Etude de l’alvéole d’abeille, corrigé
I
1) A(ABCD) = 1 donc AB = 1 donc P(ABCD) = 4 × 1 = 4 2) ABO est un triangle équilatéral de hauteur AB× 3
2 et A(ABO) = 1
6 × A(ABCDEF) = 1 6 donc A(ABO) = AB × AB× 3
2 × 1 2 = 1
6 donc AB² = 4
6 3 = 2 3
9 AB = 1
3 (2 3)0,5 d’où P(ABCDEF) = 6 × 1
3 (2 3)0,5 = 2 (2 3)0,5 ≈ 3,722 3) (4 – 2 (2 3)0,5 ) ×1
4≈ 0,07 L’économie est d’environ 7 % II
1) A(ABB’’A’) = 0,5 × AB × [AA’+B’B’’] = 0,5 × 1 × [ 3 + (3–x) ] = 3 – 0,5x 2) A’’B’C’’D’E’’F’ est un losange de centre H donc HF’ = HB’ = F’A’’ = A’’B’ = 1 donc HF’A’’B’ est un losange. M est le milieu de [B’F’], c’est donc le milieu de [SA’’]
SH = 0 ,5 a)
• SHM est un triangle rectangle en H donc d’après le théorème de Pythagore, SM² = SH² + HM²
SM = x² + 0,25
• [MB’] est une hauteur d’un triangle équilatéral A’’B’H d’arête 1 donc MB’ = 0,5 3 b) A(F’A’B’S) = SM × MB’ × 2 = x² + 0,25 × 0,5 3 × 2 = 3x² + 0,75
3) La surface est composée de 6 trapèzes et 3 losanges.
S(x) = 6 × ( 3 – 0,5x ) + 3× 3x² + 0,75 = 18 – 3x + 3 3x² + 0,75
4) A l’aide de la calculatrice, on obtient que le minimum de S est obtenu pour x ≈ 0,35355339 x0 ≈ 0,354 remarque : x0 = 2
4
5) MSB’ est un triangle rectangle en M donc tan B’SM = MB’
MS d’où F’SB’ = 2 × B’SM = 2 × Arctan( MB’
MS ) = 2 × Arctan( 0,5 3
x0 ² + 0,25 ) ≈ 109° ( ≈ 109,47122 ) 180 – 109 = 71 donc SF’A’ ≈ 71° ( ≈ 70,52878 )
