Symétries axiales Définition : Médiatrice d’un segment On note I le milieu de  AB

(1)

Chapitre I Configurations du plan et géométrie repérée 2nd 1 Chapitre I Configurations du plan et géométrie repérée

I. Rappels sur les symétries 1. Symétries axiales

Définition : Médiatrice d’un segment On note I le milieu de

 

^AB ^.

On appelle médiatrice du segment

 

^AB la droite perpendiculaire en I à

 

^AB

Propriétés : Propriétés des points d’une médiatrice

La médiatrice du segment

 

^AB est l’ensemble des points équidistants des extrémités A et B de ce segment :

a. Si M est un point de la médiatrice de

 

^AB ^{, alors}^{MA MB}^

b. Réciproquement, si MA MB , alors M est un point de la médiatrice de

 

^AB

Définition : Symétrique d’un point par rapport à une droite On considère un point A n’appartenant pas une droite

 

^D du plan.

Dire que le point Aest le symétrique du point A par rapport

à la droite

 

^D signifie que la droite

 

^D est la médiatrice du segment



^AA



.

Remarque : Si le point A appartient à la droite

 

D , les points A etAsont confondus.

2. Symétrie centrale

Définition : Symétrie centrale

On considère deux points A et O distincts du plan.

Dire que le pointAest le symétrique du point A par au point O signifie que le point O est le milieu du segment



^AA



^.

Méd iatric e de

AB

 

^D

(2)

Chapitre I Configurations du plan et géométrie repérée 2nd 2 II. Rappels sur les configurations du plan

1. Droites remarquables dans un triangle a. Médiatrices

Définition : Médiatrice d’un triangle

Une médiatrice d’un triangle est la médiatrice de l’un de ses côtés.

Propriété : Point de concours des médiatrices d’un triangle

Les trois médiatrices d’un triangle sont concourantes en un point O, appelé centre du cercle circonscrit au triangle.

b. Médiane

Définition : Médiane d’un triangle

Une médiane d’un triangle est une droite passant par un des trois sommets du triangle et par le milieu du côté opposé.

Propriété : Point de concours des médianes d’un triangle

Les trois médianes d’un triangle sont concourantes en un point G, appelé centre de gravité du triangle.

c. Hauteur

Définition : Hauteur d’un triangle

Une hauteur d’un triangle est une droite passant par un des trois sommets du triangle et perpendiculaire au côté opposé.

Propriété : Point de concours des hauteurs d’un triangle

Les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes en un point H, appelé orthocentre du triangle.

d. Bissectrices

Définition : Bissectrice d’un angle / Bissectrice d’un triangle

 Une bissectrice d’un angle partage un angle en deux angles adjacents de même mesure.

 Une bissectrice d’un triangle est la bissectrice de l’un de ses trois angles.

Propriété : Point de concours des bissectrices d’un triangle

Les trois bissectrices d’un triangle sont concourantes en un point I appelé centre du cercle inscrit dans le triangle.

(3)

Chapitre I Configurations du plan et géométrie repérée 2nd 3 2. Triangles particuliers

a. Triangle isocèle

Définition : Triangle isocèle

On appelle triangle isocèle tout triangle ayant deux côtés de même longueur.

Propriétés : Propriétés des triangles isocèles

 Les angles à la base d’un triangle isocèle ont la même mesure.

 Un triangle isocèle a un axe de symétrie : la médiatrice de la base.

b. Triangle équilatéral

Définition : Triangle équilatéral

On appelle triangle équilatéral tout triangle dont les côtés ont la même longueur.

Propriétés : Propriétés des triangles équilatéraux

 Les angles d’un triangle équilatéral ont la même mesure : 60°

 Un triangle équilatéral a trois axes de symétrie : Les médiatrices de ses côtés.

 Les droites remarquables dans un triangle équilatéral sont toutes confondues.

c. Triangle rectangle

Définition : Triangle rectangle

On appelle triangle rectangle tout triangle ayant un angle droit.

Le côté opposé à l’angle droit s’appelle l’hypoténuse.

Propriétés : Propriétés des triangles rectangles

 Dans un triangle rectangle , le milieu de l’hypoténuse est le centre du cercle circonscrit au triangle.

 Tout triangle dont les sommets appartiennent à un cercle et dont l’un des côtés est un diamètre de ce cercle est rectangle.

 Théorème de Pythagore :

Si le triangle ABC est un triangle rectangle en A, alors AB²AC²BC²

 Réciproque du théorème de Pythagore :

Si AB²AC²BC², alors le triangle ABC est rectangle en A

Axe de sym étrie

Triangle isocèle en C

Triangle équilatéral : Médiane = Médiatrice = Hauteur = Bissectrice

60^° 60^° 60^°

Axe de symétrie Axe de symétrie

Axe de symétrie

Hypoténuse

(4)

Chapitre I Configurations du plan et géométrie repérée 2nd 4 3. Quadrilatères particuliers

a. Parallélogramme

Définition : Parallélogramme

On appelle parallélogramme tout quadrilatère ayant deux côtés opposés parallèles deux à deux.

Propriétés : Propriétés d’un parallélogramme

 Les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu.

 Les côtés opposés d’un parallélogramme sont deux à deux de la même longueur.

 Un parallélogramme a un centre de symétrie : le point d’intersection de ses diagonales.

Propriétés utiles pour démontrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme

 Si les diagonales d’un quadrilatère se coupent en leur milieu, alors ce quadrilatère est un parallélogramme.

 Si les côtés opposés d’un quadrilatère sont parallèles deux à deux, alors ce quadrilatère est un parallélogramme.

 Si les côtés opposés d’un quadrilatère sont de la même longueur deux à deux, alors ce quadrilatère est un parallélogramme.

b. Rectangle

Définition : Rectangle

On appelle rectangle tout quadrilatère ayant trois angles droits.

Propriétés : Propriétés d’un rectangle

 Les diagonales d’un rectangle se coupent en leur milieu et ont la même longueur.

 Un rectangle a un centre de symétrie : le point d’intersection de ses diagonales.

 Un rectangle a deux axes de symétrie : les médiatrices de ses côtés.

Propriétés utiles pour démontrer qu’un parallélogramme est un rectangle

 Si les diagonales d’un parallélogramme sont de la même longueur, alors ce parallélogramme est un rectangle.

 Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs perpendiculaires (ou un angle droit), alors ce parallélogramme est un rectangle.

(5)

Chapitre I Configurations du plan et géométrie repérée 2nd 5 c. Losange

Définition : Losange

On appelle losange tout quadrilatère ayant quatre côtés de même longueur.

Propriétés : Propriétés d’un losange

 Les diagonales d’un losange se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires.

 Un losange a un centre de symétrie : le point d’intersection de ses diagonales.

 Un losange a deux axes de symétrie : ses diagonales.

Propriétés utiles pour démontrer qu’un parallélogramme est un losange

 Si les diagonales d’un parallélogramme sont perpendiculaires, alors ce parallélogramme est un losange.

 Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de la même longueur, alors ce parallélogramme est un losange.

d. Carré

Définition : Carré

On appelle carré tout quadrilatère ayant quatre angles droits et quatre côtés de même longueur.

Propriétés : Propriétés d’un carré

 Les diagonales d’un carré se coupent en leur milieu, ont la même longueur et sont perpendiculaires.

 Un carré a un centre de symétrie : le point d’intersection de ses diagonales.

 Un carré a quatre axes de symétrie.

Propriétés utiles pour démontrer qu’un losange est un carré

 Si les diagonales d’un losange sont de la même longueur, alors ce losange est un carré.

 Si un losange a deux côtés consécutifs perpendiculaires (ou un angle droit), alors ce losange est un carré.

Propriétés utiles pour démontrer qu’un rectangle est un carré

 Si les diagonales d’un rectangle sont perpendiculaires, alors ce rectangle est un carré.

 Si un rectangle a deux côtés consécutifs de la même longueur, alors ce rectangle est un carré.

e. Cercles

Définition : Cercle

Le cercle de centre A et de rayon R est l’ensemble des points M du plan tels que AM = R

R

(6)

Chapitre I Configurations du plan et géométrie repérée 2nd 6 III. Repères et coordonnées du plan

1. Repères du plan

Définitions : Repères du plan

 Un repère du plan est un triplet



^{O ; I ; J}



de trois points non alignés.

 Le point O s’appelle l’origine, la droite

 

^OI s’appelle l’axe des abscisses et la droite

 

^OJ

s’appelle l’axe des ordonnées.

 Si les axes sont perpendiculaires en O, alors on dit que le repère



^{O ; I ; J}



est orthogonal.

 Si les axes sont perpendiculaires en O et si OI = OJ, alors on dit que le repère



^{O ; I ; J}



^est

orthonormé.

repère quelconque repère orthogonal repère orthonormé

2. Coordonnées d’un point du plan

Théorème : Coordonnées d’un point dans un repère On se place dans le plan rapporté au repère



^{O ; I ; J}



.

Tout point M du plan est repéré par un unique couple de réels



x_M ^;y_M



appelé coordonnées de M On dit que x_M est l’abscisse de M et y_M son ordonnée.

Exemple :

On considère le plan muni du repère orthonormé



^{O ; I ; J}



ci-dessous que vous reproduirez sur votre feuille.

1. Déterminer graphiquement les coordonnées des points A, B et C 2. Placer les points ^{D 2 ; 0}



^



et E ⁷; 3

2

 

 

 

Remarque : Dans le repère



^{O ; I ; J}



^,

le point O a pour coordonnées



^{0 ; 0}



^.

(7)

Chapitre I Configurations du plan et géométrie repérée 2nd 7 3. Coordonnées du milieu d’un segment et distance entre deux points

Propriété : Coordonnées d’un milieu

On se place dans le plan muni du repère



^{O ; I ; J}



^.

Soient A et B deux points du plan de coordonnées respectives



xA;yA



et



xB;yB



I est le milieu de

 

^AB si et seulement si I



xI;yI



avec

I I B

B A

A

2 2 y

x x

y x

y

  

 

 

Propriété : Distance entre deux points

On se place dans le plan muni d’un repère orthonormé



^{O ; I ; J}



^.

Soient A et B deux points du plan de coordonnées respectives



xA;yA



et



xB;yB



On a alors : Distance entre A et B =



A

 

²



2 A

B B

AB x x  y y

Exemple :

1. Reproduire sur votre feuille le repère ci-contre

2. Placer dans ce repère les points ^{A 2 ; 3}



^



et^{B 3 ; 4}

 

.

3. Calculer les coordonnées du milieu K de

 

^AB et le placer sur le dessin.

4. Calculer la distance AB.

(8)

Chapitre I Configurations du plan et géométrie repérée 2nd 8 Exercices sur les configurations du plan

Exercice 1 Cercle circonscrit…

On se place dans un repère orthonormé



^{O ; I ; J}



(unité graphique : 1 cm)

1. a. Placer les points A, B et C de coordonnées respectives



^^{4 ; 1}^



;



^{4 ; 2}^



et



^^{2 ; 2}



. b. Conjecturer la nature du triangle ABC.

c. Démontrez-le.

2. Déterminer le périmètre du triangle ABC.

3. Déterminer l’aire du triangle ABC.

4. Déterminer les coordonnées du centre du cercle circonscrit au triangle ABC.

Exercice 2 Triangle équilatéral…

Dans un repère orthonormé



^{O ; I ; J}



on considère les points ^{A 4 ; 2 3}

 

^et^{B 1; 3 3}



^



Démontrer que le triangle OAB est équilatéral.

Exercice 3 Cercle et médiatrice…



^{O ; I ; J}



 

^{1; 2} ^;



^{2 ; 1}^



^et

 

^{3 ;1}

Construire le cercle

 

^C de centre O passant par A.

b. Calculer le rayon de

 

^C ^.

c. En déduire que B appartient à

 

^C ^.

2. Montrer que la droite

 

^OC est la médiatrice du segment

 

^AB

Exercice 4 Nature d’un quadrilatère…

On se place dans un repère orthonormé (O; I ; J ) ( unité graphique : 1 cm ) 1. Placer les points ^{A 3 ; 4}



^{ }



^;^{B 3 ; 2}

 

^;^{C 7 ; 2}



^



^et^{D 1; 8}



^



Conjecturer la nature du quadrilatère ABCD.

2. a. Déterminer les coordonnées du point E, milieu de

 

^AC ^.

b. Montrer que E est le milieu de

 

^BD ^.

c. Que peut-on en déduire sur le quadrilatère ABCD ?

3. Calculer AC et BD (donner la valeur exacte) et en déduire la nature du quadrilatère ABCD.

(9)

Chapitre I Configurations du plan et géométrie repérée 2nd 9 Exercice 5 Pied d’une hauteur…



^{O ; I ; J}





^{4 ; 2}



^;



^{6 ; 4}^



^;



^{0 ; 2}^



^.

b. Conjecturer la nature du triangle ABC.

Démontrez cette conjecture.

2. a. Construire le point H, pied de la hauteur du triangle ABC issue de B.

b. Calculer les coordonnées de H.

c. En déduire BH (donner la valeur exacte).

Exercice 6 Nature d’un quadrilatère bis…



^{O ; I ; J}



(unité graphique : 1 cm) 1. a. Placer les points ^{A 3 ;1}

 

^;^{B 1; 3}



^{ }



^et^{C 2 ; 2}



^



^.

b. Conjecturer la nature du quadrilatère OACB.

2. a. Démontrer que les segments

 

^AB ^et

 

^OC se coupent en leur milieu.

b. Que peut-on en déduire pour le quadrilatère OACB ? c. Calculer les longueurs OA et AC.

d. Que peut-on en déduire pour le quadrilatère OACB ? e. Calculer la longueur BC.

f. En déduire la nature du quadrilatère OACB.

Exercice 7 Intersection d’un cercle avec l’axe des ordonnées…



^{O ; I ; J}



(unité graphique : 1 cm) 1. a. Construire le cercle

 

C de centre^{A 3 ; 2}

 

passant par ^{B 5 ; 1}



^



.

b. Calculer le rayon de

 

^C ^.

2. On considère un point^{M 0 ;}



y



a. A quelle droite particulière appartient ce point M ? b. Exprimer AM²en fonction de y.

3. En déduire les coordonnées des points d’intersection de

 

^C avec l’axe des ordonnées.