Exercices corrigés sur les dérivées :

Exercices corrigés sur les dérivées :

u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I de : Dérivée d’une fonction de référence dérivable multipliée par un réel k :



^{k u x}

  

^{' k u x'}

 

Exemples :

 

^{5 2}

f x  x : f est le produit d’une constante 5 par la fonction dérivable ^{u x}

 

^x2

ainsi : ^{f x}

 

^{ 5 u x}

 

donc : ^{f '}

 

^{x  5 u x'}

 

^{soit : f '}

 

^{x  5 2x10x}

( ) 3 f x x

  : f est le produit d’une constante 3 par la fonction dérivable u x( ) ¹

 x ainsi : ^{f x}

 

^{  3 u x}

 

donc : ^{f '}

 

^{x   3 u x'}

 

^{soit : f '}

 

^{x 3} ₂^{1 3}₂

x x

 

   

( ) 25 9

f x  x : f est le produit d’une constante ^{25 5}

9  3 par la fonction dérivable ^{u x}

 

^{ x}

ainsi :

 

⁵

 

f x  3 u x donc : ^'

 

^{5 '}

 

f x  3 u x soit : 5 1 5

'( ) 3 2 6

f x   x  x

Dérivée de la somme de deux fonctions de référence dérivables :

   



^{u x v x}



^{'u x'}

 

^{v x'}

 

Exemples :

( ) 2 9

f x x  : f est la somme de deux fonctions dérivables ^{u x}

 

^{x2 et v x}

 

^9

ainsi : ^{f x}

 

^{u x}

   

^{v x}

donc : ^{f '}

 

^{x u x'}

 

^{v x'}

 

^{soit : f '}

 

^{x 2x 0 2x}

( ) 1

f x x

 x : f est la somme de deux fonctions dérivables ^{u x}

 

¹

 x et ^{v x}

 

^{ x}

ainsi : ^{f x}

 

^{u x}

   

^{v x}

donc : ^{f '}

 

^{x u x'}

 

^{v x'}

 

^{soit : '}

 

¹₂ ¹

2 f x

x x

  

on ramène ^{f '}

 

^x sur le même dénominateur : ^'

 

¹₂ ^{2 1 2}₂ ² ₂²

2 2 2

x x x x

f x

x x

x x x x

      

 

^{2 3 6 2 8 5}

f x  x  x  x : f est la somme de quatre fonctions dérivables : ^{u x}

 

^{2x3 , v x}

 

^{ 6x2 , w x}

 

^{ 8x et t x}

 

^{ 5}

^{u x'}

 

^{6x2 , v x'}

 

^{ 12x , w x'}

 

^8 et ^{t x'}

 

^0

ainsi : ^{f x}

 

^{u x}

   

^{v x w x}

   

^{t x}

et : ^{f '}

 

^{x u x'}

 

^{v x'}

 

^{w x'}

   

^{t x'}

soit ^{f '}

 

^{x  2 3x2 6 2x  8 1 6x212x8}

Dérivées du produit de deux fonctions de référence dérivables :

   



^{u x v x}



^{'u x'}

       

^{v x u x v x'}

Exemples :

  

^{1 2}

 

^{2 3 5}



f x  x  x  x

f est le produit de deux fonctions dérivables ^{u x}

 

^{ 1 x2 et v x}

 

^2x35x

on calcule les dérivées des fonctions u et v : ^{u x'}

 

^{ 2x et v x'}

 

^{ 2 3x2 5 6x25}

ainsi : ^{f x}

 

^{u x}

   

^{v x}

donc : ^{f '}

 

^{x u x'}

       

^{v x u x v x'}

soit : ^{f '}

 

^{x   2x}



^2x35x

 

^{ 1 x2}

 

^{ 6x25}



et : ^{f '}

 

^{x  4x410x26x2 5 6x45x2}

ainsi : ^{f '}

 

^{x  10x4x25}

  

^{2 5}



₂⁵

f x x

x

 

    

f est le produit de deux fonctions dérivables ^{u x}

 

^{ 2 x5 et}

 

^{5 1}

v x 2

 x on calcule les dérivées des fonctions u et v : ^'

 

^{2 1 1}

2 u x

x x

   ^'

 

^{5 1}₂ ⁵₂

2 2

v x

x x

 

     ainsi : ^{f x}

 

^{u x}

   

^{v x}

donc : ^{f '}

 

^{x u x'}

       

^{v x u x v x'}

soit :

   

2

1 5 5

' 2 5

2 2

f x x

x x x

 

 

      

soit : ^'

 

^{5 5 2}₂ ²⁵₂

2 2 2

f x x

x x x x

   

soit : ^'

 

^{5 5 2}₂ ²⁵₂

2 2 2

x x x x

f x

x x x x x x x

      

soit : ^'

 

^{5 10}₂ ^{25 5} ₂^{25 5} ₂ ^{25 5 25 5 5}

2 2

2 2 2

x x x x x x x x x x x

f x

x x

x x x x x x

         

      