Td corrigé Exo1 Etude d'un oscillateur 5,5 pts Correction pdf

Correction 09/2005 Polynésie EXERCICE I : ÉTUDE D'UN OSCILLATEUR (5,5 points)….

I - L'OSCILLATEURHARMONIQUE http://labolycee.org ©

1. Le système étudiée est la masse. L'étude du mouvement de la masse est réalisée dans le référentiel terrestre, supposé galiléen.

La masse est soumise à 3 forces:

- le poids ^_P= m. g

vertical vers le bas , appliqué en G

- la réaction du rail _R^, verticale vers le haut car la masse se déplace sans frottement, appliquée en C.

- La force de rappel du ressort _F^, horizontale orientée vers le point O: ^_F= – k.x.^_i , appliquée au point A.

2. La deuxième loi de Newton, appliquée à la masse donne:

P

+ _R^ + _F^= m._a^

En projection suivant l'axe horizontal (Ox) orienté selon le vecteur unitaire _i^, il vient:

0 + 0 – k.x = m.ax = m.

² dt

x

² d soit

² dt

x

²

d + k m.x = 0 On constate que l'équation différentielle du mouvement s'écrit bien:

+ω²₀.x =0

² dt

x

²

d avec ₀^{2 k}

  m

3. Montrons que l'expression x(t) = A.sin(0 t+ ) est solution de cette équation différentielle:

dt

dx = A.0.cos(0.t + )

² dt

x

²

d = –A.0².sin(0 t + ) = – 0².x En reportant dans l'équation différentielle:

= ω + ²₀.x

² dt

x

²

d – 0².x + 0².x = 0.

L'expression x(t) = A.sin(0 t + ) est bien solution de l'équation différentielle du mouvement.

4. Les conditions initiales sont: à t = 0 s, x0 = 2 cm et

t=0s

dx dt

 

 

  = 0 donc: x(0) = x0 = A.sin()

et

t=0s

dx dt

 

 

  = 0 = A.0.cos() donc cos() = 0 soit  =   / 2

Or x0 et A sont positifs donc sin() > 0 donc la seule valeur de  possible est:  = +  / 2 Et x0 = A.sin(/2) soit x0 = A = 2 cm

Finalement, en exprimant x(t) en cm: x(t) = 2 sin(0.t + /2) = 2 cos(0.t) x(t) = 2 cos(0.t)

5. La période propre To des oscillations est telle que: x(t) = x(t + To)

cos(0.t) = cos(0.t + 0.To)

x O

A G C

 F R 

 P

 i

Une solution est: 0.To = 2 (modulo 2) Donc: To =

k 2π m 2π

0

ω = finalement: To =

k 2π m

II - ETUDEÉNERGÉTIQUE

1. Soit _T^ une force extérieure appliquée au ressort qui maintienne le ressort avec un allongement x constant. Cette force est opposée à la force ^_F de rappel du ressort, donc _T^= k.x.i

Pour provoquer un allongement supplémentaire très petit x de l'extrémité du ressort (pour lequel _T^ est restée constante), il faut fournir le travail élémentaire W tel que:

W = _T^.δx=k.x. i

. x. i

= k.x.x

Par intégration, le travail W effectué par la force _T^ pour un allongement x à partir de l'origine O est alors:

W =

0

k.x.δx



Par méthode graphique:

Le travail élémentaire W correspond à l'aire du petit rectangle, en gris foncé, de hauteur k.x et de largeur x.

Le travail W correspond à l'aire du triangle en gris clair, dont les cotés ont pour longueur x et kx.

Soit W = ½.k.x²

W est la somme des aires des petits rectangles.

2. L'énergie potentielle élastique Epe du système {masse - ressort}

est égale au travail W de la force _T^ soit:

Epe = ½.k.x² à une constante additive près choisie nulle ici.

3. L'expression de l'énergie cinétique est Ec = ½.m.vx²

L'expression de l'énergie totale du système est: Em = Ec + Epe = ½.m.vx² + ½.k.x²

4. L'énergie mécanique du système reste constante car la masse oscille sans frottement sur le rail.

À l'instant initial pour lequel x = x0 et vx = 0 m.s^-1:

Em = ½ . k . x0²

x O

 i

T 

T = k.x

O x

T

x x kx

III - APPLICATIONALAMOLECULEDECHLORURED'HYDROGENE

1. On a: To =

k 2π m .

Il faut exprimer m la masse d'un atome d'hydrogène en fonction des données. La masse molaire atomique est la masse d'une mole d'atomes d'hydrogène, soit la masse de NA atomes d'hydrogène.

Donc m =

A

M N . Alors To =

A

2π M

N .k Attention M à exprimer en kg.mol^–1 To = 1,00 10₂₃ ^-3

2π 6,02 10 510



 

To = 1,1310^–14 s

2. On observera le phénomène de résonance lorsque le résonateur est excité par une onde électromagnétique de fréquence  égale à 1 /To:

 =

o

1

T = 8,82.10¹³ Hz calcul effectué avec la valeur non arrondie de T0

3. Dans le vide, on a la relation:  ^c

 soit  = c  To

 = 3,0010⁸1,13.10^-14 = 3,4010^–6 m = 3,40 m. calcul effectué avec la valeur non arrondie de T0

Sachant que les longueurs d'onde, dans le vide, des ondes lumineuses sont comprises entre 400 nm (violet) et 800 nm (rouge); soit 0,400 m et 0,800 m, la radiation de l'onde excitatrice correspond au domaine de l'infrarouge car  > 0,800 m.

4. Soit m' la masse du deutérium qui est le double de la masse de l'hydrogène: m' = 2.m, alors:

T 'o = m'

2π k = 2m

2π k = m

2π . 2

k = 2.To.

La fréquence propre de vibration  ' est alors:  ' = '

o o

1 1

T 2.T 2

   ;

 ' = 2



Si la masse double alors la fréquence de vibration est divisée par racine de 2.

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