Exercice 3 (Corrigé)
1) On réalise un graphe G du problème, sachant qu’une arête relie deux épreuves qu’on ne peut mettre en parallèle.
F
A
M
I
S D
Deux épreuves peuvent être mises en parallèle si elles font partie d’un sous-graphe stable de notre graphe G (un sous graphe stable de G est un sous-graphe de G ne comportant aucune arête). Ainsi, le nombre maximum d’épreuves pouvant être mises en parallèle correspond à la valeur de l’ordre du sous-graphe stable de G d’ordre le plus important (l’ordre correspond au nombre de sommets d’un graphe). Or tout sous-graphe de G de plus de trois sommets comporte des arêtes, il n’est donc pas stable. Ainsi, le nombre maximum d’épreuves pouvant être mises en parallèle est de trois. Effectivement, il existe deux sous-graphes stables de G d’ordre trois : A,D,I et F,D,I.
2) Un épreuve doit être constituée par des sommets non adjacents. Pour déterminer des sommets non adjacents, il suffit d’appliquer un algorithme de coloration des sommets du graphe. Tout d’abord, déterminons un encadrement du nombre chromatique γ.
On sait que le nombre chromatique est inférieur ou égal à r +1, r étant le plus haut degré des sommets. On a :
4 1 3+ =
γ ≤ car le degré du sommet M est 3.
On sait également que si un graphe possède un sous-graphe complet d’ordre n, alors le nombre chromatique du graphe est supérieur ou égal à n.
On a :
≥3 γ
car AFM est un sous-graphe complet d’ordre 3 du graphe G.
On a ainsi :
4 3≤γ ≤
C'est-à-dire γ =3ou γ =4. En regardant le graphe on peut voir que trois couleurs suffisent.
On peut choisir par exemple :
Couleur 1 :ADI Couleur 2 :MS Couleur 3 :F
F
A
M
I
S D
Sachant qu’une épreuve occupe une demi-journée, le temps minimal nécessaire pour ces options est de trois demi-journées.
