TD Maple : miroir, palindromes, it´eration. . . Pr´esentation
IConsid´erons le nombre 78. Ajoutons-lui sonhhmiroirii87, nous obtenons 165 ; ajoutons `a celui-ci son miroir 561, nous obtenons 726 ; en continuant ainsi, nous obtenons 1353 et 4884. Nous remarquons que ce dernier nombre est son propre miroir : nous dirons qu’il estpalindrome.
INous nous proposons d’explorer quelques aspects du m´ecanisme que nous venons de d´ecrire sur un exemple ; au passage, nous r´eviserons certains points de programmation en Maple et en d´ecouvrirons de nouveaux.
Listes
Q1 Consultez l’aide sur les listes (mot-cl´e list) pour savoir comment construire une liste, coment obtenir le nombre de ses ´el´ements, et comment obtenir un ´el´ement `a partir de son indice.
Q2 Proposez deux m´ethodes diff´erentes pour obtenir l’avant-dernier ´el´ement d’une liste de longueur au moins
´egale `a 2 : en utilisantnops, ou en utilisant un s´electeur n´egatif.
ILemiroir de la liste [x1, x2, . . . , xn] est la liste [xn, xn−1, . . . , x1]. La liste vide [ ] est son propre miroir.
Q3 Nanti des pr´ecieux renseignements pr´ec´edents, vous pouvez maintenant r´ediger une fonctionmiroir_liste qui construit la liste miroir d’une liste donn´ee. Par exemple, miroir_liste([7,1,5]) doit rendre la liste [5,1,7].
Miroir d’un nombre
ILe miroir du naturelnsera not´e←−
n ; par exemple,←−−
1789 = 9871.
Q4 Consultez l’aide sur la fonction convert/basepour savoir comment obtenir rapidement l’´ecriture d´ecimale d’un naturel. Dans quel ordre est-elle obtenue ?
Q5 R´edigez une fonctiondeconvertqui prend l’´ecriture d´ecimale d’un natureln, fournie comme liste de chiffres, et rendn. Par exemple,deconvert([2,8,3])doit rendre 382.
Q6 R´edigez maintenant une fonctionmiroir_nombrequi, appliqu´ee `a un natureln, rend son miroir←n−. Q7 R´edigez alors une fonctionest_palindromequi, appliqu´ee `a un natureln, dit si ce nombre est palindrome.
Q8 Combien existe-t-il de nombres palindromes, dont l’´ecriture d´ecimale requiert exactementcchiffres ? V´erifiez le r´esultat pourc= 3 puisc= 4.
Etude d’une fonction it´´ erable sur les naturels
Q9 R´edigez une fonction f qui, appliqu´ee au natureln, calculen+←−n. ISoitnun naturel ; notonsE(n) =
k∈N
fk(n) =←−−−
fk(n) l’ensemble (´eventuellement vide) des exposants ktels quefk(n) soit palindrome (il s’agit bien entendu d’exposants d’it´eration). Nous dirons que le naturel nest mortel siE(n) n’est pas vide ; ladur´ee de vie den est alors le plus petit ´el´ementδ(n) de E(n). Par exemple,δ(n) = 0 ssinest un palindrome, etδ(78) = 4. Si E(n) est vide, nous dirons quenestimmortel.
Q10 Justifiez l’affirmation suivante : sinn’est pas mortel, alorsδ(n) = 1 +δ f(n) . Q11 R´edigez une fonctionduree_de_viequi calcule la dur´ee de vie du natureln.
Q12 Quelle est la dur´ee de vie maximale d’un naturel compris entre 1 et 100 ?
Q13 Consultez l’aide surplot/stylepour savoir comment repr´esenter un nuage de points. Repr´esentez alors le nuage de points n, δ(n)
16n6100.
Q14 D´eterminez le plus petit naturel qui estpeut-ˆetre immortel. D´eterminez ´egalement le suivant.
[Maple03] Compos´e le 18 octobre 2007
