de mesure c, nous venons donc de démontrer le théorème de Pythagore d’une autre façon :

Si les côtés de l’angle droit d’un triangle rectangle ont pour mesure a et b, alors l’hypoténuse a une mesure c qui vérifie : c²=a²+b².

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5. troisième puzzle dans un cas particulier

Cette fois ci ABC est un triangle a priori non rectangle, dans lequel nous avons tracé les hauteurs issues de A et B ; ainsi que les carrés ABGH ; CAIJ et BCKL, extérieurs au triangle qui ont un côté en commun avec ce triangle.

B C

A G

H

I

J

K L

E

D X

Y

⊕ FIG.10

Nous allons vérifier dans un cas particulier que les rectangles en jaune Y EJC et X DKC ont la même aire, en se servant du théorème de Pythagore. Nous verrons par la suite que l’on peut prouver cette propriété de manière générale sans se servir du théorème de Pythagore.

Elle permettra de déterminer d’autres rectangles ayant même aire que le rectangle AY EI en rose et le rectangle BX DL en vert, en traçant la hauteur issue de C.

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Dans le cas particulier dont les dimensions sont indiquées sur cette figure à gauche, nous allons calculer l’aire des deux rectangles en jaune ( l’unité de longueur employée est le cm, et l’unité d’aire est le cm²) .

B

C A

I

J

K L

E

X Y

9 cm 6 cm

8 cm 15 cm

AI=AC

D

⊕ FIG.11

Début

1.Quelle est l’aire du rectangle XCKD en jaune.

80 90 100 110 120

2.En se servant du théorème de Pythagore dans le tri- angle AXC rectangle en X calculer AC²

64 81 100 36 28

3.En déduire la valeur de AC.

8 9 10 6 14

4.L’aire du triangle ABC peut être calculée en prenant [BC]pour base et[AX]pour hauteur, quelle est cette aire ?

120 64 60 50 40

5.En déduire la mesure de la hauteur[BY]issue de B dans le triangle ABC.

10 11 12 13 14

6.En se servant du théorème de Pythagore dans le tri- angle Y BC rectangle en Y calculer YC²

64 81 100 121 144

7.En déduire la valeur de YC.

8 9 10 11 12

8.En déduire l’aire du rectangle YCJE en jaune.

80 90 100 110 120

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6. Troisième puzzle dans le cas général pour prouver la réciproque

Cette fois ci ABC est un triangle quelconque a priori non rectangle, dans lequel nous avons tracé les trois hauteurs(AX),(BY)et(CZ). À l’extérieur du triangle nous avons dessiné les carrés ABGH ; CAIJ et BCKL.

B C

A G

H

I

J

K L

F

E

D X Z Y

⊕ FIG.12

Nous allons prouver que les rectangles de même couleur ont des aires égales, cela nous servira à prouver d’une troisième façon le théorème de Pythagore et sa réciproque. On devra étudier un deuxième cas de figure lorsqu’il y a un angle obtus, car les hauteurs se coupent alors à l’extérieur du triangle.

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En observant les quatre figures suivantes, on peut observer, que les quatre figures en rose sont des paral- lélogrammes ( parfois rectangle ) ayant deux à deux en commun une base et la même hauteur relative à cette base ; ils ont donc des aires égales.

B C

A G

H

I

J

K L

F

E

D M

X Y Z

⊕ FIG.13

On déforme le rectangle ZFGB en rose en faisant

« glisser » le segment[FZ]

en[MC], on obtient le pa- rallélogramme en rose à droite BCMG. Les deux triangles bleus ont des co- tés de même mesure, ils ont donc la même aire ainsi que les quadrilatères en rose.

B C

A G

H

I

J

K L

F

E

D M

X Y Z

⊕ FIG.14

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B C

A G

H

I

J

K L

F

E

D M

X Y Z

⊕ FIG.13

B C

A G

H

I

J

K L

F

E

D M

X Y Z

⊕ FIG.14

On fait ensuite pivoter le parallélogramme BCMG en rose d’un quart de tour dans le sens des aiguilles d’

une montre autour du point B.

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B C

A G

H

I

J

K L

F

E

D M

X Y Z

⊕ FIG.13

B C

A G

H

I

J

K L

F

E

D M

X Y Z

⊕ FIG.14

On fait ensuite pivoter le parallélogramme BCMG en rose d’un quart de tour dans le sens des aiguilles d’

une montre autour du point B.

B C

A G

H

I

J

K L

F

E

D N X

Y Z

⊕ FIG.15

On déforme le parallélo- gramme ABLN en rose en faisant « glisser » le segment[AN]en[X D], on obtient le rectangle en rose à droite X BLD. Les deux tri- angles verts ont des côtés de même mesure, ils ont donc la même aire ainsi que les quadrilatères en rose.

B C

A G

H

I

J

K L

F

E

D N X

Y Z

⊕ FIG.16

Cliquez ici pour voir l’animation vidéo :

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on peut l’arrêter ou la relancer en cliquant sur“ou·en bas à gauche.

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En appliquant les mêmes transformations que dans la page précédente, essayez de repérer les rectangles ayant la même aire.

B C

A G

H

I

J

K L

F

E

D M

N X

Y Z

⊕ FIG.17

Début

1.Quel est le rectangle qui a la même aire que le rectangle ZBGFen bleu?

ZAHFen vert YAIEen blanc Y EJCen rouge XCKDen jaune X BLDen rose 2.Quel est le rectangle qui a la même aire que le rectangle Y EJCen rouge?

ZAHFen vert YAIEen blanc ZBGFen bleu XCKDen jaune X BLDen rose 3.Quel est le rectangle qui a la même aire que le rectangle YAIEen blanc?

ZAHFen vert ZBGFen bleu Y EJCen rouge XCKDen jaune X BLDen rose

Fin ^{Score :}

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B C

A G

H

I

J

K L

F

E

D M

N X Z Y

BC²<AB²+AC²

⊕ FIG.18

SiBAC est aigu alors l’aire du grand carré de côte BC, quid est égale à l’aire totale en rouge ou bleu est plus petite que celle des deux carrés ABGH et ACJI réunis, auxquels il faut enlever les rectangles blanc ou vert.

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B C

A G

H

I

J

K L

F

E

D M

N X Z Y

BC²<AB²+AC²

⊕ FIG.18

SiBAC est aigu alors l’aire du grand carré de côte BC, quid est égale à l’aire totale en rouge ou bleu est plus petite que celle des deux carrés ABGH et ACJI réunis, auxquels il faut enlever les rectangles blanc ou vert.

B C

A G

H

I

J

K L

F E

D M

N X Y

Z

BC²>AB²+AC²

⊕ FIG.19

SiBAC est obtus alors l’aire du grand carré de côte BC, quid est égale à l’aire totale en rouge ou bleu est plus grande que celle des deux carrés ABGH et ACJI réunis, auxquels il faut adjoindre les parties plus foncée, rouge ou bleue.

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B C

A G

H

I

J

K L

F

E

D N Y Z

BC²=AB²+AC²

⊕ FIG.20

Si le triangle ABC est rectangle en A, alors les largeurs des rectangles AZFH précédemment en vert, et AY EI précédemment en blanc ont été réduites à 0, les rectangles bleu ou rouge sont devenus des carrés.

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B C

A G

H

I

J

K L

F

E

D N Y Z

BC²=AB²+AC²

⊕ FIG.20

La somme des aires des deux rectangles rose ou jaune est alors égale à la somme des aires des carrés bleu ou rouge. Puisque les deux rectangles jaune ou rose réunis forment le carré BCKL, on vient donc de démontrer le théorème de Pythagore d’une troisième façon.

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B C

A G

H

I

J

K L

F

E

D N Y Z

BC²=AB²+AC²

⊕ FIG.20

Mais nous avons démontré aussi sa réciproque, c’est à dire que l’aire des deux carrés ABGH et ACJI réunis ne peut être égale à l’aire du carré BCKL, que dans le seul cas où le triangle ABC est rectangle en A.

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B C

A G

H

I

J

K L

F

E

D N Y Z

BC²=AB²+AC²

⊕ FIG.20

Mais nous avons démontré aussi sa réciproque, c’est à dire que l’aire des deux carrés ABGH et ACJI réunis ne peut être égale à l’aire du carré BCKL, que dans le seul cas où le triangle ABC est rectangle en A.

Nous pouvons donc énoncer le théorème de Pythagore et sa réciproque de la façon suivante : Un triangle ABC est rectangle en A

si et seulement si BC²=AB²+AC²car siBAC est obtus, alors BCd ²>AB²+AC² et siBAC est aigu alors BCd ²<AB²+AC².

Théorème de Pythagore - Cours 3 pdf