Découverte de nouvelles formules
PROBLÉMATIQUE
• Que peut-on mesurer avec le théodolite ?
……….
……….
• Un guide touristique veut connaître la hauteur de la collégiale de Colmar. Il envoie un topographe sur le terrain.
Attention les mesures ne sont pas à l’échelle.
Les relevés sont les suivants : angle : 74° ; distance au sol : 20m ; hauteur du trépied : 1,20m .
Déterminer la hauteur de la collégiale de Colmar. Arrondir au mètre près.
ETUDED’UNCAS
1) Construire un triangle ABC rectangle en B tel que l’angle BAC^ mesure 60°, puis un autre triangle AMN rectangle en M tel que ^MAN mesure 60°, M∈[AB] et N∈[AC] . 2) Mesurer avec votre règle les longueurs AB, AM, AC et AN.
3) Calculer les rapports suivants :
• AB
ACet AM
AN et arrondir à10−3près si nécessaire . 1
4) Que peut-on constater ?
5) Mesurer avec votre règle les longueurs BC et MN.
6) Calculer les rapports suivants :
• BC
ACet MN
AN et arrondir à10−3près si nécessaire .
•BC
ABet MN
AMet arrondir à10−3près si nécessaire . 7) Que peut-on constater ?
ETUDEDUCASGÉNÉRAL
8) En classe :
a) Comparer les résultats de chacun des camarades ?
b) Que peut-on constater ?
CONCLUSION
• Pour l’ensemble des triangles rectangles, certains rapports ne dépendent que ………
………..
……….
On a donné un nom à chacun de ces rapports.
• Dans le triangle ABC rectangle en B , étudié dans le cas général, on a
⟹ ………. de l’angle aigu BAC^ noté ………., est égal au rapport
…………
2 Considérons la figure ci-contre :
10)Justifier que l’on peut utiliser le théorème de Thalès.
11)Prouver les égalités suivantes : AM
AN =AB AC;BC
AC=MN AN ;BC
AB=MN AM. 12) Illustration avec geogebra.
⟹ ………. de l’angle aigu BAC^ noté ………., est égal au rapport
…………
⟹ ………. de l’angle aigu BAC^ noté ………., est égale au rapport …………
APPLICATIONS
1) Reprenons notre problématique :
Déterminer la hauteur de la collégiale de Colmar. Arrondir au mètre près.
RÉPONSE :
- On connaît ………..
- On cherche ……….
- On utilise donc ……….de l’angle.
Dans le triangle ………… rectangle en …………, on a :
… … … …=… … … …
… … … …⟶… … … …=… … ……
… … ……⟶HM=… …… … ……(valeur exacte)
D’où la hauteur h de la collégiale de Colmar : h=… … … …+1,20≈ … … … … arrondie au mètre près.
La hauteur de la collégiale, est d’environ … … …… m .
2) En Astronomie :
Lorsque Vénus est la plus éloignée du Soleil, vue de la Terre, l’angle Soleil-Vénus-Terre est un angle droit.
On peut alors mesurer l’angle α qui vaut environ 46°.
Déterminer la distance Soleil-Vénus. (arrondir à l’unité près).
RÉPONSE :
- On connaît ……….
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Pas besoin de l’écrire, mais le faire
« dans sa tête » à chaque exercice.
- On cherche ……….
- On utilise donc ………de l’angle.
Dans le triangle ……… rectangle en …………, on a :
…………=…………
…………⟶…………=…………
…………
VS=… … … ≈ … …… … …… … …arrondie à l'unité près .
La distance Soleil-Vénus est d’environ … … … km soit … … … km .
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