VII. Applications linéaires
Référence pour ce chapitre : Liret & Martinais1. On notera comme d’habitudeK=RouC.
Une application linéaire est une application d’un espace vectoriel dans un autre qui est compatible avec la structure d’espace vectoriel. Une base de l’espace vectoriel de départ et une base de l’espace vectoriel d’arrivée étant données, ces applications linéaires s’identifient aux matrices, vues au chapitre II, la composition des applica- tions s’identifiant au produit matriciel. La partie VII.1 de ce chapitre est consacrée à des définitions et des propriétés élémentaires, la partie VII.2 à la correspondance entre les applications linéaires et les matrices. En VII.3, on définit des opérations sur les applications linéaires et on identifie ces opérations aux opérations matri- cielles. La suite du chapitre est consacrée au lien des applications linéaires avec les objets étudiés au chapitre V : bases, sous-espaces vectoriels, dimension.
VII.1. Définitions et premières propriétés
VII.1.a. Définitions et exemples
SoitE etF des espaces vectoriels sur K. On notera~0E (respectivement~0F) le vecteur nul deE (respectivementF).
Définition VII.1.1. Soitf une application deE dansF. On dit quef est une application linéaire deE dansF quand les deux conditions suivantes sont respec- tées :
∀(~x, ~y)∈E2, f(~x+~y) =f(~x) +f(~y) (VII.1)
∀~x∈E, ∀λ∈K, f(λ~x) =λf(~x).
(VII.2)
On noteL(E, F)l’ensemble des applications linéaires deE dansF.
Une application linéaire deEdansEest appeléeendomorphismedeE. On note pour simplifierL(E)(au lieu deL(E, E)) l’ensemble des endomorphismes deE.
Exemples VII.1.2. i. Si λ ∈ K\ {0}, l’application hλ : ~x 7→ λ~x est un en- domorphisme deE, appelée homothétie de rapportλ. L’application h1 est simplement l’identité deE.
ii. L’application constante nulle,~x7→~0F est une application linéaire deEdans F, notée0E→F ou, lorsqu’il n’y a pas d’ambiguïté,0.
1. François Liret et Dominique Martinais. Algèbre 1ère année - Cours et exercices avec solutions.Dunod, deuxième édition, 2003
iii. L’applicationfdéfinie parf (x, y)
= 3x−4yest une application linéaire de R2 dansR. La même formule définit une application linéaire deC2 dansC. iv. La fonctionf:R→Rdéfinie parf(x) =x3n’est pas une application linéaire
deRdansR. En effet,
f(2×1) =f(2) = 8mais2f(1) = 26= 8.
v. Soitθ∈R. La rotationRθ deR2 de centre(0,0)et d’angleθest une appli- cation linéaire deR2 dansR2. En effet, on a la formule (à vérifier) :
Rθ (x, y)
= (xcosθ−ysinθ, xsinθ+ycosθ),
dont on déduit facilement le résultat annoncé. Voir aussi l’exercice VII.1.5 plus loin.
Remarque VII.1.3. Sif est une application définie sur Rn, l’image d’un vecteur (x1, . . . , xn)deRns’écritf (x1, . . . , xn)
, avec deux paires de parenthèses : les pa- renthèses extérieures signifient “l’image parf”, les parenthèses intérieures sont celles apparaissant dans l’écriture dun-uplet(x1, . . . , xn). Il est d’usage, pour alléger les notations, d’omettre de doubler les parenthèses. Par souci de rigueur, nous utilise- rons systématiquement dans ce cours la notation avec les parenthèses doublées.
VII.1.b. Quelques propriétés
Proposition VII.1.4. Sif∈ L(E, F),f(~0E) =~0F. Démonstration.
f(~0E) =f(0×~0E) = 0f(~0E) =~0F.
Exercice VII.1.5. SoitM un point du planR2, différent de l’origine(0,0), et θ∈ (0,2π). La rotation f de R2 de centre M et d’angle θ est-elle une application linéaire ?
(cf correction p. 70).
Proposition VII.1.6. Soitf∈ L(E, F) et~u1,. . . ,~uk des éléments deE. Alors f(λ1~u1+. . .+λk~uk) =λ1f(~u1) +. . .+λkf(~uk).
Démonstration. Si k = 2, on démontre la formule en utilisant successivement les conditions (VII.1) et (VII.2) de la définition VII.1.1 :
f(λ1~u1+λ2~u2) =f(λ1~u1) +f(λ2~u2) =λ1f(~u1) +λ2f(~u2).
Le cas général se démontre par récurrence surk.
Corollaire VII.1.7. On suppose E de dimension n. Soit B = (~u1, . . . , ~un) une base deE, et(~v1, . . . , ~vn)des vecteurs deF. Alors il existe une unique application linérairef∈ L(E, F)telle que
(VII.3) ∀j= 1. . . n, f(~uj) =~vj.
Démonstration. Supposons que f ∈ L(E, F) vérifie (VII.3). Soit~xun élément de E et(x1, . . . , xn)ses coordonnées dans la baseB. Alors par la proposition VII.1.6 (VII.4) f(x1~u1+x2~u2+. . .+xn~un) =x1~v1+. . .+xn~vn,
ce qui montre l’unicité def vérifiant (VII.3). Pour montrer l’existence, il suffit de définirf par la formule (VII.4), ce qui a un sens puisqueBest une base deE. On vérifie aisément que l’application obtenue est un élément deL(E, F)tel que pour toutj∈ {1, . . . , n},f(~uj) =~vj.
Exemple VII.1.8. Soit~u= (1,3),~v= (1,4). Alors il existe une unique application linéairef:R2→R3telle quef(~u) = (−1,2,3),f(~v) = (0,0,0).
Exercice VII.1.9. Soit (x, y) ∈ R2. Calculer f (x, y)
où f est l’application de l’exemple précédent. (Correction p. 70).
VII.2. Applications linéaires et matrices
VII.2.a. Matrice de représentation d’une application linéaire
On montre ici que sur les espaces vectoriels de dimension finie2, une base de l’espace de départ et une base de l’espace d’arrivée étant données, une application linéaire s’identifie à une matrice.
On rappelle que l’on note plutôt lesncoordonnées d’un vecteur dans la base d’un espace vectoriel de dimensionnsous forme d’un vecteur colonne. Par exemple, les coordonnées d’un élément(x1, x2, . . . , xn)deKndans la base canonique deKnsont généralement notées :
x1 x2
.. .
xn
.
2. On rappelle que tous les exemples d’espaces vectoriels vus dans ce cours sont de dimension finie.
Définition VII.2.1. SoitE, F des espaces vectoriels de dimensions respectivesn etp. SoitB= (~u1, ~u2, . . . , ~un)une base deEetC= (~v1, ~v2, . . . , ~vp)une base deF. Soitf∈ L(E, F). Lamatrice de représentation de f dans les basesBetC (ou plus simplement matrice de f dans les bases B etC), notée MatB,C(f) est la matrice p×n dont le coefficient (i, j) est donné par la i-ème coordonnée de f(~uj) dans la base C. En d’autres termes, laj-ième colonne deMatB,C(f) est donnée par les coordonnées def(~uj)dans la baseC.
Les bases B et C étant fixées, on montre facilement (en utilisant le Corollaire VII.1.7) que pour toute matrice A de Mp,n(K), il existe une unique application linéairef∈ L(E, F)telle queA= MatB,C(f)3. Il est donc équivalent de considérer les applications linéaires de E dansF et les matricesp×n. Le point de vue “ap- plication linéaire” est intrinsèque : il ne dépend pas du choix de bases deE etF. Le point de vue matriciel n’a pas cette propriété, mais est plus adapté aux calculs explicites.
VII.2.b. Exemple : cas des bases canoniques
Soitf une application linéaire deKn dansKp,A= [ai,j]1≤i≤p 1≤j≤n
sa matrice dans les bases canoniques deKn etKp. Alors, en notant(~e1, . . . , ~en)la base canonique deKn:
(VII.5) f (x1, x2, . . . , xn)
=f(x1~e1+. . .+xn~en) =
n
X
j=1
xjf(~ej)
=
n
X
j=1
xj(a1,j, a2,j, . . . , ap,j)
=
n
X
j=1
a1,jxj,
n
X
j=1
a2,jxj, . . . ,
n
X
j=1
ap,jxj
! .
On peut donc facilement reconnaître une application linéaire de Kn dans Kp : chacune de ses coordonnées dans Kp est donnée, comme dans (VII.5), par une combinaison linéaire de coordonnées dansKn. De plus, on lit sur cette formule les coefficients de la matrice de l’application linéaire dans les bases canoniques.
Exemple VII.2.2. La formule (VII.6) f (x1, x2, x3, x4, x5)
= (πx1+ 4x3+x5, ix3+√
2x4+x5,−x1+x2, x1+ 3x2+ 4x3+x4)
3. En d’autres termes, l’applicationf7→MatB,C(f)deL(E, F)dansMp,n(K)est une bijec- tion, cf VII.4.c p. 63 pour un rappel sur les bijections.
VII.2. Applications linéaires et matrices qui dit que les coordonnées def (x1, x2, x3, x4, x5)
dans la base canonique sont :
(VII.7)
πx1+ 4x3+x5
ix3+√ 2x4+x5
−x1+x2
x1+ 3x2+ 4x3+x4
définit une application linéaire deC5dansC4. Sa matrice dans les bases canoniques (qui se lit sur la formule (VII.7)) est :
π 0 4 0 1
0 0 i √
2 1
−1 1 0 0 0
1 3 4 1 0
.
Exemple VII.2.3. La matrice de représentation de la rotationRθ de centre 0 et d’angleθ(cf Exemple VII.1.2, v) est :
cosθ −sinθ sinθ cosθ
.
VII.2.c. Cas général
Donnons un exemple de calcul de matrice de représentation dans des bases autres que les bases canoniques.
Exemple VII.2.4. Soitf∈ L(R2,R3)défini par (VII.8) f (x1, x2)
=1
2(x1+ 3x2,3x1+ 5x2,−x1+x2).
SoitB= (~u1, ~u2),C= (~v1, ~v2, ~v3), où
~
u1= (−1,1), ~u2= (1,1), ~v1= (1,1,1), ~v2= (1,2,0), ~v3= (1,0,0).
On vérifie facilement queBetCsont des bases deR2etR3respectivement. Calculons A= MatB,C(f).
La formule (VII.8) nous donne :
f(~u1) = (1,1,1) =~v1, f(~u2) = (2,4,0) = 2~v2. D’où
MatB,C(f) =
1 0 0 2 0 0
.
Remarquons que cette matrice est complètement différente de la matrice def dans les bases canoniques deR2etR3, 12
1 3
3 5
−1 1
, qui se lit sur la formule (VII.8).
Dans cet exemple, la matrice de f dans les bases B et C est beaucoup plus simple que sa matrice dans les bases canoniques. On voit ici l’intérêt que peut représenter le choix d’une autre base que la base canonique pour écrire la matrice d’une application linéaire.
Comme le montre l’exemple précédent, le calcul de la matrice de représentation d’une application linéairef dans les bases (~u1, . . . , ~un),(~v1, . . . , ~vp) se décompose en deux étapes :
— le calcul def(~u1), . . . ,f(~un);
— le calcul des coordonnées def(~u1),. . . ,f(~un)dans la base(~v1, . . . , ~vp): soit, en général, la résolution densystèmes de Cramer, chacun àpéquations etp inconnues. Dans l’exemple précédent, ce calcul était immédiat.
Il est aussi possible de déterminer la matrice de représentation def par des calculs matriciels, à l’aide de la formule de changement de bases qui n’est pas au programme du cours cette année mais est donnée en complément (cf partie VII.6).
VII.2.d. Un exemple de changement de base
Soit E et F des espaces vectoriels de dimensions finies et f ∈ L(E, F). On se donne deux bases deE,B etBeet deux bases deF,C etC. Peut-on exprimere MatB,C(f)en fonction deMatB,eCe(f)? La formule de changement de bases (cf partie VII.6), hors programme cette année, permet de répondre à cette question. On peut aussi le faire par des calculs directs. On donne ici un exemple d’un tel calcul.
On suppose E = R2, F = R3, B = (~u1, ~u2), Be = (~u˜1, ~u˜2), C = (~v1, ~v2, ~v3), Ce= (~˜v1, ~˜v2, ~˜v3)avec
~
u1= (1,1), ~u2= (1,−1), ~u˜1= (1,1), ~u˜2= (1,0) et
~
v1= (1,−1,0), ~v2= (1,1,0), ~v3= (0,0,1),
~˜
v1= (1,0,0), ~˜v2= (1,1,0), ~v˜3= (1,0,1).
On suppose de plus
MatB,C(f) =
−1 1
2 0
3 2
. On chercher à calculerMat
B,eCe(f).
Première étape.On commence par calculerf(~u˜1)etf(~u˜2). Puisqu’on connaîtf(~u1) etf(~u2), il suffit de trouver les coordonnées de~u˜1 et~u˜2dans la baseB. On a :
~˜
u1=~u1 et~u˜2=1 2~u1+1
2~u2
(la deuxième égalité s’obtient par résolution du systèmex1+x2= 1,x1−x2= 0).
Donc, en utilisant l’expression deMatB,C(f),
f(~u˜1) =f(~u1) =−~v1+ 2~v2+ 3~v3, f(~˜u2) =1
2f(~u1) +1
2f(~u2) = 1
2(−~v1+ 2~v2+ 3~v3) +1
2(~v1+ 2~v3) =~v2+5 2~v3. Deuxième étape.On a obtenu les coordonnées def(~˜u1)etf(~u˜2)dans la baseC. On a besoin des coordonnées de ces vecteurs dans la baseC. Il suffit pour cela d’écrire lese vecteurs~v1,~v2et~v3en fonction de~˜v1,~˜v2et~v˜3. En résolvant pour chaque vecteur un système linéaire (dans ce cas précis, échelonné) de trois équations à trois inconnues, on obtient
~
v1= 2~v˜1−~v˜2, ~v2=~˜v2, ~v3=−~˜v1+~v˜3. D’où, en utilisant la première étape,
f(~u˜1) =−(2~v˜1−~v˜2) + 2~v˜2+ 3(~v˜3−~v˜1) =−5~˜v1+ 3~v˜2+ 3~v˜3, et
f(~u˜2) =~v˜2+5
2(−~˜v1+~˜v3) =−5
2~˜v1+~v˜2+5 2~˜v3. On en déduit
MatB,eCe(f) =
−5 −52
3 1
3 52
.
VII.2.e. Applications linéaires et multiplication par une matrice
La proposition suivante donne une interprétation plus concrète deMatB,C(f).
Proposition VII.2.5. Sous les conditions de la définition VII.2.1, on se donne un vecteur~x deE de coordonnées X=
"x1
.. .
xn
#
dans la baseB. On noteY =
"y1
..
y.p
#
les coordonnées de f(~x)dans la baseC. Alors Y = MatB,C(f)X.
Démonstration. NotonsMatB,C(f) =A= [aij]1≤i≤p 1≤j≤n
. Alors
f(~x) =f(x1~u1+x2~u2+. . .+xn~un) =x1f(~u1) +x2f(~u2) +. . .+xnf(~un)
=x1 p
X
i=1
ai1~vi
! +x2
p
X
i=1
ai2~vi
!
+. . .+xn p
X
i=1
ain~vi
!
En regroupant les termes de la dernière ligne de l’inégalité précédente, on voit que pouri= 1. . . p, la coordonnéeyide~viest donnée par
yi=
n
X
j=1
aijxj,
ce qui signifie bien queY =AXau sens du produit matriciel.
Exemple VII.2.6. Reprenons l’application linéaire f de l’exemple VII.2.4. Les co- ordonnées def(2~u1+~u2)dans la baseC= (~v1, ~v2, ~v3)sont données par le produit matriciel :
MatB,C(f) 2
1
=
1 0 0 2 0 0
2
1
=
2 2 0
. En d’autres termes :
f(2~u1+~u2) = 2~v1+ 2~v2.
Exemple VII.2.7. L’application linéairef deR2 dansR3 définie parf (x1, x2)
= (2x1+x2, x1−x2,3x2)associe, à un vecteur de coordonnéesX dans la base cano- nique deR2, le vecteur de coordonnéesAXdans la base canonique deR3, où
A=
2 1
1 −1
0 3
.
VII.3. Opérations sur les applications linéaires
VII.3.a. Addition et multiplication par un scalaire
Définition VII.3.1. Soitf, g∈ L(E, F),µ∈K. On définit les applicationsf+g etµf deEdansF par :
(f+g)(~x) =f(~x) +g(~x), (µf)(~x) =µf(~x).
Dans les deux égalités de la ligne précédente, l’addition et la multiplication par µ apparaissant dans le membre de droite de chaque égalité sont l’addition et la multiplication parµde l’espace vectorielF.
Proposition VII.3.2. Si f, g ∈ L(E, F) et µ ∈ K, les applications f+g et µf données par la définition VII.3.1 sont des éléments deL(E, F).
Démonstration. Soit ~x et~y deux éléments de E. En utilisant successivement la définition def+g, la linéarité defetg, la commutativité de l’addition surF puis à nouveau la définition def+g, on obtient :
(f+g)(~x+~y) =f(~x+~y) +g(~x+~y) =f(~x) +f(~y) +g(~x) +g(~y)
=f(~x) +g(~x) +f(~y) +g(~y) = (f+g)(~x) + (f+g)(~y).
VII.3. Opérations sur les applications linéaires De même, siλ∈K,
(f+g)(λ~x) =f(λ~x) +g(λ~x) =λf(~x) +λg(~x) =λ(f(~x) +g(~x)) = (λ(f+g))(~x).
Doncf+g∈ L(E, F). La démonstration du fait queµfest un élément deL(E, F) siµ∈Kest très proche et laissée au lecteur.
Remarque VII.3.3. On montre aisément que l’addition et la multiplication par un scalaire ainsi définies surL(E, F)lui confèrent une structure deK-espace vectoriel, au sens de la définition générale V.1.4. Cette propriété ne sera pas utilisée dans ce cours.
Exemple VII.3.4. Soitf, g∈ L(R2,R3)définis par f (x1, x2)
= (2x1−x2, x1+x2,0), g (x1, x2)
= (x2−2x1,0, x2).
Alors :
(2f) (x1, x2)
= (4x1−2x2,2x1+ 2x2,0) et
(f+g) (x1, x2)
= (0, x1+x2, x2).
VII.3.b. Composition
On rappelle que si E, F et Gsont des ensembles, f est une application deE dansF etgest une application deF dansG, lacomposéedef etg, notég◦f, est définie par
∀x∈E, g◦f(x) =g(f(x)).
C’est une application deEdansG: E
g◦f
88f //F g //G
Proposition VII.3.5. Soient E, F, G des espaces vectoriels sur K. Soit f ∈ L(E, F)etg∈ L(F, G). Alorsg◦f∈ L(E, G).
Démonstration. Si~x, ~y∈E, etλ∈K,
g◦f(~x+~y) =g(f(~x+~y)) =g(f(~x)+f(~y)) =g(f(~x))+g(f(~y)) = (g◦f)(~x)+(g◦f)(~y).
et
g◦f(λ~x) =g(f(λ~x)) =g(λf(~x)) =λ(g◦f(~x)).
Exercice VII.3.6. Soitf ∈ L(R2,R),g∈ L(R,R3)donnés par f(x1, x2) =x1+x2
etg(x) = (x,−2x,3x). Calculerg◦f.
ExerciceVII.3.7. On noteRθla rotation deR2 d’angleθ∈Ret de centre~0R2. Soit θ, σ∈R. DéterminerRθ◦Rσ.
Quelle est la composée de la symétrie orthogonale deR2d’axeOxet de la symétrie orthogonale deR2d’axeOy?
VII.3.c. Effet des opérations sur les matrices
Les opérations sur les applications linéaires se traduisent facilement en terme de matrices de représentations :
Proposition VII.3.8. i. SoitE,F des espaces vectoriels de dimensions finies, B une base deE etC une baseF. Soitf1, f2∈ L(E, F), λ, µ∈K. Alors :
MatB,C(λf1+µf2) =λMatB,C(f1) +µMatB,C(f2).
ii. SoitE,F,Gdes espaces vectoriels de dimension finie,B,C,D des bases de respectivementE,F etG. Soitf∈ L(E, F),g∈ L(F, G). Alors :
MatB,D(g◦f) = MatC,D(g) MatB,C(f).
Le point (ii) signifie que la composition des applications se traduit par le produit matriciel de leurs matrices de représentations. Remarquons que le produit matriciel de la dernière ligne de la proposition est bien défini : si n = dimE,p = dimF etq = dimG, le premier facteur du membre de droite est une matrice q×p, le deuxième une matricep×n. Le produit obtenu est bien une matriceq×n.
Avertissement VII.3.9. Attention à l’ordre des bases B, C etD dans le terme de droite de la formule du point (ii).
Démonstration. Nous ne démontrerons que le point (ii). La preuve (plus facile) du point (i) est laissée au lecteur.
On noten,p etq les dimensions respectives des espaces vectoriels E,F etG.
SoitX∈ Mn,1(K). Soit~xle vecteur de E de coordonnéesX dans la baseB. Soit Y ∈ Mp,1(K) le vecteur colonne des coordonnées def(~x) ∈F dans la base C, et Z ∈ Mq,1(K) le vecteur colonne des coordonnées deg◦f(~x) =g(f(~x))∈Gdans la baseD. Par la proposition VII.2.5, appliquée successivement àf,getg◦f
Y = MatB,C(f)X, Z = MatC,D(g)Y = MatC,D(g) MatB,C(f)X et
Z= MatB,D(g◦f)X.
On en déduit
(VII.9) ∀X∈ Mn,1(K), MatC,D(g) MatB,C(f)X = MatB,D(g◦f)X, ce qui montre l’égalité
MatC,D(g) MatB,C(f) = MatB,D(g◦f).
En effet, pour passer de (VII.9) à cette dernière ligne, il suffit d’appliquer (VII.9) aux matrices colonnesX=E1, . . . ,X =En, oùEjest le vecteur colonne[δij]i=1,...,n, c’est à dire le vecteur colonne dont tous les coefficients sont nuls, sauf lej-ième qui vaut1.
Remarque VII.3.10. Le (ii) justifie a posteriori la définition du produit matriciel.
Exercice VII.3.11. SoitE=R2,F =R3,G=R2. On se donne deux basesBetD deR2et une baseC deR3.On suppose
MatB,C(f) =A=
−1 1
2 0
3 2
, MatC,D(g) =B=
1 −1 0
0 2 1
.
a. CalculerMatB,D(g◦f).
b. La matriceAB est-elle la matrice de représentation d’une certaine application linéaire dans des bases que l’on précisera ?
(cf correction p. 70)
Exercice VII.3.12. Soit, pourθ∈R, Mθ=
cosθ sinθ
−sinθ cosθ
.
Exprimer, pourθ, σ∈R, la matriceMθMσ en fonction d’une certaine matriceMρ
(ρà déterminer). Comparer avec l’exercice VII.3.7.
VII.4. Applications linéaires et sous-espaces vectoriels
VII.4.a. Rappels
Commençons par rappeler quelques définitions :
Définition VII.4.1. Soit f une application de E dansF, où E et F sont des ensembles.
i. SiA⊂E, l’image deAparf, notéef(A), est le sous-ensemble deF : f(A) =n
f(a), a∈Ao
=n
b∈F t.q.∃a∈E, b=f(a)o .
ii. SiB⊂F, l’image réciproque4deBparf, notéef−1(B)est le sous-ensemble deE :
f−1(B) ={a∈E t.q.f(a)∈B}.
iii. On dit quef est injective lorsque chaque élément de l’ensemble d’arrivée a au plus un antécédent dans l’ensemble de départ, i.e :
∀x, y∈E, f(x) =f(y) =⇒x=y, ou de manière équivalente :
∀x, y∈E, x6=y=⇒f(x)6=f(y)
(deux éléments distincts de l’ensemble de départ ont des images distinctes).
4. Le lecteur pressé pourra faire l’impasse en première lecture sur cette notion d’image ré- ciproque, qui sera surtout utilisée dans la suite pour définir le noyau d’une application linéaire (cf la remarque VII.4.7 plus bas qui donne une définition du noyau sans utiliser cette notion explicitement).
iv. On dit quef estsurjective lorsque chaque élément de l’ensemble d’arrivée a au moins un antécédent dans l’ensemble de départ, i.e. lorsquef(E) =F.
v. On dit quef estbijective lorsqu’elle est injective et surjective. C’est à dire :
∀z∈F, ∃!x∈E, t.q.z=f(x).
On appelleinjection,surjection,bijectionune application injective (respectivement surjective, bijective).
RemarqueVII.4.2. Il découle immédiatement de la définition d’une bijection qu’une applicationf :E →F est bijective si et seulement si elle admet uneapplication réciproque, i.e. une applicationg:F →Etelle quef◦g= IdF etg◦f= IdE. Cette application est notéef−1.
Avertissement VII.4.3. La notationf−1 désigne ł’inverse d’une application inver- sible, mais est aussi utilisée pour désigner l’image réciproquef−1(F)d’un ensemble F,même lorsquef n’est pas inversible. Remarquons que lorsquef n’est pas inver- sible, on n’a pas toujoursf(f−1(B)) =Bouf−1(f(A)) =A(cf l’exercice VII.4.5).
Avertissement VII.4.4. L’injectivité d’une application dépend du choix de l’en- semble de départ. Sa surjectivité et sa bijectivité des choix de l’ensemble de départ et de l’ensemble d’arrivée (cf de nouveau l’exercice VII.4.5).
Exercice VII.4.5. Soit f :R →Rla fonction x 7→x2. Calculer , f−1(]− ∞,0[), f−1(R), f−1([0,+∞[),f(R),f([0,+∞[), puisf f−1(R)
etf−1(f([0,+∞[)). La fonction f est-elle surjective (respectivement injective, bijective) lorsqu’elle est considérée :
i. comme une application deRdansR? ii. comme une application deRdans[0,+∞[? iii. comme une application de[0,+∞[dansR? iv. comme une application de[0,+∞[dans[0,+∞[? (Réponse p. 70).
VII.4.b. Image et noyau d’une application linéaire
Définition VII.4.6. Soitf∈ L(E, F). L’imagef(E)deEparfest appeléeimage defet notéeIm(f). L’image réciproquef−1({~0F})de{~0F}parfest appeléenoyau def et notée5 Ker(f).
Remarque VII.4.7. En d’autres termes, l’image def est l’ensemble : Im(f) ={~y∈F t.q.∃~x∈E, ~y=f(~x)}, et le noyau def est l’ensemble :
Ker(f) =n
~
x∈E t.q.f(~x) =~0F
o .
5. de l’allemandKernsignifiant noyau. La traduction anglaise de noyau (au sens mathéma- tique) estkernel.
VII.4. Applications linéaires et sous-espaces vectoriels Théorème VII.4.8. Soitf∈ L(E, F).
i. L’image d’un sous-espace vectoriel deE parf est un sous-espace vectoriel de F.
ii. L’image réciproque d’un sous-espace vectoriel de F par f est un sous-espace vectoriel deE.
En particulier, le noyau et l’image def sont des sous-espaces vectoriels (deE etF respectivement).
Démonstration. Soit Gun sous-espace vectoriel de E. Alors~0E ∈G, donc~0F = f(~0E)∈f(G).
Soit maintenant~u, ~v∈f(G). Par définition def(G), il existe des vecteurs~xet~y deGtels que~u=f(~x)et~v=f(~y). On a
~
u+~v=f(~x) +f(~y) =f(~x+~y).
Puisque Gest un sous-espace vectoriel de E,~x+~y∈ Get on déduit de l’égalité précédente~u+~v∈f(G).
Si de plusλ∈K, on aλ~x∈Get donc
λ~u=λf(~x) =f(λ~x)∈f(G),
ce qui achève de montrer quef(G)est bien un sous-espace vectoriel deF. Montrons maintenant le deuxième point. Soit H un sous-espace vectoriel deF. Alorsf(~0E) =~0F ∈H, et donc~0E∈f−1(H). De plus, si~u, ~v∈f−1(H). Alors
f(~u+~v) =f(~u) +f(~v),
et puisquef(~u)etf(~v)sont dansH etH est un sous-espace vectoriel deF,f(~u) + f(~v)∈H, ce qui montre que~u+~v∈f−1(H).
Enfin, siλ∈Ket~u∈f−1(H), alorsf(λ~u) =λf(~u)est un élément deHpuisque f(~u)est un élément de H. Doncλ~u∈ f−1(H). On a bien démontré que f−1(H) est un sous-espace vectoriel deE.
Exemple VII.4.9. SoitAle sous-ensemble deR3 : A=n
(x, y, z)∈R3, t.q.x+y+z= 0etx−2y= 0o .
AlorsAest le noyau de l’application linéairef∈ L(R3,R2)définie par f (x, y, z)
= (x+y+z, x−2y).
C’est donc un sous-espace vectoriel de R3. Plus généralement, l’ensemble des so- lutions d’un système linéaire homogène à péquations etninconnues est le noyau d’une application linéaire deRndansRp: on retrouve ainsi que c’est un sous-espace vectoriel deRn.
Exemple VII.4.10. SoitB le sous-ensemble deR3 : B=n
(x1+x2, x1−x2,2x1+x2), (x1, x2)∈R2 o
.
AlorsB est l’image de l’application linéaireg∈ L(R2,R3)définie par g(x1, x2) = (x1+x2, x1−x2,2x1+x2).
DoncBest un sous-espace vectoriel deR3. Remarquons que B= vect
(1,1,2),(1,−1,1)
.
ExerciceVII.4.11. SoitAle sous-ensemble deR3des triplets(x1+x2, x3−x4, x1− x3)tels que(x1, x2, x3, x4)∈R4 et2x1−x2+x3−x4 = 0. Montrer queAest un sous-espace vectoriel deR3.
(cf solution p. 71).
VII.4.c. Injectivité et surjectivité des applications linéaires
Théorème VII.4.12. SoitE, F deux espaces vectoriels etf∈ L(E, F). Alors : i. f est surjective si et seulement siIm(f) =F.
ii. f est injective si et seulement siKer(f) ={~0E}.
Démonstration. Le point (i) découle immédiatement de la définition de la surjecti- vité et de celle de l’image d’une application linéaire.
Démontrons (ii).
Supposonsfinjective. On sait que~0Eest un élément deKer(f). Soit~x∈Ker(f).
Alorsf(~x) =~0F =f(~0E), et donc par injectivité~x=~0E. D’oùKer(f) ={~0E}.
Réciproquement, on supposeKer(f) ={~0E}. Soit~xet~ydeux éléments deEtels quef(~x) =f(~y). Alors
f(~x−~y) =f(~x)−f(~y) =~0F,
donc~x−~y ∈Ker(f), et, puisqueKer(f) ={~0E},~x−~y=~0E. On a bien montré quefétait injective.
Exemple VII.4.13. On supposeK=C. Soitf∈ L(C3,C3)définie par f (x1, x2, x3)
= (x1−x2+x3, x2−2x3,4x3).
Alorsfest injective. En effet, si(x1, x2, x3)∈Ker(f), on ax1−x2+x3=x2−x3= 4x3= 0, dont on déduit facilementx1 =x2=x3 = 0.
On peut également caractériser l’injectivité ou la surjectivité d’une application par des propriétés de l’image d’une base de l’espace de départ.
Proposition VII.4.14. SoitE etF des espaces vectoriels. On suppose E de di- mensionn. SoitB= (~e1, . . . , ~en) une base deE, etf∈ L(E, F). Alors :
i. La famille(f(~e1), . . . , f(~en))engendre Im(f). En particulier, l’application f est surjective si et seulement si(f(~e1), . . . , f(~en))est une famille génératrice deF.
ii. L’application f est injective si et seulement si(f(~e1), . . . , f(~en))est une fa- mille libre.
Démonstration. Montrons seulement le point (i). Nous n’utiliserons le point (ii) que dans l’exercice VII.5.18, et laissons au lecteur le soin de le démontrer.
Les vecteurs f(~e1), f(~e2), . . . , f(~en) sont bien dans Im(f). De plus, un vecteur
~
y∈Im(f)s’écritf(~x)avec~x∈E. Soit(x1, . . . , xn)les coordonnées de~xdans la baseB. On a
~x=x1~e1+. . .+xn~en, ~y=f(~x) =x1f(~e1) +. . .+xnf(~en), ce qui montre bien
Im(f) = vect(f(~e1), f(~e2), . . . , f(~en)).
On en déduit immédiatement :
f surjective ⇐⇒ Im(f) =F ⇐⇒ vect(f(~e1), . . . , f(~en)) =F,
VII.4.d. Rang d’une application linéaire
On rappelle que lerang d’une familleF de vecteurs d’un espace vectorielE est la dimension du sous-espace vectorielvectF engendré parF.
Définition VII.4.15. Soit f ∈ L(E, F) une application linéaire. Le rang de f, notérg(f), est la dimension de l’image def. SiA∈ Mp,n, le rang deAest le rang de l’application linéaire f∈ L(Rn,Rp)de matriceA dans les bases canoniques de RnetRp.
Remarque VII.4.16. D’après le point (i) de la proposition VII.4.14, si(~e1, . . . , ~en) est une base deE, le rang def∈ L(E, F)est égal au rang de la famille de vecteurs
(f(~e1), f(~e2), . . . , f(~en)).
Il est donc inférieur à la dimension n de E. De même, le rang d’une matrice A est égal au rang de la famille de ses vecteurs colonnes (mis en ligne et considérés comme des vecteurs deRp).
Exemple VII.4.17. Soitf:R3→R3 défini par f (x1, x2, x3)
= (x1+ 2x2+x3,2(x1+ 2x2+x3),−(x1+ 2x2+x3) . Alorsf(1,0,0) = (1,2,−1),f(0,1,0) = (2,4,−2)etf(0,0,1) = (1,2,−1). Donc
rg(f) = rg (1,2,−1),(2,4,−2),(1,2,−1)
= 1.
Le rang d’une application linéaire et la dimension de son noyau sont liés par le résultat suivant :
Théorème VII.4.18(Théorème du rang). Soitf∈ L(E, F), oùE etF sont des espaces vectoriels. Alors
rg(f) + dim Ker(f) = dimE.
Démonstration. Soitk la dimension deKer(f), et`la dimension deImf. On doit montrer
dimE=k+`.
Soit(~u1, ~u2, . . . , ~uk)une base deKer(f),(~v1, ~v2, . . . , ~v`)une base deImf. Il existe donc, pour j = 1. . . `, un vecteur w~j ∈ E tel que f(w~j) = ~vj. Montrons que B= (~u1, . . . , ~uk, ~w1, . . . , ~w`)est une base deE (ce qui impliquera immédiatement le résultat annoncé).
Montrons d’abord que B engendre E. Soit ~x ∈ E. Puisque f(~x) ∈ Imf et
~v1, . . . , ~v`est une baseImf, il existe(y1, y2, . . . , y`)∈K`tels que f(~x) =y1~v1+. . .+y`~v`.
On en déduit
f(~x) =y1f(w~1) +. . .+y`f(w~`) =f(y1w~1+. . .+y`w~`), et donc
~
x−y1w~1−. . .−y`w~`∈Ker(f).
Il existe donc(x1, . . . , xk)∈Kktels que
~
x−y1w~1−. . .−y`w~`=x1~u1+. . .+xk~uk, soit
~
x=y1w~1+. . .+y`w~`+x1~u1+. . .+xk~uk. La familleBengendre bienE.
Montrons maintenant queBest libre. On suppose que l’on a (VII.10) x1~u1+. . .+xk~uk+y1w~1+. . .+y`w~`=~0E
VII.4. Applications linéaires et sous-espaces vectoriels avec (x1, . . . , xk, y1, . . . , y`) ∈ Kk+`. En appliquant f à la ligne précédente et en
utilisant quef(~uj) =~0F pourj= 1. . . ketf(w~j) =~vj pourj= 1. . . `, on obtient y1~v1+y2~v2+. . .+y`~v`=f(~0E) =~0F.
On en déduit, puisque la famille(~v1, ~v2, . . . , ~v`)est libre : y1=y2=. . .=y`= 0.
En revenant à (VII.10), et en utilisant que la famille (~u1, ~u2, . . . , ~uk) est libre, on obtient
x1=x2=. . .=xk= 0,
ce qui montre queB est libre et termine la preuve du théorème du rang.
Exemple VII.4.19. Soitf:R4→R5définie par f (x1, x2, x3, x4)
= (x1+x2, x1−x2,2x1+x2, x3+x4, x3−x4).
On veut déterminer le rang def.
On calcule pour cela la dimension du noyau def.
(x1, x2, x3, x4)∈Ker(f) ⇐⇒ x1+x2=x1−x2= 2x1+x2=x3+x4=x3−x4 = 0.
On résout facilement ce système linéaire homogène de5équations : (x1, x2, x3, x4)∈Ker(f) ⇐⇒ x1=x2=x3=x4= 0.
DoncKer(f) ={(0,0,0,0)}. Le noyau def est de dimension0. Par le théorème du rang,
rg(f) = dimR4−dim Ker(f) = 4−0 = 4.
Remarque VII.4.20. On peut souvent utiliser le théorème du rang et des arguments de dimension pour étudier l’injectivité, la surjectivité et la bijectivité d’une appli- cation linéaire. Reprenons l’application injectivef de l’exemple VII.4.13 p. 63. Le théorème du rang s’écrit :
rg(f) + dim Ker(f)
| {z }
0
= dimC3
| {z }
3
,
et doncrg(f) = 3. On en déduit queIm(f)est un sous-espace vectoriel de dimension 3deC3, c’est donc exactementC3. Doncfest surjective, et par conséquent bijective.
On voit ici, comme dans l’exemple VII.4.19, que la dimension donne une information gratuite et facilement exploitable.
VII.4.e. Retour sur les systèmes linéaires
L’image et le noyau d’une application linéaire s’interprètent en terme de sys- tèmes linéaires. On considère un système linéaire non-homogène àpéquations etn inconnues :
(S) ∀i∈ {1, . . . , p},
n
X
j=1
aijxj=bi
et le système linéaire homogène correspondant : (H) ∀i∈ {1, . . . , p},
n
X
j=1
aijxj= 0.
On fixe les coefficients aij. Soit f l’application linéaire Kn → Kp de matrice [aij]1≤i≤p
1≤j≤n
dans les bases canoniques de Kn etKp. Alors l’ensemble F des solu- tions de(H) est le noyauKerf def. NotonsGle sous-ensemble deKpformé des (b1, . . . , bp)tel que(S)a au moins une solution. Dire que(b1, . . . , bp)est un élément deGsignifie exactement qu’il existe (x1, . . . , xn) ∈Rn tel quef (x1, . . . , xn)
= (b1, . . . , bp). En d’autres termes,Gest l’image def : c’est en particulier un espace vectoriel.
Si(b1, . . . , bp)∈G, le système(S)est compatible. Fixons en une solution~y. Alors l’ensembleS des solutions de (S) s’écrit :
(VII.11) S={~y+~x, ~x∈F},
En effet, on voit facilement que~xest solution de (S) si et seulement si ~x−~yest solution de (H), ce qui donne exactement (VII.11).
Le théorème du rang nous donne la relation suivante : dimF+ dimG=n.
Notonsqla dimension deF. L’identité (VII.11) signifie que si (S) est compatible, on peut décrire l’ensemble des solutions avec exactementq paramètres. Ce nombreq est par définition indépendant du second membre(b1, . . . , bp)(seule la compatibilité du système dépend de ce second membre). Rappelons (cf chapitre I), queq=n−p0, oùp0est le nombre de lignes non nulles6 que l’on obtient lorsque l’on échelonne le système (S) par la méthode du pivot de Gauss. Le théorème du rang implique que p0est exactement la dimension deG, l’image def.
Exemple VII.4.21. Considérons la famille de systèmes, d’inconnues(x1, x2)∈R2 :
(S)
x1−x2=b1
x1+x2=b2
2x1+x2=b3.
6. C’est à dire autres que0 = 0.
Icin= 2,p= 3. Il est facile de voir que le système homogène n’a que la solution nulle (0,0). DoncF ={~0}est de dimension0. L’espace vectorielGformé des(b1, b2, b3) tels que (S) est compatible est de dimension 2−0 = 2. Lorsque (b1, b2, b3) ∈G, le système (S) a une unique solution. Il est facile de déterminerGen échelonnant le système (S). Par les opérations (L2)←(L2)−(L1),(L3)←(L3)−2(L1), puis (L3)←(L3)−32(L2), on obtient le système équivalent
(S’)
x1−x2=b1
2x2=b2−b1
0 =b3−3 2b2−1
2b1.
On en déduit que q = 0, p0 = 2 et que (S) est compatible si et seulement si 2b3−3b2−b1= 0, ce qui donne la représentation cartésienne deG:
G=n
(b1, b2, b3)∈R3 t.q.2b3−3b2−b1= 0o .
VII.5. Isomorphismes
VII.5.a. Définition
SoitEetF deuxK-espaces vectoriels
Définition VII.5.1. On appelleisomorphisme entre E et F une application li- néaire bijective deEdansF. Lorsqu’il existe un isomorphisme deEdansF, on dit queEetF sont isomorphes. On appelleautomorphismedeE un isomorphisme de E dans lui-même. Un automorphisme est donc un endomorphisme bijectif.
Exemple VII.5.2. L’application linéairefde l’exemple VII.4.13 est, par la remarque VII.4.20 un isomorphisme deC3 dansC3, donc un automorphisme deC3.
ExempleVII.5.3. L’identité deEest un automorphisme deE(doncEest isomorphe à lui même).
Le fait que deux espaces vectoriels sont isomorphes signifie qu’ils ont exactement la même structure d’espace vectoriel : ce sont en quelques sortes deux copies du même espace vectoriel.
VII.5.b. Application réciproque d’un isomorphisme
Proposition VII.5.4. Soit E et F des espaces vectoriels etf un isomorphisme de EdansF. Alorsf−1 est une application linéaire (donc un isomorphisme) deF dansE.
Remarque VII.5.5. Il découle de la proposition VII.5.4 que la relation “E est iso- morphe àF” est symétrique i.e. :
E isomorphe àF ⇐⇒ F isomorphe àE.
Exercice VII.5.6. Vérifier que c’est aussi une relation transitive, i.e. :
Eisomorphe àF etF isomorphe àG
=⇒E isomorphe àG.
Démonstration de la proposition. L’application réciproque d’une application bijec- tive est également bijective. Sif−1 est une application linéaire, ce sera donc aussi un isomorphisme. Montrons quef−1est linéaire.
Soit~x, ~y∈F. Alors (par définition de l’application réciproque) : f(f−1(~x+~y)) =~x+~y.
De plus
f f−1(~x) +f−1(~y)
=f f−1(~x)
+f f−1(~y)
=~x+~y.
En combinant ces deux lignes, on obtient :
f(f−1(~x+~y)) =f f−1(~x) +f−1(~y) , et donc, par injectivité def,
f−1(~x+~y) =f−1(~x) +f−1(~y).
On démontre de même que siλ∈K,f−1(λ~x) =λf−1(~x).
Exemple VII.5.7. Soitfl’automorphisme deR2 défini par f (x1, x2)
= (x1+x2, x1−x2).
Calculons l’application réciproque def. Si(y1, y2) ∈R2,(x1, x2) =f−1 (y1, y2) est l’unique solution du système
y1=x1+x2, y2=x1−x2. On résout ce système :
x1=y1+y2
2 , x2=y1−y2
2 . On a donc
f−1 (y1, y1)
=y1+y2
2 ,y1−y2
2
.
Plus généralement, calculer la réciproque d’un isomorphisme f dans un sys- tème de coordonnées revient à résoudre le système de Cramer inhomogène f (x1, . . . , xn)
= (y1, . . . , yn), d’inconnues (x1, . . . , xn), de second membre (y1, . . . , yn). Cela revient aussi à calculer l’inverse de la matrice de f dans une base donnée (cf plus bas le point de vue matriciel).
On rappelle qu’une application est bijective si et seulement si elle admet une application réciproque. On peut ainsi montrer qu’une certaine application linéaire est un isomorphisme en donnant son application réciproque :
Exemple VII.5.8. Soitθ∈R. La rotation deR2 de centre(0,0)et d’angleθ : Rθ : (x, y)7→(xcosθ−ysinθ, xsinθ+ycosθ)
est un automorphisme de R2 : elle admet pour application réciproque la rotation R−θ.
VII.5. Isomorphismes
VII.5.c. Condition sur les dimensions
Proposition VII.5.9. Soitf∈ L(E, F), oùEetF sont de dimension finie.
i. Si f est injective,dimE≤dimF. ii. Sif est surjective,dimE≥dimF. iii. Sif est un isomorphisme,dimE= dimF.
Démonstration. Le point (iii) découle immédiatement des points (i) et (ii).
Sifest injective, le noyau defest de dimension0et le théorème du rang s’écrit dimE= rg(f) = dim Im(f). PuisqueIm(f)est un sous-espace vectoriel deF, on a dim Im(f)≤dimF, et le point (i) en découle.
Supposons maintenantfsurjective. Alorsdim Im(f) = dimF, et le théorème du rang s’écrit :dimE= dimF+ dim Ker(f)≥dimF, ce qui donne le point (ii).
Remarque VII.5.10. SidimF >dimE, il n’existe donc aucune application linéaire surjective deEdansF. De même, sidimF <dimE, il n’existe aucune application linéaire injective deEdansF.
Exemple VII.5.11. L’application linéairefdeR4 dansR5 définie par f (x1, x2, x3, x4)
= (x1+x2−√
2x3, x1−x2+x3−x4, x2+3x4, πx1+eπx2+x3, x1−√ 7x4) n’est pas surjective. En effet, il n’existe aucune application linéaire surjective deR4 dansR5.
La proposition suivante est une application immédiate du théorème du rang et sa démonstration est laissée au lecteur.
Proposition VII.5.12. SoitE et F de dimensions finies, et f ∈ L(E, F). Les conditions suivantes sont équivalentes :
i. f est un isomorphisme.
ii. f est injective etdimE= dimF. iii. f est surjective etdimE= dimF.
Exemple VII.5.13. SoitF le sous-espace vectoriel deR4
F ={(y1, y2, y3, y4)∈R4, y1−y2+y3−y4= 0}.
Considérons l’application linéaire f:R3→F
(x1, x2, x3)7→(x1+x2, x1−x2, x3−x2, x3+x2).
L’application est bien définie : on vérifie facilement que(x1+x2, x1−x2, x3−x2, x3+ x2)est toujours un élément deF. Montrons quef est bijective :
— L’espace vectoriel F est de dimension 3 (c’est le noyau d’une application linéaire de rang1). DoncdimF = dimR3.
— On vérifie facilement quekerf={~0}, donc quef est injective.
— Par les deux points précédents et la proposition VII.5.12,f est un isomor- phisme deR3 dansF.
Remarque VII.5.14. Soitf :E →F,g :F →G, oùE,F etG sont des espaces vectoriels. On suppose quegest un isomorphisme. Alors le rang deg◦fest égal au rang def. En effet, la restriction deg à l’image def est une application linéaire bijective de l’image de f dans l’image de g◦f. Ces deux images ont donc même dimension. On montre de même que sif est un isomorphisme, les images de get g◦f sont confondues, et les rangs degetg◦f sont égaux.
VII.5.d. Matrices inversibles et isomorphismes
Proposition VII.5.15. SoitE etF deux espaces de dimension finie,B etC des bases respectives deE etF, etf ∈ L(E, F). Soit A= MatB,C(f). Les conditions suivantes sont équivalentes :
i. l’applicationf est un isomorphisme deE dansF; ii. dimE= dimF et la matriceA est inversible.
Sous ces conditions, on a alors :
MatC,B(f−1) =A−1.
Démonstration. Supposons quef est un isomorphisme. Par la proposition VII.5.9, dimE= dimF. Notonsnleur dimension commune.
Par la formule donnant la matrice de la composée de deux applications linéaires (point (ii) de la proposition VII.3.8),
MatB,C(f) MatC,B(f−1) = MatC,C(f◦f−1) = MatC,C(IdF) =In, ce qui montre queMatB,C(f)est inversible, d’inverseMatB,C(f)−1.
Réciproquement, on suppose quedimE= dimFet queMatB,C(f)est inversible.
Soitgl’application linéaire deFdansEtelle queMatC,B(g) = MatB,C(f)−1. Cette application linéaire existe par le Corollaire VII.1.7. Alors
MatC,C(f◦g) = MatB,C(f) MatC,B(g) =In, MatB,B(g◦f) = MatC,B(g) MatB,C(f) =In,
oùn = dimE = dimF, ce qui montre que f◦g est l’identité de F et g◦f est l’identité deE :f est donc bijective, d’application réciproqueg.
VII.5.e. Isomorphisme entre espaces de mêmes dimensions
Le théorème suivant est un résultat simple, mais important sur les isomorphismes entre espaces vectoriels de dimension finie :
Théorème VII.5.16. SoitEetF deux espaces vectoriels de dimension finie. Alors E etF sont isomorphes si et seulement sidimE= dimF.
Démonstration. SiEetF sont isomorphes,dimE= dimF par le point (iii) de la proposition VII.5.9.
Réciproquement, supposons dimE = dimF, et notons n leur dimension com- mune. Soit (~u1, . . . , ~un)une base de E, (~v1, . . . , ~vn) une base deF, etf l’unique application linéaire deEdansF telle que
f(~uj) =~vj, j= 1. . . n
(on rappelle que l’on peut définir une application linéaire sur un espace vectoriel de dimension finie en donnant l’image d’une base, cf le corollaire VII.1.7). Vérifions que f est injective. Soit~xun élément deKer(f),x1, . . . , xn ses coordonnées dans la base~u1, . . . , ~un. Alors
f(~x) =~0F i.e.f(x1~u1+x2~u2+. . .+xn~un) =~0F.
En développant le terme de gauche de la dernière égalité par linéarité, et en utilisant quef(~uj) =~vjpourj= 1. . . n, on obtient
x1~v1+. . .+xn~vn=~0F, et comme la famille~v1, . . . , ~vnest libre,
x1=x2=. . .=xn= 0.
On en déduit~x=~0E. On a montréKer(f) ={~0E}, c’est à dire quef est injective.
Par le théorème du rang, dim Im(f) = dimE−dim Ker(f) = dim(E) donc f est surjective. Finalementfest bijective.
Exemple VII.5.17. Les espaces vectoriels R3 etF de l’exemple VII.5.13 sont iso- morphes car tous les deux de dimension 3. L’application linéaire f de l’exemple VII.5.13 donne un isomorphisme explicite.
ExerciceVII.5.18. Montrer de la même manière quedimE≤dimFsi et seulement si il existe une injection de E dansF, ou encore si et seulement si il existe une surjection deF dansE.
(cf correction p. 71).
Remarque VII.5.19. Soitf :E→F une application linéaire,B une base deE et C une base deF. Alors le rang de la matriceA= MatB,C(f) est égal au rang de f, et ne dépend pas du choix des basesB etC. En effet, soitnla dimension deE, pla dimension de F, et gl’application deRn dansRp qui a pour matriceAdans les bases canoniques de Rn etRp. Par définition, le rang deAest égal au rang de g. De plus, siφest l’isomorphisme deE dansRnqui envoie les vecteurs deBdans
ceux de la base canonique deRn, etψest l’isomorphisme deF dansRpqui envoie les vecteurs deC dans ceux de la base canonique deRp, on a :
f=ψ−1◦g◦φ,
ce qui montre l’assertion proposée, puisque la composition par un isomorphisme ne change pas le rang (cf Remarque VII.5.14).
VII.6. Complément : formule de changement de bases
On donne ici une formule générale permettant de changer les bases de la matrice de représentation d’une application linéaire. Pour déduireMatB,eCe(f)deMatB,C(f) dans l’exemple de §VII.2.d, on a eu besoin :
— des coordonnées des vecteurs de la baseBedans la baseB;
— des coordonnées des vecteurs de la baseCdans la baseC.e
Ces informations sont données par lesmatrices de passaged’une base à une autre, que nous allons définir maintenant. La formule de changement de base proprement dite, qui utilise ces matrices de passage, sera vue en §VII.6.b. La définition d’une matrice de passage et la formule de changement de base ne sont pas au programme du tronc commun de L1 à l’Institut Galilée, mais il est conseillé aux étudiants vou- lant poursuivre leurs études en mathématiques d’en connaître au moins l’existence.
Elle sera par ailleurs utilisée une fois dans ce cours, au chapitre VIII, pour définir le déterminant d’un endomorphisme.
VII.6.a. Matrices de passage
Définition VII.6.1. Soit E un espace vectoriel de dimension finie n, B = (~u1, ~u2, . . . , ~un) etBe= (~u˜1, ~u˜2, . . . , ~u˜n) deux bases de E. La matrice de passage deBàB, notéee MatB→Be, est la matricen×ndont les vecteurs colonnes sont les coordonnées des vecteurs de la baseBedans la baseB. En d’autres termes, si l’on noteMatB→
Be= [pij]1≤i≤n 1≤j≤n
, on a
∀j∈ {1, . . . , n}, ~u˜j=
n
X
i=1
pij~ui.
ExempleVII.6.2. SoitBla base canonique deKnetC= (~u1, . . . , ~un)une autre base deKn. La matrice de passage deBàC est la matricen×ndont lej-ième vecteur colonne est constitué des coordonnées de ~uj. Supposons n = 3et considérons la famille
C= (1,1,0),(−2,3,0),(4,5,6) .
On vérifie facilement queC est une base deR3. On obtient sans calcul la matrice de passage deBàC :
MatB→C=
1 −2 4
1 3 5
0 0 6
.
VII.6. Complément : formule de changement de bases Exemple VII.6.3. On reprend les notations de l’exemple de l’exemple de VII.2.d
p.59. Alors, d’après la première étape de cet exemple : MatB→
Be= 1 12
0 12
.
D’après la deuxième étape :
MatC→Ce =
2 0 −1
−1 1 0
0 0 1
.
Proposition VII.6.4. Sous les hypothèses de la définition précédente, on note P= MatB→Be.
Soit~x∈E,X=
"x1
..
x.n
#
ses coordonnées dansBetXe=
"
xe1
.. .
exn
#
ses coordonnées dans B. Alorse
X=PX.e
Démonstration. On a, par définition de la matrice de passage deBàB,e
~˜ x=
n
X
j=1
xej~u˜j=
n
X
j=1
xej n
X
i=1
pij~ui=
n
X
i=1 n
X
j=1
pijexj
!
~ ui,
et donc
xi=
n
X
j=1
pijxej,
ce qui montre la formule annoncée.
AvertissementVII.6.5. L’appellation “matrice de passage deBàB” peut être sourcee de confusion : la matrice de passage deB à Bepermet de passer des coordonnées d’un vecteur dans Beà celles de ce même vecteur dansB (et non l’inverse, comme on pourrait s’y attendre).
Le lecteur pourra vérifier que la matrice de passage deBàBeest en fait la matrice de représentation, dans la base B, de l’application linéaire qui envoie les vecteurs deBdans ceux deB, ce qui explique son nom :e
MatB→
Be= MatB,B(f), f∈ L(E, E), ∀i= 1. . . n, f(~ui) =~u˜i. Corollaire VII.6.6. Toute matrice de passage est inversible. De plus :
MatB→Be= MatB→Be −1
.
Démonstration. SoitP la matrice de passage deB àBeetQla matrice de passage deBeàB. Alors, si~x∈Ea pour coordonnéesX dans la baseBetXedans la base B, on a, par la proposition VII.6.4 :e
QX=Xe etX=PX.e D’où
∀X∈Kn, X=P QX.
On en déduit facilement (par exemple en utilisant cette égalité avec X = Ek, k= 1, . . . , n, où comme auparavantEk= [δik]1≤i≤n) :
P Q=In.
Exemple VII.6.7. On revient à l’exemple de VII.2.d. Alors, MatB→Be =
1 12 0 12
−1
= 1 −1
0 2
.
En d’autres termes,
~
u1=~u˜1 et~u2=−~u˜1+ 2~u˜2,
ce que l’on peut vérifier par un calcul direct à l’aide des expressions de~u1,~u2,~u˜1
et~u˜2.
De même, en calculant l’inverse de la matriceMat
C→Ce , on obtient MatC→
Ce=
1 2 0 12
1 2 1 12 0 0 1
.
VII.6.b. Formule de changement de bases
Théorème VII.6.8. Soitf∈ L(E, F),BetBedes bases deE,CetCedes bases de F. Alors
MatB,eCe(f) = Mat
C→Ce MatB,C(f) MatB→
Be
= MatC→
Ce
−1
MatB,C(f) MatB→
Be
Démonstration. Ceci découle de la formule de changement de coordonnées de la proposition VII.6.4.
Soit~x ∈ E, X le vecteur colonne de ses coordonnées dans B et Xe le vecteur colonne de ses coordonnées dansB. Alors, par les propositions VII.2.5 (p. 60) ete VII.6.4, les coordonnées def(~x)dansCsont :
Y = MatB,C(f)X= MatB,C(f) MatB→
BeXe
