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Découverte de nouvelles formules
PROBLEMATIQUE
• Que peut-on mesurer avec le théodolite ?
……….
……….
• Un guide touristique veut connaître la hauteur de la collégiale de Colmar. Il envoie un topographe sur le terrain.
Attention les mesures ne sont pas à l’échelle.
Les relevés sont les suivants : angle : 𝟕𝟒° ; distance au sol : 𝟐𝟎 𝒎 ; hauteur du trépied : 𝟏, 𝟐𝟎 𝒎.
Déterminer la hauteur de la collégiale de Colmar. Arrondir au mètre près.
ETUDE D’UN CAS
1) Construire un triangle ABC rectangle en B tel que l’angle 𝐵𝐴𝐶̂ mesure 60°, puis un autre triangle AMN rectangle en M tel que 𝑀𝐴𝑁̂ mesure 60°, 𝑀 ∈ [𝐴𝐵] et 𝑁 ∈ [𝐴𝐶].
2) Mesurer avec votre règle les longueurs AB, AM, AC et AN.
3) Calculer les rapports suivants :
• 𝐴𝐵
𝐴𝐶 et 𝐴𝑀
𝐴𝑁 et arrondir à 10−3 près si nécessaire.
4) Que peut-on constater ?
5) Mesurer avec votre règle les longueurs BC et MN.
2 6) Calculer les rapports suivants :
• 𝐵𝐶
𝐴𝐶 et 𝑀𝑁
𝐴𝑁 et arrondir à 10−3 près si nécessaire.
• 𝐵𝐶
𝐴𝐵 et 𝑀𝑁
𝐴𝑀 et arrondir à 10−3 près si nécessaire.
7) Que peut-on constater ?
ETUDE DU CAS GENERAL
8) En classe :
a) Comparer les résultats de chacun des camarades ?
b) Que peut-on constater ?
CONCLUSION
• Pour l’ensemble des triangles rectangles, certains rapports ne dépendent que ………
………..……….
On a donné un nom à chacun de ces rapports.
• Dans le triangle 𝑨𝑩𝑪 rectangle en 𝑩, étudié dans le cas général, on a
⟹ ………. de l’angle aigu 𝑩𝑨𝑪̂ noté ………., est égal au rapport …………
⟹ ………. de l’angle aigu 𝑩𝑨𝑪̂ noté ………., est égal au rapport …………
⟹ ………. de l’angle aigu 𝑩𝑨𝑪̂ noté ………., est égale au rapport …………
Considérons la figure ci-contre :
10) Justifier que l’on peut utiliser le théorème de Thalès.
11) Prouver les égalités suivantes : 𝐴𝑀
𝐴𝑁 =𝐴𝐵
𝐴𝐶 ; 𝐵𝐶
𝐴𝐶 =𝑀𝑁
𝐴𝑁 ; 𝐵𝐶
𝐴𝐵= 𝑀𝑁 𝐴𝑀. 12) Illustration avec geogebra.
3 APPLICATIONS
1) Reprenons notre problématique :
Déterminer la hauteur de la collégiale de Colmar. Arrondir au mètre près.
REPONSE :
- On connaît ………..
- On cherche ……….
- On utilise donc ……….de l’angle.
Dans le triangle ………… rectangle en …………, on a :
… … … …= … … … …
… … … … ⟶ … … … …=… … … …
… … … … ⟶ 𝐻𝑀 = … … … (𝑣𝑎𝑙𝑒𝑢𝑟 𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡𝑒) D’où la hauteur ℎ de la collégiale de Colmar : ℎ = … … … …+ 1,20 ≈ … … … … arrondie au mètre près.
La hauteur de la collégiale, est d’environ… … … … 𝒎.
2) En Astronomie :
Lorsque Vénus est la plus éloignée du Soleil, vue de la Terre, l’angle Soleil-Vénus-Terre est un angle droit. On peut alors mesurer l’angle 𝛼 qui vaut environ 46°.
Déterminer la distance Soleil-Vénus. (arrondir à l’unité près).
REPONSE :
- On connaît ……….
- On cherche ……….
- On utilise donc ………de l’angle.
Dans le triangle ……… rectangle en …………, on a :
… … … …= … … … …
… … … … ⟶ … … … …=… … … …
… … … …
𝑉𝑆 = … … … ≈ … … … arrondie à l′unité près.
La distance Soleil-Vénus est d’environ … … … 𝒌𝒎 𝐬𝐨𝐢𝐭 … … … 𝒌𝒎.
Pas besoin de l’écrire, mais le faire
« dans sa tête » à chaque exercice.
